संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन

"एमडीसीटी" redirects here. For मेडिकल इमेजिंग का रूप, see मल्टीडिटेक्टर कंप्यूटेड टोमोग्राफी.

संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन (एमडीसीटी) टाइप-IV असतत कोसाइन परिवर्तन (डीसीटी-IV) पर आधारित एक परिवर्तन है। लैप्ड ट्रांसफॉर्म होने की अतिरिक्त गुण के साथ: इसे एक बड़े डाटासेट के निरंतर ब्लॉक पर निष्पादित करने के लिए यह प्रारूपित किया गया है। जहाँ बाद के ब्लॉकों को ओवरलैप किया जाता है। जिससे एक ब्लॉक का अंतिम आधा अगले ब्लॉक के पहले भाग के साथ मिलान करता है। यह ओवरलैपिंग डीसीटी के ऊर्जा-संघनन गुणों के अतिरिक्त एमडीसीटी को सिग्नल संपीड़न अनुप्रयोगों के लिए विशेष रूप से आकर्षक बनाता है क्योंकि यह ब्लॉक सीमाओं से उत्पन्न संपीड़न विरूपण साक्ष्य से बचने में सहायता करता है। इन लाभ के परिणामस्वरूप एमडीसीटी ऑडियो डेटा संपीड़न में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली हानिपूर्ण संपीड़न विधि है। यह एमपी3, डॉल्बी डिजिटल (एसी-3), वॉर्बिस (ओजीजी), विंडोज मीडिया ऑडियो (डब्लूएमए), एटीआऱसी, कुक कोडेक, उन्नत ऑडियो कोडिंग (एएसी), हाई-डेफिनिशन कोडिंग (एचडीसी), एलडीएसी (कोडेक), डॉल्बी एसी-4, और एमपीईजी-एच 3डी ऑडियो सहित अधिकांश आधुनिक ऑडियो कोडिंग मानकों में निरंतर कार्यरत है। इनके साथ ही भाषण कोडिंग मानकों जैसे एएसी-एलडी (एलडी-एमडीसीटी), जी.722.1, जी.729.1, सीईएलटी और ओपस (ऑडियो प्रारूप) आदि का भी प्रयोग किया जाता है्।

असतत कोज्या रूपांतरण (डीसीटी) पहली बार 1972 में एन. अहमद द्वारा प्रस्तावित किया गया था और 1974 में टी. नटराजन और के.आर. राव के साथ अहमद द्वारा प्रस्तुत किया गया। एमडीसीटी को बाद में जॉन पी. प्रिंसन, ए.डब्ल्यू. द्वारा प्रस्तावित किया गया था। 1987 में सरे विश्वविद्यालय में जॉनसन और एलन बी. ब्राडली, प्रिंसेन और ब्रैडली (1986) द्वारा पहले कार्य के बाद एमडीसीटी के टाइम-डोमेन अलियासिंग कैन्सिलेशन (टीडीएसी) के अंतर्निहित सिद्धांत को विकसित करने के लिए नीचे वर्णित किया गया है। (विभिन्न प्रकार के डीसीटी या डीसीटी/डीएसटी संयोजनों के आधार पर विभिन्न प्रकार के साइन ट्रांसफॉर्म के साथ-साथ अन्य, संभवतः ही कभी प्रयोग किए जाने वाले एमडीसीटी के रूपों के आधार पर एक अनुरूप परिवर्तन, एमडीएसटी भी उपस्थित है।)

