संवृत ग्राफ प्रमेय

This article is about closed graph theorems in general topology. For the closed graph theorem in functional analysis, see Closed graph theorem (functional analysis).

The graph of the cubic function $f(x)=x^{3}-9x$ on the interval $[-4,4]$ is closed because the function is continuous. The graph of the Heaviside function on $[-2,2]$ is not closed, because the function is not continuous.

गणित में, क्लोज्ड ग्राफ़ प्रमेय कई बुनियादी परिणामों में से एक को संदर्भित कर सकता है जो किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संदर्भ में निरंतर फ़ंक्शंस को दर्शाता है। प्रत्येक स्थिति देता है जब बंद ग्राफ वाले कार्य आवश्यक रूप से निरंतर होते हैं।

बंद रेखांकन वाले रेखांकन और मानचित्र

Main article: Closed graph

अगर $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के बीच एक मानचित्र है, फिर का ग्राफ $f$ सेट है $\operatorname {Gr} f:=\{(x,f(x)):x\in X\}$ या समकक्ष,

$$\operatorname {Gr} f:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}$$

कहा जाता है कि का ग्राफ $f$ बंद है अगर $\operatorname {Gr} f$ का एक बंद सेट है $X\times Y$ (उत्पाद टोपोलॉजी के साथ)।

हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में किसी भी निरंतर कार्य का एक बंद ग्राफ होता है।

कोई रैखिक नक्शा, $L:X\to Y,$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बीच जिनकी टोपोलॉजी (कॉची) ट्रांसलेशन इनवेरिएंट मेट्रिक्स के संबंध में पूर्ण हैं, और यदि अतिरिक्त (1a) $L$ उत्पाद टोपोलॉजी, फिर मानचित्र के अर्थ में क्रमिक रूप से निरंतर है $L$ निरंतर है और इसका ग्राफ, Gr L, आवश्यक रूप से बंद है। इसके विपरीत यदि $L$ (1a) के स्थान पर एक ऐसा रेखीय नक्शा है, जिसका ग्राफ है $L$ is (1b) कार्टेशियन उत्पाद स्थान में बंद होने के लिए जाना जाता है $X\times Y$, तब $L$ निरंतर है और इसलिए आवश्यक रूप से क्रमिक रूप से निरंतर है।

निरंतर नक्शों के उदाहरण जिनमें बंद ग्राफ नहीं है

अगर $X$ कोई स्थान है तो पहचान मानचित्र $\operatorname {Id} :X\to X$ निरंतर है लेकिन इसका ग्राफ, जो विकर्ण है $\operatorname {Gr} \operatorname {Id} :=\{(x,x):x\in X\},$, में बंद है $X\times X$ अगर और केवल अगर $X$ हॉसडॉर्फ है। विशेष रूप से, यदि $X$ तब हौसडॉर्फ नहीं है $\operatorname {Id} :X\to X$ निरंतर है लेकिन करता है not एक बंद ग्राफ है।

होने देना $X$ वास्तविक संख्याओं को निरूपित करें $\mathbb {R}$ सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ और चलो $Y$ निरूपित $\mathbb {R}$ अविवेकपूर्ण टोपोलॉजी के साथ (जहां ध्यान दें कि $Y$ है not हॉसडॉर्फ और वह प्रत्येक कार्य जिसमें मूल्यवान है $Y$ निरंतर है)। होने देना $f:X\to Y$ द्वारा परिभाषित किया जाना चाहिए $f(0)=1$ और $f(x)=0$ सभी के लिए $x\neq 0$. तब $f:X\to Y$ निरंतर है लेकिन इसका ग्राफ है not बंद किया $X\times Y$.

पॉइंट-सेट टोपोलॉजी में बंद ग्राफ प्रमेय

बिंदु-सेट टोपोलॉजी में, बंद ग्राफ प्रमेय निम्नलिखित बताता है:

Closed graph theorem — If $f:X\to Y$ is a map from a topological space $X$ into a Hausdorff space $Y,$ then the graph of $f$ is closed if $f:X\to Y$ is continuous. The converse is true when $Y$ is compact. (Note that compactness and Hausdorffness do not imply each other.)

Proof

First part is essentially by definition.

Second part:

For any open $V\subset Y$ , we check $f^{-1}(V)$ is open. So take any $x\in f^{-1}(V)$ , we construct some open neighborhood $U$ of $x$ , such that $f(U)\subset V$ .

Since the graph of $f$ is closed, for every point $(x,y')$ on the "vertical line at x", with $y'\neq f(x)$ , draw an open rectangle $U_{y'}\times V_{y'}$ disjoint from the graph of $f$ . These open rectangles, when projected to the y-axis, cover the y-axis except at $f(x)$ , so add one more set $V$.

Naively attempting to take $U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}$ would construct a set containing $x$, but it is not guaranteed to be open, so we use compactness here.

Since $Y$ is compact, we can take a finite open covering of $Y$ as $\{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}$.

Now take $U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}$. It is an open neighborhood of $x$, since it is merely a finite intersection. We claim this is the open neighborhood of $U$ that we want.

Suppose not, then there is some unruly $x'\in U$ such that $f(x')\not \in V$ , then that would imply $f(x')\in V_{y'_{i}}$ for some $i$ by open covering, but then $(x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}$ , a contradiction since it is supposed to be disjoint from the graph of $f$ .

गैर-हॉउसडॉर्फ स्थान बहुत कम देखे जाते हैं, लेकिन गैर-सघन स्थान सामान्य हैं। गैर-कॉम्पैक्ट का एक उदाहरण $Y$ वास्तविक रेखा है, जो बंद ग्राफ के साथ असंतुलित कार्य की अनुमति देती है $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}$.

सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के लिए

Closed graph theorem for set-valued functions — For a Hausdorff compact range space $Y$, a set-valued function $F:X\to 2^{Y}$ has a closed graph if and only if it is upper hemicontinuous and F(x) is a closed set for all $x\in X$.

कार्यात्मक विश्लेषण में

Main article: Closed graph theorem (functional analysis)

अगर $T:X\to Y$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है तो हम कहते हैं कि $T$ एक बंद रैखिक ऑपरेटर है अगर का ग्राफ $T$ में बंद है $X\times Y$ कब $X\times Y$ उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है।

बंद ग्राफ़ प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण परिणाम है जो गारंटी देता है कि कुछ शर्तों के तहत एक बंद रैखिक ऑपरेटर निरंतर है। मूल परिणाम को कई बार सामान्यीकृत किया गया है। बंद ग्राफ प्रमेयों का एक प्रसिद्ध संस्करण निम्नलिखित है।

Theorem — A linear map between two F-spaces (e.g. Banach spaces) is continuous if and only if its graph is closed.

यह भी देखें

• Almost open linear map
• Barrelled space
• Closed graph
• Closed linear operator
• Discontinuous linear map
• Kakutani fixed-point theorem
• Open mapping theorem (functional analysis)
• Ursescu theorem
• Webbed space
• Zariski's main theorem

ग्रन्थसूची

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• "Proof of closed graph theorem". PlanetMath.