संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन

"एमडीसीटी" redirects here. For मेडिकल इमेजिंग का रूप, see मल्टीडिटेक्टर कंप्यूटेड टोमोग्राफी.

संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन (एमडीसीटी) टाइप-IV असतत कोसाइन परिवर्तन (डीसीटी-IV) पर आधारित एक परिवर्तन है। लैप्ड ट्रांसफॉर्म होने की अतिरिक्त गुण के साथ: इसे एक बड़े डाटासेट के निरंतर ब्लॉक पर निष्पादित करने के लिए यह प्रारूपित किया गया है। जहाँ बाद के ब्लॉकों को ओवरलैप किया जाता है। जिससे एक ब्लॉक का अंतिम आधा अगले ब्लॉक के पहले भाग के साथ मिलान करता है। यह ओवरलैपिंग डीसीटी के ऊर्जा-संघनन गुणों के अतिरिक्त एमडीसीटी को सिग्नल संपीड़न अनुप्रयोगों के लिए विशेष रूप से आकर्षक बनाता है क्योंकि यह ब्लॉक सीमाओं से उत्पन्न संपीड़न विरूपण साक्ष्य से बचने में सहायता करता है। इन लाभ के परिणामस्वरूप एमडीसीटी ऑडियो डेटा संपीड़न में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली हानिपूर्ण संपीड़न विधि है। यह एमपी3, डॉल्बी डिजिटल (एसी-3), वॉर्बिस (ओजीजी), विंडोज मीडिया ऑडियो (डब्लूएमए), एटीआऱसी, कुक कोडेक, उन्नत ऑडियो कोडिंग (एएसी), हाई-डेफिनिशन कोडिंग (एचडीसी), एलडीएसी (कोडेक), डॉल्बी एसी-4, और एमपीईजी-एच 3डी ऑडियो सहित अधिकांश आधुनिक ऑडियो कोडिंग मानकों में निरंतर कार्यरत है। इनके साथ ही भाषण कोडिंग मानकों जैसे एएसी-एलडी (एलडी-एमडीसीटी), जी.722.1, जी.729.1, सीईएलटी और ओपस (ऑडियो प्रारूप) आदि का भी प्रयोग किया जाता है्।

असतत कोज्या रूपांतरण (डीसीटी) पहली बार 1972 में एन. अहमद द्वारा प्रस्तावित किया गया था और 1974 में टी. नटराजन और के.आर. राव के साथ अहमद द्वारा प्रस्तुत किया गया। एमडीसीटी को बाद में जॉन पी. प्रिंसन, ए.डब्ल्यू. द्वारा प्रस्तावित किया गया था। 1987 में सरे विश्वविद्यालय में जॉनसन और एलन बी. ब्राडली, प्रिंसेन और ब्रैडली (1986) द्वारा पहले कार्य के बाद एमडीसीटी के टाइम-डोमेन अलियासिंग कैन्सिलेशन (टीडीएसी) के अंतर्निहित सिद्धांत को विकसित करने के लिए नीचे वर्णित किया गया है। (विभिन्न प्रकार के डीसीटी या डीसीटी/डीएसटी संयोजनों के आधार पर विभिन्न प्रकार के साइन ट्रांसफॉर्म के साथ-साथ अन्य, संभवतः ही कभी प्रयोग किए जाने वाले एमडीसीटी के रूपों के आधार पर एक अनुरूप परिवर्तन, एमडीएसटी भी उपस्थित है।)

एमपी3 में, एमडीसीटी सीधे ऑडियो सिग्नल पर संचालित नहीं होता है। बल्कि 32-बैंड पॉलीफ़ेज़ क्वाडरेचर फ़िल्टर (पीक्यूएफ) बैंक के आउटपुट पर संचालित होता है। पीक्यूएफ फ़िल्टर बैंक के विशिष्ट अलियासिंग को कम करने के लिए इस एमडीसीटी के आउटपुट को उपनाम रिडक्शन सूत्र द्वारा पोस्टप्रोसेस किया जाता है। एमडीसीटी के साथ फ़िल्टर बैंक के इस प्रकार के संयोजन को हाइब्रिड फ़िल्टर बैंक या सबबैंड एमडीसीटी कहा जाता है। दूसरी ओर एएसी सामान्य रूप से एक शुद्ध एमडीसीटी का उपयोग करता है। केवल (संभवतः ही कभी प्रयोग किया जाने वाला) एमपीईजी-4 एएसी-एसएसआर संस्करण (सोनी द्वारा) एमडीसीटी के बाद चार-बैंड पीक्यूएफ बैंक का उपयोग करता है। एमपी3 के समान, एटीआरएसी एक एमडीसीटी के बाद स्टैक्ड चतुर्भुज दर्पण फिल्टर (क्यूएमएफ) का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

