एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित

कार्यात्मक विश्लेषण में, एक एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर ऑपरेटरों का एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है जिसमें सभी तत्व विनिमेय होते हैं।

एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित का प्रोटोटाइपिक उदाहरण बीजगणित L है^∞(X, μ) μ के लिए X पर एक σ-परिमित माप हिल्बर्ट स्पेस L पर ऑपरेटरों के बीजगणित के रूप में महसूस किया गया²(X, μ) इस प्रकार है: प्रत्येक f ∈ L^∞(X, μ) की पहचान गुणन संकारक से की जाती है

$\psi \mapsto f\psi .$

अलग-अलग स्थान हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, खासकर जब से वे सरल आक्रमणकारियों द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत हैं।

हालांकि गैर-वियोज्य हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए एक सिद्धांत है (और वास्तव में उस मामले में बहुत सामान्य सिद्धांत अभी भी है) अलग-अलग स्थानों पर बीजगणित के लिए सिद्धांत काफी सरल है और केवल गणित या भौतिकी के अन्य क्षेत्रों के लिए अधिकांश अनुप्रयोग वियोज्य हिल्बर्ट रिक्त स्थान का उपयोग करें। ध्यान दें कि यदि माप स्थान (एक्स, μ) एक मानक माप स्थान है (यानी एक्स - एन कुछ शून्य सेट एन के लिए एक मानक बोरेल स्थान है और μ एक σ-सीमित माप है) तो एल²(X, μ) वियोज्य है।

वर्गीकरण

क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित और माप स्थान के बीच का संबंध क्रमविनिमेय C*सी * - बीजगणित और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के बीच के समान है। एक वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रत्येक क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित एलपी अंतरिक्ष के लिए आइसोमोर्फिक है। एल^∞(X) कुछ मानक माप स्थान (X, μ) के लिए और इसके विपरीत, प्रत्येक मानक माप स्थान X, L के लिए^∞(X) एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है। कहा गया है कि यह समरूपता एक बीजगणितीय समरूपता है। वास्तव में हम इसे और अधिक सटीक रूप से इस प्रकार बता सकते हैं:

'प्रमेय'। वियोज्य हिल्बर्ट स्थान पर संचालकों का कोई भी एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित निम्नलिखित में से ठीक एक के लिए *-आइसोमॉर्फिक है

• $\ell ^{\infty }(\{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1$
• $\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )$
• $L^{\infty }([0,1])$
• $L^{\infty }([0,1]\cup \{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1$
• $L^{\infty }([0,1]\cup \mathbf {N} ).$

कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी को संरक्षित करने के लिए समरूपता को चुना जा सकता है।

उपरोक्त सूची में, अंतराल [0,1] में Lebesgue माप है और सेट {1, 2, ..., n} और 'N' में गिनती माप है। यूनियनें अलग-अलग यूनियनें हैं। यह वर्गीकरण अनिवार्य रूप से वियोज्य माप बीजगणित के लिए महारम के वर्गीकरण प्रमेय का एक रूप है। महारम के वर्गीकरण प्रमेय का संस्करण जो सबसे अधिक उपयोगी है, उसमें तुल्यता का एक बिंदु बोध शामिल है, और कुछ हद तक एक गणितीय लोककथा है।

यद्यपि प्रत्येक मानक माप स्थान उपरोक्त में से किसी एक के लिए आइसोमोर्फिक है और सूची इस अर्थ में संपूर्ण है, एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित ए के मामले में माप स्थान के लिए अधिक विहित विकल्प है: सभी प्रोजेक्टरों का सेट एक है $\sigma$-पूर्ण बूलियन बीजगणित, जो एक बिंदु-मुक्त है $\sigma$-बीजगणित। विशेष मामले में $A=L^{\infty }(X,{\mathfrak {A}},\mu )$ एक सार पुनर्प्राप्त करता है $\sigma$-बीजगणित ${\mathfrak {A}}/\{A\mid \mu (A)=0\}$. इस बिंदु मुक्त दृष्टिकोण को गेलफैंड के लिए एक द्वैत प्रमेय एनालॉग में बदल दिया जा सकता है - एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित की श्रेणी और अमूर्त की श्रेणी के बीच द्वैत $\sigma$-बीजगणित।