एमपी3 में, एमडीसीटी सीधे ऑडियो सिग्नल पर संचालित नहीं होता है। बल्कि 32-बैंड पॉलीफ़ेज़ क्वाडरेचर फ़िल्टर (पीक्यूएफ) बैंक के आउटपुट पर संचालित होता है। पीक्यूएफ फ़िल्टर बैंक के विशिष्ट अलियासिंग को कम करने के लिए इस एमडीसीटी के आउटपुट को उपनाम रिडक्शन सूत्र द्वारा पोस्टप्रोसेस किया जाता है। एमडीसीटी के साथ फ़िल्टर बैंक के इस प्रकार के संयोजन को हाइब्रिड फ़िल्टर बैंक या सबबैंड एमडीसीटी कहा जाता है। दूसरी ओर एएसी सामान्य रूप से एक शुद्ध एमडीसीटी का उपयोग करता है। केवल (संभवतः ही कभी प्रयोग किया जाने वाला) एमपीईजी-4 एएसी-एसएसआर संस्करण (सोनी द्वारा) एमडीसीटी के बाद चार-बैंड पीक्यूएफ बैंक का उपयोग करता है। एमपी3 के समान, एटीआरएसी एक एमडीसीटी के बाद स्टैक्ड चतुर्भुज दर्पण फिल्टर (क्यूएमएफ) का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

लैप्ड ट्रांसफ़ॉर्म के रूप में, एमडीसीटी अन्य फूरियर-संबंधित ट्रांसफ़ॉर्म की तुलना में कुछ असामान्य होता है। जिसमें इनपुट के रूप में आधे आउटपुट हैं (समान संख्या के बजाय)। विशेष रूप से यह एक रैखिक $F\colon \mathbf {R} ^{2N}\to \mathbf {R} ^{N}$ फलन है (जहाँ R वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है)। 2N वास्तविक संख्या x₀, ..., x_2N-1 N वास्तविक संख्या X₀, ..., X_N-1 में परिवर्तित हो जाते हैं। सूत्र के अनुसार:

$X_{k}=\sum _{n=0}^{2N-1}x_{n}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}+{\frac {N}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]$

(इस परिवर्तन के सामने सामान्यीकरण गुणांक, यहाँ एकता, एक अनियमित सम्मेलन है और उपचारों के बीच भिन्न है। केवल एमडीसीटी और एमडीसीटी के सामान्यीकरण का उत्पाद नीचे कॉन्सट्रेन्ड हैं।)

उलटा परिवर्तन

व्युत्क्रम एमडीसीटी को एमडीसीटी के रूप में जाना जाता है क्योंकि इनपुट और आउटपुट की विभिन्न संख्याएँ होती हैं। प्रथम द्रष्टया ऐसा प्रतीत हो सकता है कि एमडीसीटी उलटा नहीं होना चाहिए। चूंकि इसके पश्चात के ओवरलैपिंग ब्लॉकों के ओवरलैप किए गए एमडीसीटीs को 'जोड़' द्वारा पूर्ण अपवर्तनीयता प्राप्त की जाती है। जिससे त्रुटियाँ 'नष्ट' हो जाती हैं और मूल डेटा को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। इस विधि को 'टाइम-डोमेन अलियासिंग कैंसलेशन' (टीडीएसी) के रूप में जाना जाता है।

आईएमडीसीटी N वास्तविक संख्या X₀, ..., X_N-1 को 2N वास्तविक संख्या y₀, ..., y_2N-1 के रूप में रूपान्तरित करता है। सूत्र के अनुसार:

$y_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}+{\frac {N}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]$

(डीसीटी-IV के समान एक ऑर्थोगोनल ट्रांसफ़ॉर्म, व्युत्क्रम का वही रूप है। जो फ़ॉरवर्ड ट्रांसफ़ॉर्म का रूप होता है।)

सामान्य विंडो सामान्यीकरण (नीचे देखें) के साथ एक विंडो एमडीसीटी की स्थिति में आईएमडीसीटी के सामने सामान्यीकरण गुणांक को 2 से गुणा किया जाना चाहिए (अर्थात, 2/N बनना)।

गणना

चूंकि एमडीसीटी सूत्र के सीधे आवेदन के लिए O(N²) ऑपरेशन फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) के रूप में गणना को पुनरावर्ती रूप से कारक बनाकर केवल O(N log N) जटिलता के साथ एक ही वस्तु की गणना करना संभव है। कोई अन्य रूपांतरणों के माध्यम से एमडीसीटीएल की गणना भी कर सकता है। सामान्यतः एक डीएफटी (एफएफटी) या डीसीटी, O(N) पूर्व और बाद के प्रसंस्करण चरणों के साथ कम्प्यूट करता है। इसके अतिरिक्त डीसीटी-IV के लिए कोई भी एल्गोरिथम समान आकार के एमडीसीटी और एमडीसीटी की गणना करने के लिए तुरंत एक विधि प्रदान करता है।

