सदिश माप

गणित में, सदिश माप एक फलन (गणित) है जो समुच्चयों के परिवार पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्थान मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, जो केवल गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या मान लेता है।

परिभाषाएं और पहला परिणाम

सेट का एक क्षेत्र दिया $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ और एक बनच स्थान $X,$ एक सूक्ष्म योगात्मक सदिश माप (या संक्षेप में माप) एक फलन है $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ ऐसा कि किन्हीं भी दो असम्बद्ध समुच्चयों के लिए $A$ और $B$ में ${\mathcal {F}}$ किसी के पास

$$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$$

एक वेक्टर माप $\mu$ किसी भी अनुक्रम के लिए काउंटेबल एडिटिव कहा जाता है $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ असंबद्ध सेट में ${\mathcal {F}}$ ऐसा है कि उनका संघ अंदर है ${\mathcal {F}}$ यह मानता है

$$\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$$

बानाच अंतरिक्ष के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर श्रृंखला (गणित) के साथ $X.$ यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक योज्य वेक्टर माप $\mu$ किसी भी अनुक्रम के लिए अगर और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक है $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ जैसा ऊपर वाले के पास है

$$\lim _{n\to \infty }\left\|\mu {\left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)}\right\|=0,$$

(*)

कहाँ $\|\cdot \|$ मानदंड चालू है $X.$ सिग्मा-बीजगणित पर परिभाषित गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। $[0,\infty ),$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय।

उदाहरण

अंतराल से बने सेट के क्षेत्र पर विचार करें $[0,1]$ परिवार के साथ ${\mathcal {F}}$ इस अंतराल में शामिल सभी Lebesgue औसत दर्जे का सेट। ऐसे किसी भी सेट के लिए $A,$ परिभाषित करना

$$\mu (A)=\chi _{A}$$

कहाँ $\chi$ का सूचक कार्य है $A.$ कहां पर निर्भर करता है $\mu$ मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है, तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं।

• $\mu ,$ से एक समारोह के रूप में देखा गया ${\mathcal {F}}$ एलपी अंतरिक्ष के लिए|$L^{p}$-अंतरिक्ष $L^{\infty }([0,1]),$ एक सदिश माप है जो गणनीय-योगात्मक नहीं है।
• $\mu ,$ से एक समारोह के रूप में देखा गया ${\mathcal {F}}$ तक $L^{p}$-अंतरिक्ष $L^{1}([0,1]),$ एक गणनीय-योगात्मक सदिश माप है।

ये दोनों कथन कसौटी से काफी आसानी से अनुसरण करते हैं (*) ऊपरोक्त।

वेक्टर माप की भिन्नता

एक वेक्टर माप दिया गया $\mu :{\mathcal {F}}\to X,$ भिन्नता $|\mu |$ का $\mu$ परिभाषित किया जाता है

$$|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$$

जहां एक सेट के सभी विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है

$$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$$

का $A$ सभी के लिए अलग-अलग सेटों की एक परिमित संख्या में $A$ में ${\mathcal {F}}.$ यहाँ, $\|\cdot \|$ मानदंड चालू है $X.$ की भिन्नता $\mu$ में मान लेने वाला एक परिमित योज्य फलन है $[0,\infty ].$ यह मानता है

$$\|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)$$

किसी के लिए $A$ में ${\mathcal {F}}.$ अगर $|\mu |(\Omega )$ परिमित है, उपाय है $\mu$ परिबद्ध परिवर्तन कहा गया है। कोई साबित कर सकता है कि अगर $\mu$ परिबद्ध भिन्नता का एक सदिश माप है, तब $\mu$ गिनती योगात्मक है अगर और केवल अगर $|\mu |$ गणनीय योगात्मक है।

ल्यपुनोव का प्रमेय

सदिश माप के सिद्धांत में, एलेक्सी लायपुनोव का प्रमेय बताता है कि एक (परमाणु (माप सिद्धांत)|गैर-परमाणु) परिमित-आयामी सदिश माप की सीमा बंद सेट और उत्तल सेट है। वास्तव में, एक गैर-परमाणु सदिश माप की सीमा एक ज़ोनॉइड है (बंद और उत्तल सेट जो ज़ोनोटोप्स के अभिसरण अनुक्रम की सीमा है)।इसका उपयोग गणितीय अर्थशास्त्र में किया जाता है, में (बैंग-बैंग नियंत्रण | बैंग-बैंग ) नियंत्रण सिद्धांत,और सांख्यिकीय सिद्धांत में। लायपुनोव के प्रमेय को शेपले-फोकमैन लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया गया है, जिसे एक असतत असतत गणित के रूप में देखा गया है # लायपुनोव के प्रमेय के निरंतर गणित के असतत अनुरूप।

यह भी देखें

• Bochner measurable function
• Bochner integral
• Bochner space
• Complex measure
• Signed measure
• Vector-valued functions
• Weakly measurable function

ग्रन्थसूची

• Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Measure theory (reprint ed.). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. pp. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001.
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Vector measures. Mathematical Surveys. Vol. 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. pp. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
• van Dulst, D. (2001) [1994], "Vector measures", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Rudin, W (1973). Functional analysis. New York: McGraw-Hill. p. 114. ISBN 9780070542259.