लैप्ड ट्रांसफ़ॉर्म के रूप में, Mडीसीटी अन्य फूरियर-संबंधित ट्रांसफ़ॉर्म की तुलना में थोड़ा असामान्य है, जिसमें इनपुट के रूप में आधे आउटपुट हैं (समान संख्या के बजाय)। विशेष रूप से, यह एक रैखिक कार्य है $F\colon \mathbf {R} ^{2N}\to \mathbf {R} ^{N}$ (जहाँ R वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है)। 2N वास्तविक संख्या x₀, ..., एक्स_2N-1 एन वास्तविक संख्या एक्स में परिवर्तित हो जाते हैं₀, ..., एक्स_N-1 सूत्र के अनुसार:

$X_{k}=\sum _{n=0}^{2N-1}x_{n}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}+{\frac {N}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]$

(इस परिवर्तन के सामने सामान्यीकरण गुणांक, यहाँ एकता, एक मनमाना सम्मेलन है और उपचारों के बीच भिन्न है। केवल Mडीसीटी और IMडीसीटी के सामान्यीकरण का उत्पाद, नीचे, विवश है।)

उलटा परिवर्तन

व्युत्क्रम Mडीसीटी को IMडीसीटी के रूप में जाना जाता है। क्योंकि इनपुट और आउटपुट की अलग-अलग संख्याएँ हैं, पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि Mडीसीटी उलटा नहीं होना चाहिए। हालाँकि, बाद के ओवरलैपिंग ब्लॉकों के ओवरलैप किए गए IMडीसीटीs को 'जोड़' द्वारा पूर्ण अपवर्तनीयता प्राप्त की जाती है, जिससे त्रुटियाँ 'रद्द' हो जाती हैं और मूल डेटा को पुनः प्राप्त किया जा सकता है; इस तकनीक को 'टाइम-डोमेन अलियासिंग कैंसलेशन' (TDAC) के रूप में जाना जाता है।

आईएमडीसीटी एन वास्तविक संख्या एक्स को रूपांतरित करता है₀, ..., एक्स_N-1 2N वास्तविक संख्या y में₀, ..., और_2N-1 सूत्र के अनुसार:

$y_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}+{\frac {N}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]$

(जैसे Discrete_cosine_transform#डीसीटी-IV|डीसीटी-IV, एक ओर्थोगोनल रूपांतरण के लिए, व्युत्क्रम का वही रूप है जो आगे के रूपांतरण का है।)

सामान्य विंडो सामान्यीकरण (नीचे देखें) के साथ एक विंडो एमडीसीटी के मामले में, आईएमडीसीटी के सामने सामान्यीकरण गुणांक को 2 से गुणा किया जाना चाहिए (अर्थात, 2/एन बनना)।

गणना

हालांकि Mडीसीटी फॉर्मूले के सीधे आवेदन के लिए O(N²) ऑपरेशंस, फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) के रूप में गणना को पुनरावर्ती रूप से कारक बनाकर केवल ओ (एन लॉग एन) जटिलता के साथ एक ही चीज़ की गणना करना संभव है। कोई अन्य रूपांतरणों के माध्यम से Mडीसीटीs की गणना भी कर सकता है, आमतौर पर एक DFT (FFT) या डीसीटी, O(N) पूर्व और बाद के प्रसंस्करण चरणों के साथ। इसके अतिरिक्त, जैसा कि नीचे बताया गया है, डीसीटी-IV के लिए कोई भी एल्गोरिथम समान आकार के Mडीसीटी और IMडीसीटी की गणना करने के लिए तुरंत एक विधि प्रदान करता है।

विंडो फ़ंक्शंस

Mडीसीटी विंडो फ़ंक्शंस:
नीला: कोसाइन, लाल: साइन-कोसाइन, हरा: संशोधित कैसर-बेसेल

विशिष्ट सिग्नल-संपीड़न अनुप्रयोगों में, खिड़की समारोह w का उपयोग करके रूपांतरण गुणों को और बेहतर बनाया जाता है_n (n = 0, ..., 2N−1) जिसे x से गुणा किया जाता है_n और वाई_n उपरोक्त एमडीसीटी और आईएमडीसीटी सूत्रों में, एन = 0 और 2एन सीमाओं पर असंतुलन से बचने के लिए फ़ंक्शन को उन बिंदुओं पर सुचारू रूप से शून्य पर ले जाने के लिए। (अर्थात, हम डेटा को Mडीसीटी से पहले और IMडीसीटी के बाद विंडो करते हैं।) सिद्धांत रूप में, x और y में अलग-अलग विंडो फ़ंक्शन हो सकते हैं, और विंडो फ़ंक्शन भी एक ब्लॉक से अगले ब्लॉक में बदल सकता है (विशेष रूप से उस मामले में जहां डेटा ब्लॉक होता है) विभिन्न आकारों के संयुक्त होते हैं), लेकिन सादगी के लिए हम समान आकार के ब्लॉकों के लिए समान विंडो फ़ंक्शंस के सामान्य मामले पर विचार करते हैं।

