निष्पक्ष विभाजन

फेयर डिवीजन खेल सिद्धांत में संसाधनों के एक सेट को कई लोगों के बीच विभाजित करने की समस्या है, जिनके पास उनका अधिकार है ताकि प्रत्येक व्यक्ति को उनका उचित हिस्सा मिले। यह समस्या विभिन्न वास्तविक दुनिया सेटिंग्स में उत्पन्न होती है जैसे कि विरासत का विभाजन, साझेदारी विघटन, तलाक निपटान, इलेक्ट्रॉनिक आवृत्ति आवंटन, हवाईअड्डा यातायात प्रबंधन, और पृथ्वी अवलोकन उपग्रह का शोषण। यह गणित, अर्थशास्त्र (विशेष रूप से सामाजिक पसंद सिद्धांत), विवाद समाधान, आदि में एक सक्रिय अनुसंधान क्षेत्र है। निष्पक्ष विभाजन का केंद्रीय सिद्धांत यह है कि इस तरह के विभाजन को खिलाड़ियों द्वारा स्वयं किया जाना चाहिए, शायद मध्यस्थता का उपयोग करते हुए लेकिन निश्चित रूप से मध्यस्थता नहीं जैसा कि केवल खिलाड़ी ही वास्तव में जानते हैं कि वे सामानों को कैसे महत्व देते हैं।

आर्किटेपल फेयर डिवीजन कलन विधि विभाजित करें और चुनें। यह प्रदर्शित करता है कि अलग-अलग स्वाद वाले दो एजेंट एक केक को इस तरह विभाजित कर सकते हैं कि उनमें से प्रत्येक का मानना ​​है कि उसे सबसे अच्छा टुकड़ा मिला। फेयर डिवीजन में अनुसंधान को इस प्रक्रिया के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, जो कि अधिक जटिल सेटिंग्स के लिए है।

विभाजित करने के लिए माल की प्रकृति, निष्पक्षता के मानदंड, खिलाड़ियों की प्रकृति और उनकी प्राथमिकताओं, और विभाजन की गुणवत्ता के मूल्यांकन के लिए अन्य मानदंडों के आधार पर निष्पक्ष विभाजन की कई विभिन्न प्रकार की समस्याएं हैं।

चीजें जिन्हें विभाजित किया जा सकता है

औपचारिक रूप से, एक उचित विभाजन समस्या को एक सेट द्वारा परिभाषित किया जाता है $C$ (अक्सर केक कहा जाता है) और का एक समूह $n$ खिलाड़ियों। एक विभाजन का एक विभाजन है $C$ में $n$ असंयुक्त उपसमुच्चय: $C=X_{1}\sqcup X_{2}\sqcup \cdots \sqcup X_{n}$, प्रति खिलाड़ी एक सबसेट।

सेट $C$ विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं:

• $C$ अविभाज्य वस्तुओं का एक परिमित समूह हो सकता है, उदाहरण के लिए: $C=\{piano,car,apartment\}$, जैसे कि प्रत्येक वस्तु पूरी तरह से एक ही व्यक्ति को दी जानी चाहिए।
• $C$ एक विभाज्य संसाधन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक अनंत सेट हो सकता है, उदाहरण के लिए: पैसा, या एक केक। गणितीय रूप से, एक विभाज्य संसाधन को अक्सर वास्तविक स्थान के सबसेट के रूप में तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, खंड [0,1] एक लंबे संकीर्ण केक का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जिसे समानांतर टुकड़ों में काटा जाना है। यूनिट डिस्क एक सेब पाई का प्रतिनिधित्व कर सकती है।

इसके अतिरिक्त, विभाजित किया जाने वाला सेट हो सकता है:

• सजातीय - जैसे पैसा, जहाँ केवल राशि मायने रखती है, या
• विजातीय - जैसे एक केक जिसमें अलग-अलग सामग्री, अलग-अलग टुकड़े आदि हो सकते हैं।

अंत में, इस बारे में कुछ धारणाएँ बनाना आम है कि क्या वस्तुओं को विभाजित किया जाना है:

• सामान - जैसे कार या केक, या
• बुरे - जैसे घर के काम।

इन भेदों के आधार पर, निष्पक्ष विभाजन की कई सामान्य प्रकार की समस्याओं का अध्ययन किया गया है:

