ट्रंकेशन त्रुटि

For other uses, see Truncation error (numerical integration).

संख्यात्मक विश्लेषण और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में, ट्रंकेशन त्रुटि एक गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाने के कारण हुई त्रुटि है।

उदाहरण

अनंत श्रृंखला

के लिए एक योग श्रृंखला $e^{x}$ जैसे एक अनंत श्रृंखला द्वारा दिया जाता है

$$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$$

वास्तव में, हम इन शब्दों की केवल एक सीमित संख्या का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि इन सभी का उपयोग करने के लिए अनंत मात्रा में कम्प्यूटेशनल समय लगेगा। तो मान लीजिए हम श्रृंखला के केवल तीन शब्दों का उपयोग करते हैं, फिर

$$e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}$$

इस मामले में, ट्रंकेशन त्रुटि है ${\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$ उदाहरण ए:

निम्नलिखित अनंत श्रृंखला को देखते हुए, ट्रंकेशन त्रुटि का पता लगाएं x = 0.75 यदि श्रृंखला के केवल पहले तीन पदों का उपयोग किया जाता है।

$$S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.$$

समाधान

श्रंखला के केवल प्रथम तीन पदों का प्रयोग करने पर प्राप्त होता है

$${\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}$$

एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का योग

$$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1$$
 द्वारा दिया गया है

$$S={\frac {a}{1-r}}$$

हमारी श्रृंखला के लिए, a = 1 और r = 0.75, दे देना

$$S={\frac {1}{1-0.75}}=4$$

ट्रंकेशन त्रुटि इसलिए है

$$\mathrm {TE} =4-2.3125=1.6875$$

भेदभाव

फ़ंक्शन के सटीक पहले व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा दी गई है

$$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

हालांकि, अगर हम संख्यात्मक रूप से व्युत्पन्न की गणना कर रहे हैं, $h$ परिमित होना है। चुनने में त्रुटि हुई है $h$ परिमित होना विभेदीकरण की गणितीय प्रक्रिया में एक ट्रंकेशन त्रुटि है।

उदाहरण ए:

के प्रथम अवकलज की गणना में काट-छाँट ज्ञात कीजिए $f(x)=5x^{3}$ पर $x=7$ के एक चरण आकार का उपयोग करना $h=0.25$ समाधान:

का पहला व्युत्पन्न $f(x)=5x^{3}$ है

$$f'(x)=15x^{2},$$

और कम से $x=7$,

$$f'(7)=735.$$

अनुमानित मूल्य द्वारा दिया गया है

$$f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625$$

ट्रंकेशन त्रुटि इसलिए है

$$\mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625$$

एकीकरण

किसी फ़ंक्शन के सटीक इंटीग्रल की परिभाषा $f(x)$ से $a$ को $b$ निम्नानुसार दिया गया है।

होने देना $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ एक अंतराल (गणित) # शब्दावली पर परिभाषित एक कार्य हो $[a,b]$ वास्तविक संख्याओं का, $\mathbb {R}$, और

$$P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},$$

I के एक अंतराल का विभाजन हो, जहां

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}$$

कहाँ $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ और $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$.

इसका तात्पर्य यह है कि हम अनंत आयतों का उपयोग करके वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं। हालाँकि, यदि हम संख्यात्मक रूप से अभिन्न की गणना कर रहे हैं, तो हम केवल आयतों की एक सीमित संख्या का उपयोग कर सकते हैं। आयतों की अनंत संख्या के विपरीत परिमित संख्या को चुनने के कारण होने वाली त्रुटि एकीकरण की गणितीय प्रक्रिया में एक ट्रंकेशन त्रुटि है।

उदाहरण ए.

अभिन्न के लिए

$$\int _{3}^{9}x^{2}{dx}$$

ट्रंकेशन त्रुटि का पता लगाएं यदि दो-खंड बाएं हाथ के रीमैन योग का उपयोग खंडों की समान चौड़ाई के साथ किया जाता है।

समाधान

हमारे पास सटीक मूल्य है

$${\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}$$

वक्र के अंतर्गत क्षेत्र (चित्र 2 देखें) को अनुमानित करने के लिए समान चौड़ाई के दो आयतों का उपयोग करना, अभिन्न का अनुमानित मूल्य

$${\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\text{Truncation Error}}&={\text{Exact Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}$$

कभी-कभी, गलती से, राउंड-ऑफ त्रुटि (कंप्यूटर पर परिमित सटीक तैरनेवाला स्थल का उपयोग करने का परिणाम) को ट्रंकेशन एरर भी कहा जाता है, खासकर अगर संख्या को काट कर गोल किया जाता है। यह ट्रंकेशन त्रुटि का सही उपयोग नहीं है; हालांकि इसे किसी संख्या को छोटा करना स्वीकार्य हो सकता है।

जोड़

ट्रंकेशन त्रुटि का कारण बन सकता है $(A+B)+C\neq A+(B+C)$ एक कंप्यूटर के भीतर जब $A=-10^{25},B=10^{25},C=1$ क्योंकि $(A+B)+C=(0)+C=1$ (जैसा होना चाहिए), जबकि $A+(B+C)=A+(B)=0$. यहाँ, $A+(B+C)$ एक ट्रंकेशन त्रुटि 1 के बराबर है। यह ट्रंकेशन त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि कंप्यूटर एक बहुत बड़े पूर्णांक के कम से कम महत्वपूर्ण अंकों को संग्रहीत नहीं करते हैं।

यह भी देखें

• परिमाणीकरण त्रुटि

संदर्भ

• Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, p. 20, ISBN 978-0-471-50023-0
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 1, ISBN 978-0-387-95452-3.