एक सममित विंडो डब्ल्यू के लिए परिवर्तन उलटा रहता है (यानी, टीडीएसी काम करता है)।_n = डब्ल्यू_2N−1−n, जब तक w प्रिंसेन-ब्रैडली शर्त को संतुष्ट करता है:

$w_{n}^{2}+w_{n+N}^{2}=1$.

विभिन्न विंडो फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाता है। एक विंडो जो मॉड्युलेटेड लैप्ड ट्रांसफ़ॉर्म (MLT) के रूप में जाना जाने वाला फ़ॉर्म उत्पन्न करती है द्वारा दिया गया है

$w_{n}=\sin \left[{\frac {\pi }{2N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right]$

और MP3 और MPEG-2 AAC के लिए प्रयोग किया जाता है, और

$w_{n}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}\left[{\frac {\pi }{2N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right]\right)$

वोरबिस के लिए। AC-3 कैसर-बेसेल व्युत्पन्न (KBD) विंडो का उपयोग करता है, और MPEG-4 AAC भी KBD विंडो का उपयोग कर सकता है।

ध्यान दें कि Mडीसीटी पर संचालित विंडो कुछ अन्य प्रकार के सिग्नल विश्लेषण के लिए उपयोग की जाने वाली विंडो से अलग हैं, क्योंकि उन्हें प्रिंसन-ब्रैडली शर्त को पूरा करना होगा। इस अंतर के कारणों में से एक यह है कि Mडीसीटी विंडो को Mडीसीटी (विश्लेषण) और IMडीसीटी (संश्लेषण) दोनों के लिए दो बार संचालित किया जाता है।

डीसीटी-IV से संबंध और TDAC की उत्पत्ति

जैसा कि परिभाषाओं के निरीक्षण से देखा जा सकता है, यहां तक ​​कि N के लिए भी Mडीसीटी अनिवार्य रूप से डीसीटी-IV के समतुल्य है, जहां इनपुट को N/2 और दो N-ब्लॉक द्वारा स्थानांतरित किया जाता है डेटा का एक बार में रूपांतरण किया जाता है। इस समानता की अधिक सावधानी से जांच करके, टीडीएसी जैसे महत्वपूर्ण गुणों को आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

डीसीटी-IV से सटीक संबंध को परिभाषित करने के लिए, किसी को यह महसूस करना चाहिए कि डीसीटी-IV वैकल्पिक सम/विषम सीमा स्थितियों से मेल खाता है: यहां तक ​​​​कि इसकी बाईं सीमा पर भी (n = −1/2 के आसपास), विषम इसकी दाहिनी सीमा पर (लगभग n = N − 1/2), और इसी तरह (अलग-अलग फूरियर रूपांतरण के लिए आवधिक सीमाओं के बजाय)। यह पहचान से अनुसरण करता है $\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(-n-1+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]=\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]$ और $\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(2N-n-1+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]=-\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]$. इस प्रकार, यदि इसके इनपुट लंबाई N की एक सरणी x हैं, तो हम इस सरणी को (x, −x) तक विस्तारित करने की कल्पना कर सकते हैं_R, -एक्स, एक्स_R, ...) और इसी तरह, जहां x_R एक्स को उल्टे क्रम में दर्शाता है।

2एन इनपुट और एन आउटपुट के साथ एक एमडीसीटी पर विचार करें, जहां हम इनपुट को चार ब्लॉक (ए, बी, सी, डी) में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक का आकार एन/2 है। यदि हम इन्हें N/2 (Mडीसीटी परिभाषा में +N/2 शब्द से) द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो (b, c, d) N डीसीटी-IV इनपुट के अंत से आगे बढ़ते हैं, इसलिए हमें उन्हें मोड़ना चाहिए ऊपर वर्णित सीमा शर्तों के अनुसार वापस।

इस प्रकार, 2N इनपुट का Mडीसीटी (a, b, c, d) N इनपुट के डीसीटी-IV के बिल्कुल बराबर है: (−c_R-डी, ए-बी_R), जहां आर ऊपर के रूप में उत्क्रमण को दर्शाता है।