विंडो फ़ंक्शंस

एमडीसीटी विंडो फ़ंक्शंस:
नीला: कोसाइन, लाल: साइन-कोसाइन, हरा: संशोधित कैसर-बेसेल

विशिष्ट सिग्नल-संपीड़न अनुप्रयोगों में, खिड़की समारोह w का उपयोग करके रूपांतरण गुणों को और बेहतर बनाया जाता है_n (n = 0, ..., 2N−1) जिसे x से गुणा किया जाता है_n और वाई_n उपरोक्त एमडीसीटी और आईएमडीसीटी सूत्रों में, एन = 0 और 2एन सीमाओं पर असंतुलन से बचने के लिए फ़ंक्शन को उन बिंदुओं पर सुचारू रूप से शून्य पर ले जाने के लिए। (अर्थात, हम डेटा को एमडीसीटी से पहले और Iएमडीसीटी के बाद विंडो करते हैं।) सिद्धांत रूप में, x और y में अलग-अलग विंडो फ़ंक्शन हो सकते हैं, और विंडो फ़ंक्शन भी एक ब्लॉक से अगले ब्लॉक में बदल सकता है (विशेष रूप से उस मामले में जहां डेटा ब्लॉक होता है) विभिन्न आकारों के संयुक्त होते हैं), लेकिन सादगी के लिए हम समान आकार के ब्लॉकों के लिए समान विंडो फ़ंक्शंस के सामान्य मामले पर विचार करते हैं।

एक सममित विंडो डब्ल्यू के लिए परिवर्तन उलटा रहता है (यानी, टीडीएसी काम करता है)।_n = डब्ल्यू_2N−1−n, जब तक w प्रिंसेन-ब्रैडली शर्त को संतुष्ट करता है:

$w_{n}^{2}+w_{n+N}^{2}=1$.

विभिन्न विंडो फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाता है। एक विंडो जो मॉड्युलेटेड लैप्ड ट्रांसफ़ॉर्म (MLT) के रूप में जाना जाने वाला फ़ॉर्म उत्पन्न करती है द्वारा दिया गया है

$w_{n}=\sin \left[{\frac {\pi }{2N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right]$

और MP3 और MPEG-2 AAC के लिए प्रयोग किया जाता है, और

$w_{n}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}\left[{\frac {\pi }{2N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right]\right)$

वोरबिस के लिए। AC-3 कैसर-बेसेल व्युत्पन्न (KBD) विंडो का उपयोग करता है, और MPEG-4 AAC भी KBD विंडो का उपयोग कर सकता है।

ध्यान दें कि एमडीसीटी पर संचालित विंडो कुछ अन्य प्रकार के सिग्नल विश्लेषण के लिए उपयोग की जाने वाली विंडो से अलग हैं, क्योंकि उन्हें प्रिंसन-ब्रैडली शर्त को पूरा करना होगा। इस अंतर के कारणों में से एक यह है कि एमडीसीटी विंडो को एमडीसीटी (विश्लेषण) और Iएमडीसीटी (संश्लेषण) दोनों के लिए दो बार संचालित किया जाता है।

डीसीटी-IV से संबंध और टीडीएसी की उत्पत्ति

जैसा कि परिभाषाओं के निरीक्षण से देखा जा सकता है, यहां तक ​​कि N के लिए भी एमडीसीटी अनिवार्य रूप से डीसीटी-IV के समतुल्य है, जहां इनपुट को N/2 और दो N-ब्लॉक द्वारा स्थानांतरित किया जाता है डेटा का एक बार में रूपांतरण किया जाता है। इस समानता की अधिक सावधानी से जांच करके, टीडीएसी जैसे महत्वपूर्ण गुणों को आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