• उचित आइटम असाइनमेंट - अविभाज्य और विषम वस्तुओं के एक सेट को विभाजित करना।
• उचित संसाधन आवंटन - विभाज्य और सजातीय वस्तुओं के एक सेट को विभाजित करना। एक विशेष मामला एकल सजातीय संसाधन का उचित विभाजन है।
• निष्पक्ष केक काटना - एक विभाज्य, विषम अच्छाई को विभाजित करना। एक विशेष मामला तब होता है जब केक एक चक्र होता है; तब समस्या को निष्पक्ष पाई-कटिंग कहा जाता है।
• फेयर घर का काम विभाजन - एक विभाज्य, विषम खराब को विभाजित करना।

संयोजन और विशेष मामले भी आम हैं:

• गृहणियों की समस्या (उर्फ गृहिणियों की समस्या) - अविभाज्य विषम वस्तुओं (जैसे, एक अपार्टमेंट में कमरे) के एक सेट को विभाजित करना, और साथ ही एक सजातीय विभाज्य खराब (अपार्टमेंट पर किराया)।
• निष्पक्ष नदी साझाकरण - एक अंतरराष्ट्रीय नदी में बहने वाले पानी को उसकी धारा के साथ देशों के बीच विभाजित करना।
• निष्पक्ष उचित यादृच्छिक असाइनमेंट लॉटरी को डिवीजनों में विभाजित करना - विशेष रूप से अविभाज्य वस्तुओं को आवंटित करते समय आम है।

निष्पक्षता की परिभाषा

आमतौर पर जिसे निष्पक्ष विभाजन कहा जाता है, उसमें से अधिकांश को मध्यस्थता के उपयोग के कारण सिद्धांत द्वारा ऐसा नहीं माना जाता है। इस तरह की स्थिति अक्सर वास्तविक जीवन की समस्याओं के नाम पर रखे गए गणितीय सिद्धांतों के साथ होती है। जब एक संपत्ति दिवालिया हो जाती है तो पात्रता (निष्पक्ष विभाजन) पर तल्मूड में निर्णय निष्पक्षता के बारे में कुछ काफी जटिल विचारों को दर्शाता है, और ज्यादातर लोग उन्हें निष्पक्ष मानेंगे। हालाँकि वे दावेदारों के मूल्यांकन के अनुसार विभाजन के बजाय रब्बियों द्वारा कानूनी बहस का परिणाम हैं।

मूल्य के व्यक्तिपरक सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक वस्तु के मूल्य का एक वस्तुनिष्ठ माप नहीं हो सकता है। इसलिए, निष्पक्षता संभव नहीं है, क्योंकि अलग-अलग लोग प्रत्येक आइटम के लिए अलग-अलग मान निर्दिष्ट कर सकते हैं। लोग निष्पक्षता की अवधारणा को कैसे परिभाषित करते हैं, इस पर अनुभवजन्य प्रयोग अनिर्णायक परिणाम की ओर ले जाता है।

इसलिए, निष्पक्षता पर अधिकांश वर्तमान शोध व्यक्तिपरक निष्पक्षता की अवधारणाओं पर केंद्रित है। हरेक $n$ लोगों को व्यक्तिगत, व्यक्तिपरक उपयोगिता कार्य या मूल्य कार्य माना जाता है, $V_{i}$, जो प्रत्येक सबसेट के लिए एक संख्यात्मक मान प्रदान करता है $C$. अक्सर कार्यों को सामान्यीकृत मान लिया जाता है, ताकि प्रत्येक व्यक्ति खाली सेट को 0 के रूप में मान दे ($V_{i}(\emptyset )=0$ सभी i के लिए), और 1 के रूप में आइटम का पूरा सेट ($V_{i}(C)=1$ सभी के लिए i) यदि आइटम वांछनीय हैं, और -1 यदि आइटम अवांछनीय हैं। उदाहरण हैं:

• अगर $C$ अविभाज्य वस्तुओं {पियानो, कार, अपार्टमेंट} का सेट है, तो ऐलिस और बॉब प्रत्येक आइटम के लिए 1/3 का मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आइटम उसके लिए किसी भी अन्य आइटम के समान ही महत्वपूर्ण है। ऐलिस और बॉब सेट {कार, अपार्टमेंट} के लिए 1 का मान और एक्स को छोड़कर अन्य सभी सेटों के लिए मान 0 निर्दिष्ट कर सकते हैं; इसका मतलब है कि वह केवल कार और अपार्टमेंट एक साथ प्राप्त करना चाहता है; अकेले कार या अकेले अपार्टमेंट, या उनमें से प्रत्येक पियानो के साथ, उसके लिए बेकार है।
• अगर $C$ एक लंबा संकीर्ण केक है (अंतराल [0,1] के रूप में तैयार किया गया है), तो ऐलिस प्रत्येक उपसमुच्चय को उसकी लंबाई के अनुपात में एक मान निर्दिष्ट कर सकती है, जिसका अर्थ है कि वह आइसिंग की परवाह किए बिना जितना संभव हो उतना केक चाहती है। बॉब केवल [0.4, 0.6] के उपसमुच्चय को मान दे सकता है, उदाहरण के लिए, क्योंकि केक के इस हिस्से में चेरी होती है और बॉब केवल चेरी की परवाह करता है।

इन व्यक्तिपरक मूल्य कार्यों के आधार पर, निष्पक्ष विभाजन के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले कई मानदंड हैं। इनमें से कुछ एक दूसरे के साथ संघर्ष करते हैं लेकिन अक्सर उन्हें जोड़ा जा सकता है। यहां वर्णित मानदंड केवल तभी हैं जब प्रत्येक खिलाड़ी समान राशि का हकदार हो:

• एक आनुपातिक विभाजन का अर्थ है कि प्रत्येक व्यक्ति को अपने स्वयं के मूल्य कार्य के अनुसार कम से कम उसका उचित हिस्सा मिलता है। उदाहरण के लिए यदि तीन लोग एक केक बांटते हैं तो प्रत्येक को कम से कम एक तिहाई अपने स्वयं के मूल्यांकन से मिलता है, यानी प्रत्येक एन लोगों को एक सबसेट मिलता है$C$जिसे वह कुल मूल्य का कम से कम 1/n मानता है:
  • $V_{i}(X_{i})\geq V_{i}(C)/n$ सभी के लिए मैं
• एक सुपर-आनुपातिक विभाजन वह होता है जहां प्रत्येक खिलाड़ी को 1/n से अधिक सख्ती से प्राप्त होता है (ऐसा विभाजन केवल तभी मौजूद होता है जब खिलाड़ियों के अलग-अलग मूल्यांकन होते हैं):
  • $V_{i}(X_{i})>V_{i}(C)/n$ सभी के लिए मैं
• एक ईर्ष्या-मुक्त विभाजन यह गारंटी देता है कि कोई भी किसी और के हिस्से को अपने से ज्यादा नहीं चाहेगा, यानी हर व्यक्ति को एक हिस्सा मिलता है जिसे वह कम से कम उतना ही महत्व देता है जितना कि अन्य सभी शेयर:
  • $V_{i}(X_{i})\geq V_{i}(X_{j})$ सभी i और j के लिए।
• एक समूह-ईर्ष्या-मुक्त विभाजन गारंटी देता है कि एजेंटों का कोई भी उपसमुच्चय समान आकार के दूसरे उपसमुच्चय की ईर्ष्या नहीं करता; यह ईर्ष्या-निडरता से कहीं अधिक मजबूत है।
• एक इक्विटी (अर्थशास्त्र) डिवीजन का मतलब है कि हर व्यक्ति बिल्कुल एक ही तरह की खुशी महसूस करता है, यानी एक खिलाड़ी को अपने स्वयं के मूल्यांकन से प्राप्त होने वाले केक का अनुपात हर खिलाड़ी के लिए समान होता है। यह एक कठिन लक्ष्य है क्योंकि खिलाड़ियों से उनके मूल्यांकन के बारे में पूछे जाने पर उन्हें सच्चा होने की आवश्यकता नहीं है:
  • $V_{i}(X_{i})=V_{j}(X_{j})$ सभी i और j के लिए।
• एक सटीक विभाजन (उर्फ सर्वसम्मति विभाजन) वह है जहां सभी खिलाड़ी प्रत्येक शेयर के मूल्य पर सहमत होते हैं:
  • $V_{i}(X_{i})=V_{j}(X_{i})$ सभी i और j के लिए।