चलो μ और ν गैर-परमाणु उपाय हैं | मानक बोरेल रिक्त स्थान एक्स और वाई पर क्रमशः गैर-परमाणु संभाव्यता उपाय। फिर X का μ नल उपसमुच्चय N, Y का ν नल उपसमुच्चय M और बोरेल समाकृतिकता है

$\phi :X\setminus N\rightarrow Y\setminus M,\quad$

जो μ को ν में ले जाता है।

ध्यान दें कि उपरोक्त परिणाम में, परिणाम कार्य करने के लिए माप शून्य के सेट को दूर करना आवश्यक है।

उपरोक्त प्रमेय में, कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी को संरक्षित करने के लिए समरूपता की आवश्यकता होती है। जैसा कि यह निकला (और परिभाषाओं से आसानी से अनुसरण करता है), बीजगणित एल के लिए^∞(X, μ), निम्नलिखित टोपोलॉजी मानक बाध्य सेटों पर सहमत हैं:

1. एल पर कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी^∞(एक्स, μ);
2. एल पर अल्ट्रावीक ऑपरेटर टोपोलॉजी^∞(एक्स, μ);
3. एल पर कमजोर अभिसरण की टोपोलॉजी^∞(X, μ) को L का दोहरा स्थान माना जाता है¹(एक्स, μ).

हालांकि, एक एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित ए के लिए एक वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर ऑपरेटरों के बीजगणित के रूप में ए की प्राप्ति अत्यधिक गैर-अद्वितीय है। ए के ऑपरेटर बीजगणित की प्राप्ति का पूर्ण वर्गीकरण वर्णक्रमीय बहुलता सिद्धांत द्वारा दिया गया है और इसके लिए प्रत्यक्ष इंटीग्रल के उपयोग की आवश्यकता है।

स्थानिक समरूपता

प्रत्यक्ष अभिन्न सिद्धांत का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि फॉर्म एल के एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित^∞(X, μ) एल पर ऑपरेटरों के रूप में कार्य करता है²(X, μ) सभी अधिकतम एबेलियन हैं। इसका मतलब यह है कि उन्हें उचित रूप से बड़े एबेलियन बीजगणित तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। उन्हें मैक्सिमल एबेलियन स्व-आसन्न बीजगणित (या M.A.S.A.) के रूप में भी जाना जाता है। उनका वर्णन करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला एक अन्य वाक्यांश एकसमान बहुलता 1 का एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित है; यह विवरण केवल नीचे वर्णित बहुलता सिद्धांत के संबंध में समझ में आता है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित ए ऑन एच, बी ऑन के स्थानिक रूप से आइसोमोर्फिक (या एकात्मक रूप से आइसोमोर्फिक) हैं यदि और केवल अगर एक एकात्मक ऑपरेटर यू: एच → के ऐसा है कि

$UAU^{*}=B.$

विशेष रूप से स्थानिक रूप से आइसोमॉर्फिक वॉन न्यूमैन बीजगणित बीजगणितीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं।

स्थानिक आइसोमोर्फिज्म तक पृथक हिल्बर्ट स्पेस एच पर सबसे सामान्य एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित का वर्णन करने के लिए, हमें एच के प्रत्यक्ष अभिन्न अपघटन को संदर्भित करने की आवश्यकता है। इस अपघटन के विवरण पर एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित के प्रत्यक्ष अभिन्न # अपघटन में चर्चा की गई है। विशेष रूप से:

'प्रमेय' कोई भी एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित एक वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस एच पर एल के लिए स्थानिक रूप से आइसोमोर्फिक है^∞(X, μ) अभिनय कर रहा है

$\int _{X}^{\oplus }H(x)\,d\mu (x)$

हिल्बर्ट रिक्त स्थान के कुछ मापने योग्य परिवार के लिए {एच_x}_{x ∈ X}.