डीसीटी-IV से सटीक संबंध को परिभाषित करने के लिए, किसी को यह महसूस करना चाहिए कि डीसीटी-IV वैकल्पिक सम/विषम सीमा स्थितियों से मेल खाता है: यहां तक ​​​​कि इसकी बाईं सीमा पर भी (n = −1/2 के आसपास), विषम इसकी दाहिनी सीमा पर (लगभग n = N − 1/2), और इसी तरह (अलग-अलग फूरियर रूपांतरण के लिए आवधिक सीमाओं के बजाय)। यह पहचान से अनुसरण करता है $\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(-n-1+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]=\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]$ और $\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(2N-n-1+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]=-\cos \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]$. इस प्रकार, यदि इसके इनपुट लंबाई N की एक सरणी x हैं, तो हम इस सरणी को (x, −x) तक विस्तारित करने की कल्पना कर सकते हैं_R, -एक्स, एक्स_R, ...) और इसी तरह, जहां x_R एक्स को उल्टे क्रम में दर्शाता है।

2एन इनपुट और एन आउटपुट के साथ एक एमडीसीटी पर विचार करें, जहां हम इनपुट को चार ब्लॉक (ए, बी, सी, डी) में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक का आकार एन/2 है। यदि हम इन्हें N/2 (एमडीसीटी परिभाषा में +N/2 शब्द से) द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो (b, c, d) N डीसीटी-IV इनपुट के अंत से आगे बढ़ते हैं, इसलिए हमें उन्हें मोड़ना चाहिए ऊपर वर्णित सीमा शर्तों के अनुसार वापस।

इस प्रकार, 2N इनपुट का एमडीसीटी (a, b, c, d) N इनपुट के डीसीटी-IV के बिल्कुल बराबर है: (−c_R-डी, ए-बी_R), जहां आर ऊपर के रूप में उत्क्रमण को दर्शाता है।

(इस तरह, डीसीटी-IV की गणना करने के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म को मामूली रूप से एमडीसीटी पर संचालित किया जा सकता है।)

इसी तरह, ऊपर दिया गया Iएमडीसीटी सूत्र डीसीटी-IV (जो इसका अपना प्रतिलोम है) का ठीक 1/2 है, जहां आउटपुट को (सीमा स्थितियों के माध्यम से) लंबाई 2N तक बढ़ाया जाता है और N/2 द्वारा बाईं ओर वापस स्थानांतरित कर दिया जाता है। व्युत्क्रम डीसीटी-IV केवल इनपुट वापस देगा (−c_R-डी, ए-बी_R) उपर से। जब इसे सीमा शर्तों के माध्यम से बढ़ाया जाता है और स्थानांतरित किया जाता है, तो एक प्राप्त होता है:

Iएमडीसीटी (एमडीसीटी (a, b, c, d)) = (a−b_R, बी-ए_R, सी + डी_R, डी + सी_R)/ 2.

Iएमडीसीटी आउटपुट का आधा इस प्रकार बेमानी है, जैसा कि b−a_R = -(ए−बी_R)_R, और इसी तरह पिछले दो शब्दों के लिए। यदि हम इनपुट को N आकार के बड़े ब्लॉक A,B में समूहित करते हैं, जहाँ A = (a, b) और B = (c, d), हम इस परिणाम को सरल तरीके से लिख सकते हैं:

Iएमडीसीटी (एमडीसीटी (A, B)) = (A−A_R, बी + बी_R)/ 2

अब कोई भी समझ सकता है कि टीडीएसी कैसे काम करता है। मान लीजिए कि कोई बाद के एमडीसीटी की गणना करता है, 50% ओवरलैप, 2 एन ब्लॉक (बी, सी)। इसके बाद Iएमडीसीटी उपरोक्त के अनुरूप परिणाम देगा: (B−B_R, सी + सी_R) / 2. जब इसे पिछले Iएमडीसीटी परिणाम के साथ ओवरलैपिंग आधे में जोड़ा जाता है, तो उलटी शर्तें रद्द हो जाती हैं और मूल डेटा को पुनर्प्राप्त करते हुए केवल B प्राप्त होता है।