उपरोक्त सभी मानदंड मानते हैं कि प्रतिभागियों के पास समान पात्रता (निष्पक्ष विभाजन) है। यदि अलग-अलग प्रतिभागियों की अलग-अलग पात्रताएँ हैं (उदाहरण के लिए, एक साझेदारी में जहाँ प्रत्येक भागीदार ने एक अलग राशि का निवेश किया है), तो निष्पक्षता मानदंड को तदनुसार अनुकूलित किया जाना चाहिए। अलग-अलग अधिकारों के साथ आनुपातिक केक-कटिंग देखें।

अतिरिक्त आवश्यकताएं

निष्पक्षता के अलावा, कभी-कभी यह वांछित होता है कि विभाजन पेरेटो इष्टतम हो, यानी, कोई अन्य आवंटन किसी और को खराब किए बिना किसी को बेहतर नहीं बना देगा। दक्षता शब्द कुशल बाजार के अर्थशास्त्र के विचार से आता है। एक विभाजन जहां एक खिलाड़ी को सब कुछ मिलता है, इस परिभाषा से इष्टतम है, इसलिए यह अपने आप में एक उचित हिस्से की गारंटी भी नहीं देता है। कुशल केक काटने और निष्पक्षता की कीमत भी देखें।

पॉट्सडैम सम्मेलन द्वारा विभाजित बर्लिन

वास्तविक दुनिया में कभी-कभी लोगों को बहुत सटीक अंदाजा होता है कि दूसरे खिलाड़ी सामान को कितना महत्व देते हैं और वे इसकी बहुत परवाह करते हैं। मामला जहां उन्हें एक-दूसरे के मूल्यांकन का पूरा ज्ञान है, गेम थ्योरी द्वारा तैयार किया जा सकता है। आंशिक ज्ञान को मॉडल करना बहुत कठिन है। निष्पक्ष विभाजन के व्यावहारिक पक्ष का एक बड़ा हिस्सा ऐसी प्रक्रियाओं का विकास और अध्ययन है जो इस तरह के आंशिक ज्ञान या छोटी गलतियों के बावजूद अच्छी तरह से काम करती हैं।

एक अतिरिक्त आवश्यकता यह है कि निष्पक्ष विभाजन प्रक्रिया एक सत्य तंत्र हो, यानी प्रतिभागियों के लिए उनके वास्तविक मूल्यांकन की रिपोर्ट करने के लिए यह एक प्रमुख रणनीति होनी चाहिए। निष्पक्षता और पारेटो-दक्षता के संयोजन में इस आवश्यकता को पूरा करना आमतौर पर बहुत कठिन होता है।

प्रक्रियाएं

एक उचित विभाजन एल्गोरिथम दृश्य डेटा और उनके मूल्यांकन के संदर्भ में खिलाड़ियों द्वारा की जाने वाली कार्रवाइयों को सूचीबद्ध करता है। एक वैध प्रक्रिया वह है जो प्रत्येक खिलाड़ी के लिए उचित विभाजन की गारंटी देती है जो अपने मूल्यांकन के अनुसार तर्कसंगत रूप से कार्य करता है। जहां एक कार्रवाई एक खिलाड़ी के मूल्यांकन पर निर्भर करती है, प्रक्रिया उस रणनीति का वर्णन कर रही है जिसका एक तर्कसंगत खिलाड़ी पालन करेगा। एक खिलाड़ी इस तरह कार्य कर सकता है जैसे कि एक टुकड़े का एक अलग मूल्य था लेकिन वह सुसंगत होना चाहिए। उदाहरण के लिए यदि एक प्रक्रिया कहती है कि पहला खिलाड़ी केक को दो बराबर भागों में काटता है तो दूसरा खिलाड़ी एक टुकड़ा चुनता है, तो पहला खिलाड़ी यह दावा नहीं कर सकता कि दूसरे खिलाड़ी को अधिक मिला।

खिलाड़ी क्या करते हैं:

• निष्पक्ष विभाजन के लिए उनके मानदंड पर सहमत हों
• एक मान्य प्रक्रिया का चयन करें और उसके नियमों का पालन करें

यह माना जाता है कि प्रत्येक खिलाड़ी का लक्ष्य उन्हें मिलने वाली न्यूनतम राशि को अधिकतम करना है, या दूसरे शब्दों में, न्यूनतम राशि प्राप्त करना है।