(इस तरह, डीसीटी-IV की गणना करने के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म को मामूली रूप से Mडीसीटी पर संचालित किया जा सकता है।)

इसी तरह, ऊपर दिया गया IMडीसीटी सूत्र डीसीटी-IV (जो इसका अपना प्रतिलोम है) का ठीक 1/2 है, जहां आउटपुट को (सीमा स्थितियों के माध्यम से) लंबाई 2N तक बढ़ाया जाता है और N/2 द्वारा बाईं ओर वापस स्थानांतरित कर दिया जाता है। व्युत्क्रम डीसीटी-IV केवल इनपुट वापस देगा (−c_R-डी, ए-बी_R) उपर से। जब इसे सीमा शर्तों के माध्यम से बढ़ाया जाता है और स्थानांतरित किया जाता है, तो एक प्राप्त होता है:

IMडीसीटी (Mडीसीटी (a, b, c, d)) = (a−b_R, बी-ए_R, सी + डी_R, डी + सी_R)/ 2.

IMडीसीटी आउटपुट का आधा इस प्रकार बेमानी है, जैसा कि b−a_R = -(ए−बी_R)_R, और इसी तरह पिछले दो शब्दों के लिए। यदि हम इनपुट को N आकार के बड़े ब्लॉक A,B में समूहित करते हैं, जहाँ A = (a, b) और B = (c, d), हम इस परिणाम को सरल तरीके से लिख सकते हैं:

IMडीसीटी (Mडीसीटी (A, B)) = (A−A_R, बी + बी_R)/ 2

अब कोई भी समझ सकता है कि टीडीएसी कैसे काम करता है। मान लीजिए कि कोई बाद के एमडीसीटी की गणना करता है, 50% ओवरलैप, 2 एन ब्लॉक (बी, सी)। इसके बाद IMडीसीटी उपरोक्त के अनुरूप परिणाम देगा: (B−B_R, सी + सी_R) / 2. जब इसे पिछले IMडीसीटी परिणाम के साथ ओवरलैपिंग आधे में जोड़ा जाता है, तो उलटी शर्तें रद्द हो जाती हैं और मूल डेटा को पुनर्प्राप्त करते हुए केवल B प्राप्त होता है।

टीडीएसी की उत्पत्ति

टाइम-डोमेन अलियासिंग रद्दीकरण शब्द की उत्पत्ति अब स्पष्ट है। तार्किक डीसीटी-IV की सीमाओं से परे विस्तार करने वाले इनपुट डेटा का उपयोग डेटा को उसी तरह से अलियास करने का कारण बनता है जैसे कि Nyquist फ़्रीक्वेंसी से परे फ़्रीक्वेंसी कम फ़्रीक्वेंसी के लिए एलियासिंग कर रहे हैं, सिवाय इसके कि यह अलियासिंग टाइम डोमेन के बजाय समय डोमेन में होता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन: हम के योगदान को अलग नहीं कर सकते ए और बी का_R (ए, बी, सी, डी) के एमडीसीटी या समकक्ष के लिए का परिणाम

IMडीसीटी (Mडीसीटी (a, b, c, d)) = (a−b_R, बी-ए_R, सी + डी_R, डी + सी_R) / 2.

संयोजन सी-डी_R और इसी तरह, जोड़े जाने पर संयोजनों को रद्द करने के लिए सटीक रूप से सही संकेत होते हैं।

विषम N के लिए (जो शायद ही कभी व्यवहार में उपयोग किया जाता है), N/2 एक पूर्णांक नहीं है इसलिए Mडीसीटी केवल डीसीटी-IV का शिफ्ट क्रमचय नहीं है। इस मामले में, आधे नमूने द्वारा अतिरिक्त बदलाव का मतलब है कि Mडीसीटी/IMडीसीटी डीसीटी-III/II के बराबर हो जाता है, और विश्लेषण ऊपर के अनुरूप है।