टीडीएसी की उत्पत्ति

टाइम-डोमेन अलियासिंग रद्दीकरण शब्द की उत्पत्ति अब स्पष्ट है। तार्किक डीसीटी-IV की सीमाओं से परे विस्तार करने वाले इनपुट डेटा का उपयोग डेटा को उसी तरह से अलियास करने का कारण बनता है जैसे कि Nyquist फ़्रीक्वेंसी से परे फ़्रीक्वेंसी कम फ़्रीक्वेंसी के लिए एलियासिंग कर रहे हैं, सिवाय इसके कि यह अलियासिंग टाइम डोमेन के बजाय समय डोमेन में होता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन: हम के योगदान को अलग नहीं कर सकते ए और बी का_R (ए, बी, सी, डी) के एमडीसीटी या समकक्ष के लिए का परिणाम

Iएमडीसीटी (एमडीसीटी (a, b, c, d)) = (a−b_R, बी-ए_R, सी + डी_R, डी + सी_R) / 2.

संयोजन सी-डी_R और इसी तरह, जोड़े जाने पर संयोजनों को रद्द करने के लिए सटीक रूप से सही संकेत होते हैं।

विषम N के लिए (जो शायद ही कभी व्यवहार में उपयोग किया जाता है), N/2 एक पूर्णांक नहीं है इसलिए एमडीसीटी केवल डीसीटी-IV का शिफ्ट क्रमचय नहीं है। इस मामले में, आधे नमूने द्वारा अतिरिक्त बदलाव का मतलब है कि एमडीसीटी/Iएमडीसीटी डीसीटी-III/II के बराबर हो जाता है, और विश्लेषण ऊपर के अनुरूप है।

चिकनाई और असंततता

हमने ऊपर देखा है कि 2N इनपुट का एमडीसीटी (a, b, c, d) N इनपुट के डीसीटी-IV के बराबर है (-सी_R−d, एक-बी_R). डीसीटी-IV को इसके लिए डिज़ाइन किया गया है मामला जहां सही सीमा पर कार्य विषम है, और इसलिए सही सीमा के पास के मान 0 के करीब हैं। यदि इनपुट सिग्नल सुचारू है, यह मामला है: ए और बी के सबसे दाहिने घटक_R हैं इनपुट अनुक्रम में लगातार (ए, बी, सी, डी), और इसलिए उनका अंतर छोटा है। आइए अंतराल के मध्य को देखें: अगर हम उपरोक्त अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं (-सी_R−d, एक-बी_R) = (-डी, ए) - (बी, सी)_R, दूसरा कार्यकाल, (बी, सी)_R, चिकना देता है बीच में संक्रमण। चूंकि पहले पद में, (−d, a), एक है संभावित विच्छेदन जहां का सही अंत −d, a के बाएँ सिरे से मिलता है। विंडो फ़ंक्शन का उपयोग करने का यही कारण है जो घटकों को कम करता है इनपुट अनुक्रम की सीमाओं के पास (ए, बी, सी, डी) 0 की ओर।

=== विंडो एमडीसीटी === के लिए टीडीएसी

ऊपर, टीडीएसी संपत्ति सामान्य एमडीसीटी के लिए सिद्ध हुई थी, यह दिखाते हुए कि बाद के ब्लॉकों के Iएमडीसीटीs को उनके अतिव्यापी आधे हिस्से में जोड़ने से मूल डेटा ठीक हो जाता है। विंडो वाले एमडीसीटी के लिए इस उलटे गुण की व्युत्पत्ति केवल थोड़ी अधिक जटिल है।

आकार एन के ब्लॉक ए, बी, सी के लिए 2 एन इनपुट (ए, बी) और (बी, सी) के लगातार सेट ओवरलैप करने पर विचार करें। ऊपर से याद करें कि कब $(A,B)$ और $(B,C)$ एमडीसीटीed, Iएमडीसीटीed हैं, और उनके अतिव्यापी आधे हिस्से में जोड़े गए हैं, हम प्राप्त करते हैं $(B+B_{R})/2+(B-B_{R})/2=B$, मूल डेटा।