प्रक्रियाओं को असतत बनाम निरंतर प्रक्रियाओं में विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए एक असतत प्रक्रिया में एक समय में केवल एक व्यक्ति को केक काटने या चिह्नित करना शामिल होगा। निरंतर प्रक्रियाओं में एक खिलाड़ी के चलने-चाकू की प्रक्रिया और दूसरे के कहने पर रोक जैसी चीजें शामिल होती हैं। एक अन्य प्रकार की सतत प्रक्रिया में केक के प्रत्येक भाग के लिए एक व्यक्ति को मूल्य निर्दिष्ट करना शामिल होता है।

उचित विभाजन प्रक्रियाओं की सूची के लिए, देखें :श्रेणी:उचित विभाजन प्रोटोकॉल।

कोई परिमित प्रोटोकॉल (भले ही असीमित हो) तीन या अधिक खिलाड़ियों के बीच एक केक के ईर्ष्या-मुक्त विभाजन की गारंटी दे सकता है, यदि प्रत्येक खिलाड़ी को एक जुड़ा हुआ टुकड़ा प्राप्त करना है। हालांकि, यह परिणाम केवल उस काम में प्रस्तुत मॉडल पर लागू होता है और उन मामलों के लिए नहीं जहां, उदाहरण के लिए, एक मध्यस्थ के पास खिलाड़ियों के मूल्यांकन कार्यों की पूरी जानकारी होती है और इस जानकारी के आधार पर एक विभाजन का प्रस्ताव करता है।

एक्सटेंशन

हाल ही में, निष्पक्ष विभाजन के मॉडल को व्यक्तिगत एजेंटों से लेकर एजेंटों के परिवारों (पूर्व-निर्धारित समूहों) तक बढ़ाया गया है। समूहों के बीच उचित विभाजन देखें।

इतिहास

सोल गारफंकेल के अनुसार, केक काटने की समस्या 20वीं सदी के गणित की सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्याओं में से एक थी, जब 1995 में स्टीवन ब्राम्स और एलन डी. टेलर द्वारा ब्रैम-टेलर प्रक्रिया के साथ समस्या का सबसे महत्वपूर्ण रूप अंततः हल किया गया था।

फूट डालो और चुनो की उत्पत्ति का दस्तावेजीकरण नहीं किया गया है। सौदेबाजी और वस्तु विनिमय की संबंधित गतिविधियाँ भी प्राचीन हैं। दो से अधिक लोगों को शामिल करने वाली बातचीत भी काफी आम है, पॉट्सडैम सम्मेलन एक उल्लेखनीय हालिया उदाहरण है।

निष्पक्ष विभाजन का सिद्धांत केवल द्वितीय विश्व युद्ध के अंत तक का है। यह पोलैंड के गणितज्ञों, ह्यूगो स्टीनहॉस, ब्रॉनिस्लाव नस्टर और स्टीफन बानाच के एक समूह द्वारा तैयार किया गया था, जो लावोव (तब पोलैंड में) में स्कॉटिश कैफे में मिलते थे। 1944 में 'अंतिम-मंदक' कहे जाने वाले खिलाड़ियों की किसी भी संख्या के लिए एक आनुपातिक (निष्पक्ष विभाजन) विभाजन तैयार किया गया था। इसका श्रेय स्टीनहॉस द्वारा बनच और नास्टर को दिया गया था, जब उन्होंने अर्थमितीय समाज की बैठक में पहली बार समस्या को सार्वजनिक किया था। 17 सितंबर 1947 को वाशिंगटन डी.सी.। उस बैठक में उन्होंने इस तरह के डिवीजनों के लिए आवश्यक कटौती की सबसे छोटी संख्या खोजने की समस्या का भी प्रस्ताव रखा।

ईर्ष्या मुक्त केक काटने के इतिहास के लिए देखें ईर्ष्या मुक्त केक-काटना#लघु इतिहास|ईर्ष्या-मुक्त केक-काटना।