चिकनाई और असंततता

हमने ऊपर देखा है कि 2N इनपुट का Mडीसीटी (a, b, c, d) N इनपुट के डीसीटी-IV के बराबर है (-सी_R−d, एक-बी_R). डीसीटी-IV को इसके लिए डिज़ाइन किया गया है मामला जहां सही सीमा पर कार्य विषम है, और इसलिए सही सीमा के पास के मान 0 के करीब हैं। यदि इनपुट सिग्नल सुचारू है, यह मामला है: ए और बी के सबसे दाहिने घटक_R हैं इनपुट अनुक्रम में लगातार (ए, बी, सी, डी), और इसलिए उनका अंतर छोटा है। आइए अंतराल के मध्य को देखें: अगर हम उपरोक्त अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं (-सी_R−d, एक-बी_R) = (-डी, ए) - (बी, सी)_R, दूसरा कार्यकाल, (बी, सी)_R, चिकना देता है बीच में संक्रमण। हालाँकि, पहले पद में, (−d, a), एक है संभावित विच्छेदन जहां का सही अंत −d, a के बाएँ सिरे से मिलता है। विंडो फ़ंक्शन का उपयोग करने का यही कारण है जो घटकों को कम करता है इनपुट अनुक्रम की सीमाओं के पास (ए, बी, सी, डी) 0 की ओर।

=== विंडो एमडीसीटी === के लिए टीडीएसी

ऊपर, TDAC संपत्ति सामान्य Mडीसीटी के लिए सिद्ध हुई थी, यह दिखाते हुए कि बाद के ब्लॉकों के IMडीसीटीs को उनके अतिव्यापी आधे हिस्से में जोड़ने से मूल डेटा ठीक हो जाता है। विंडो वाले Mडीसीटी के लिए इस उलटे गुण की व्युत्पत्ति केवल थोड़ी अधिक जटिल है।

आकार एन के ब्लॉक ए, बी, सी के लिए 2 एन इनपुट (ए, बी) और (बी, सी) के लगातार सेट ओवरलैप करने पर विचार करें। ऊपर से याद करें कि कब $(A,B)$ और $(B,C)$ Mडीसीटीed, IMडीसीटीed हैं, और उनके अतिव्यापी आधे हिस्से में जोड़े गए हैं, हम प्राप्त करते हैं $(B+B_{R})/2+(B-B_{R})/2=B$, मूल डेटा।

अब हम मानते हैं कि हम Mडीसीटी इनपुट और IMडीसीटी आउटपुट दोनों को 2N लंबाई के विंडो फ़ंक्शन से गुणा करते हैं। ऊपर के रूप में, हम एक सममित विंडो फ़ंक्शन मानते हैं, जो कि फॉर्म का है $(W,W_{R})$ जहां W लंबाई-N वेक्टर है और R पहले की तरह उत्क्रमण को दर्शाता है। तब प्रिंसेन-ब्रैडली स्थिति को इस रूप में लिखा जा सकता है $W^{2}+W_{R}^{2}=(1,1,\ldots )$, वर्गों और परिवर्धन के साथ तत्ववार प्रदर्शन किया।

इसलिए, Mडीसीटीing के बजाय $(A,B)$, अब हम एमडीसीटी $(WA,W_{R}B)$ (सभी गुणाओं के साथ तत्ववार प्रदर्शन किया गया)। जब इसे IMडीसीटीed किया जाता है और विंडो फ़ंक्शन द्वारा फिर से गुणा (तत्ववार) किया जाता है, तो अंतिम-एन आधा बन जाता है:

$W_{R}\cdot (W_{R}B+(W_{R}B)_{R})=W_{R}\cdot (W_{R}B+WB_{R})=W_{R}^{2}B+WW_{R}B_{R}$.

(ध्यान दें कि अब हमारे पास 1/2 से गुणा नहीं है, क्योंकि विंडो वाले मामले में IMडीसीटी सामान्यीकरण 2 के कारक से भिन्न होता है।)

इसी तरह, विंडो एमडीसीटी और आईएमडीसीटी की $(B,C)$ पैदावार, इसकी पहली-एन छमाही में:

$W\cdot (WB-W_{R}B_{R})=W^{2}B-WW_{R}B_{R}$.

जब हम इन दो हिस्सों को एक साथ जोड़ते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

$(W_{R}^{2}B+WW_{R}B_{R})+(W^{2}B-WW_{R}B_{R})=\left(W_{R}^{2}+W^{2}\right)B=B,$

मूल डेटा पुनर्प्राप्त करना।

यह भी देखें

• असतत कोज्या परिवर्तन
• अन्य अतिव्यापी विंडो वाले फूरियर रूपांतरणों में शामिल हैं:
  • संग्राहक जटिल लैप्ड रूपांतरण
  • शॉर्ट-टाइम फूरियर रूपांतरण
  • वेल्च की विधि
• ऑडियो कोडिंग प्रारूप
• ऑडियो संपीड़न (डेटा)

ग्रन्थसूची

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• A. W. Johnson and A. B. Bradley, "Adaptive transform coding incorporating time domain aliasing cancellation," Speech Comm. 6, 299-308 (1987).
• For algorithms, see examples:
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