अब हम मानते हैं कि हम एमडीसीटी इनपुट और Iएमडीसीटी आउटपुट दोनों को 2N लंबाई के विंडो फ़ंक्शन से गुणा करते हैं। ऊपर के रूप में, हम एक सममित विंडो फ़ंक्शन मानते हैं, जो कि फॉर्म का है $(W,W_{R})$ जहां W लंबाई-N वेक्टर है और R पहले की तरह उत्क्रमण को दर्शाता है। तब प्रिंसेन-ब्रैडली स्थिति को इस रूप में लिखा जा सकता है $W^{2}+W_{R}^{2}=(1,1,\ldots )$, वर्गों और परिवर्धन के साथ तत्ववार प्रदर्शन किया।

इसलिए, एमडीसीटीing के बजाय $(A,B)$, अब हम एमडीसीटी $(WA,W_{R}B)$ (सभी गुणाओं के साथ तत्ववार प्रदर्शन किया गया)। जब इसे Iएमडीसीटीed किया जाता है और विंडो फ़ंक्शन द्वारा फिर से गुणा (तत्ववार) किया जाता है, तो अंतिम-एन आधा बन जाता है:

$W_{R}\cdot (W_{R}B+(W_{R}B)_{R})=W_{R}\cdot (W_{R}B+WB_{R})=W_{R}^{2}B+WW_{R}B_{R}$.

(ध्यान दें कि अब हमारे पास 1/2 से गुणा नहीं है, क्योंकि विंडो वाले मामले में Iएमडीसीटी सामान्यीकरण 2 के कारक से भिन्न होता है।)

इसी तरह, विंडो एमडीसीटी और आईएमडीसीटी की $(B,C)$ पैदावार, इसकी पहली-एन छमाही में:

$W\cdot (WB-W_{R}B_{R})=W^{2}B-WW_{R}B_{R}$.

जब हम इन दो हिस्सों को एक साथ जोड़ते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

$(W_{R}^{2}B+WW_{R}B_{R})+(W^{2}B-WW_{R}B_{R})=\left(W_{R}^{2}+W^{2}\right)B=B,$

मूल डेटा पुनर्प्राप्त करना।

यह भी देखें

• असतत कोज्या परिवर्तन
• अन्य अतिव्यापी विंडो वाले फूरियर रूपांतरणों में शामिल हैं:
  • संग्राहक जटिल लैप्ड रूपांतरण
  • शॉर्ट-टाइम फूरियर रूपांतरण
  • वेल्च की विधि
• ऑडियो कोडिंग प्रारूप
• ऑडियो संपीड़न (डेटा)

ग्रन्थसूची

• Henrique S. Malvar, Signal Processing with Lapped Transforms (Artech House: Norwood MA, 1992).
• A. W. Johnson and A. B. Bradley, "Adaptive transform coding incorporating time domain aliasing cancellation," Speech Comm. 6, 299-308 (1987).
• For algorithms, see examples:
  • Chi-Min Liu and Wen-Chieh Lee, "A unified fast algorithm for cosine modulated filterbanks in current audio standards", J. Audio Engineering 47 (12), 1061-1075 (1999).
  • V. Britanak and K. R. Rao, "A new fast algorithm for the unified forward and inverse एमडीसीटी/MDST computation," Signal Processing 82, 433-459 (2002)
  • Vladimir Nikolajevic and Gerhard Fettweis, "Computation of forward and inverse एमडीसीटी using Clenshaw's recurrence formula," IEEE Trans. Sig. Proc. 51 (5), 1439-1444 (2003)
  • Che-Hong Chen, Bin-Da Liu, and Jar-Ferr Yang, "Recursive architectures for realizing modified discrete cosine transform and its inverse," IEEE Trans. Circuits Syst. II: Analog Dig. Sig. Proc. 50 (1), 38-45 (2003)
  • J.S. Wu, H.Z. Shu, L. Senhadji, and L.M. Luo, "Mixed-radix algorithm for the computation of forward and inverse एमडीसीटीs," IEEE Trans. Circuits Syst. I: Reg. Papers 56 (4), 784-794 (2009)
  • V. Britanak, "A survey of efficient एमडीसीटी implementations in MP3 audio coding standard: retrospective and state-of-the-art," Signal. Process. 91 (4), 624-672(2011)