ध्यान दें कि एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए इस तरह के प्रत्यक्ष अभिन्न स्थानों पर कार्य करना, कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी की समानता, अल्ट्रावीक टोपोलॉजी और कमजोर * टोपोलॉजी नॉर्म बाउंड सेट पर अभी भी कायम है।

ऑटोमोर्फिज्म का बिंदु और स्थानिक अहसास

एर्गोडिक सिद्धांत में कई समस्याएं एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित के ऑटोमोर्फिज्म के बारे में समस्याओं को कम करती हैं। इस संबंध में, निम्नलिखित परिणाम उपयोगी हैं:

प्रमेय। मान लीजिए μ, ν क्रमशः X, Y पर मानक उपाय हैं। फिर कोई समावेशी समरूपता

$\Phi :L^{\infty }(X,\mu )\rightarrow L^{\infty }(Y,\nu )$

जो कमजोर है*- द्विसतत निम्नलिखित अर्थों में एक बिंदु परिवर्तन से मेल खाता है: Y के X और N के बोरेल नल उपसमुच्चय और एक बोरेल समरूपतावाद हैं

$\eta :X\setminus M\rightarrow Y\setminus N$

ऐसा है कि

1. η माप μ को Y पर एक माप μ' में ले जाता है जो ν के बराबर है इस अर्थ में कि μ' और ν में माप शून्य के समान सेट हैं;
2. η परिवर्तन Φ का एहसास करता है, अर्थात

$\Phi (f)=f\circ \eta ^{-1}.$

ध्यान दें कि सामान्य तौर पर हम η से μ को ν में ले जाने की उम्मीद नहीं कर सकते हैं।

अगला परिणाम एकात्मक परिवर्तनों से संबंधित है जो एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित के बीच एक कमजोर*-द्विनिरंतर समरूपता को प्रेरित करता है।

प्रमेय। मान लीजिए μ, ν X, Y और पर मानक उपाय हैं

$H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad K=\int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)$

हिल्बर्ट रिक्त स्थान के औसत दर्जे के परिवारों के लिए {एच_x}_{x ∈ X}, {क_y}_{y ∈ Y}. यदि U : H → K एक एकात्मक है जैसे कि

$U\,L^{\infty }(X,\mu )\,U^{*}=L^{\infty }(Y,\nu )$

तब लगभग हर जगह परिभाषित बोरेल बिंदु परिवर्तन होता है η : X → Y जैसा कि पिछले प्रमेय और एक औसत दर्जे का परिवार {यू_x}_{x ∈ X} एकात्मक ऑपरेटरों की

$U_{x}:H_{x}\rightarrow K_{\eta (x)}$

ऐसा है कि

$U{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\psi _{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{Y}^{\oplus }{\sqrt {{\frac {d(\mu \circ \eta ^{-1})}{d\nu }}(y)}}\ U_{\eta ^{-1}(y)}{\bigg (}\psi _{\eta ^{-1}(y)}{\bigg )}d\nu (y),$

जहां वर्गमूल चिह्न में व्यंजक रैडॉन-निकोडीम प्रमेय है|राडॉन-निकोडीम का व्युत्पन्न μ η⁻¹ ν के संबंध में। यह कथन प्रत्यक्ष इंटीग्रल पर लेख में बताए गए विकर्ण योग्य ऑपरेटरों के बीजगणित को चित्रित करने वाले प्रमेय के साथ ऊपर बताए गए ऑटोमोर्फिज़्म के बिंदु प्राप्ति पर प्रमेय के संयोजन का अनुसरण करता है।

संदर्भ

• J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien, Gauthier-Villars, 1969. See chapter I, section 6.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I,II,III", encyclopedia of mathematical sciences, Springer-Verlag, 2001–2003 (the first volume was published 1979 in 1. Edition) ISBN 3-540-42248-X