लोकप्रिय संस्कृति में

• 17-जानवरों की विरासत पहेली में 17 ऊंटों (या हाथी, या घोड़ों) के उचित विभाजन को 1/2, 1/3, और 1/9 के अनुपात में शामिल किया गया है। यह एक लोकप्रिय गणितीय पहेली है, जिसका अक्सर एक प्राचीन मूल होने का दावा किया जाता है, लेकिन इसका पहला प्रलेखित प्रकाशन 18वीं शताब्दी के ईरान में हुआ था।
• Numb3rs सीज़न 3 के एपिसोड वन आवर में, चार्ली केक काटने की समस्या के बारे में बात करता है, जो उस राशि पर लागू होती है, जो एक अपहरणकर्ता मांग रहा था।
• ह्यूगो स्टीनहॉस ने अपनी पुस्तक मैथमैटिकल स्नैपशॉट्स में निष्पक्ष विभाजन के कई प्रकारों के बारे में लिखा। अपनी पुस्तक में वे कहते हैं कि फेयर डिवीजन का एक विशेष तीन-व्यक्ति संस्करण 1944 में बेर्देचो में जी. क्रोचमैनी द्वारा तैयार किया गया था और दूसरा श्रीमती एल कोट्ट द्वारा तैयार किया गया था।
• मार्टिन गार्डनर और इयान स्टीवर्ट (गणितज्ञ) दोनों ने समस्या के बारे में खंडों वाली पुस्तकें प्रकाशित की हैं। मार्टिन गार्डनर ने समस्या का कोर डिवीजन फॉर्म पेश किया। इयान स्टीवर्ट ने अमेरिकी वैज्ञानिक और नए वैज्ञानिक में अपने लेखों के साथ निष्पक्ष विभाजन की समस्या को लोकप्रिय बनाया है।
• डायनासोर कॉमिक्स की पट्टी केक काटने की समस्या पर आधारित है।
• इजरायली फिल्म सेंट क्लारा (फिल्म) में एक रूसी अप्रवासी एक इजरायली गणित शिक्षक से पूछता है, एक गोलाकार केक को 7 लोगों के बीच निष्पक्ष रूप से कैसे बांटा जा सकता है? उसका उत्तर इसके मध्य से 3 सीधे कट बनाना है, जिससे 8 बराबर टुकड़े हो जाएँ। चूंकि केवल 7 लोग हैं, साम्यवाद की भावना में एक टुकड़ा छोड़ दिया जाना चाहिए।

यह भी देखें

• ऑनलाइन मेले का विभाजन फेयर डिवीजन का एक प्रकार है जिसमें डिवीजन के समय सभी आइटम या एजेंट उपलब्ध नहीं होते हैं।
• इक्विटी (अर्थशास्त्र)
• अंतर्राष्ट्रीय व्यापार
• न्याय (अर्थशास्त्र)
• बस्ता समस्या
• मेला संभाग में अनसुलझी समस्याओं की सूची
• नैश सौदेबाजी का खेल
• पिज्जा प्रमेय
• निष्पक्षता की कीमत
• स्पाईट (गेम थ्योरी)
• सामरिक निष्पक्ष विभाजन
• एंटीकॉमन्स की त्रासदी
• सामान्य लोगों की त्रासदी

पाठ्य पुस्तकें

• Young, Peyton H. (1995). Equity: in theory and practice. Princeton University Press.
• Brams, Steven J.; Taylor, Alan D. (1996). Fair division: from cake-cutting to dispute resolution. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55644-9.
• Robertson, Jack; Webb, William (1998). Cake-Cutting Algorithms: Be Fair If You Can. Natick, Massachusetts: A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-076-8. LCCN 97041258. OL 2730675W.
• Herve Moulin (2004). Fair Division and Collective Welfare. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.
• Barbanel, Julius B.; with an introduction by Alan D. Taylor (2005). The geometry of efficient fair division. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511546679. ISBN 0-521-84248-4. MR 2132232.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) Short summary is available at: Barbanel, J. (2010). "A Geometric Approach to Fair Division". The College Mathematics Journal. 41 (4): 268. doi:10.4169/074683410x510263.
• Steven J. Brams (2008). Mathematics and Democracy: Designing Better Voting and Fair-Division Procedures. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691133218.

सर्वेक्षण लेख

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• हैल आर. वेरियन (1987). फेयरनेस, द न्यू पालग्रेव: ए डिक्शनरी ऑफ इकोनॉमिक्स, वी. 2, पीपी. 275-76।
• ब्रायन स्किर्म्स (1996)। सामाजिक अनुबंध का विकास कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। ISBN 978-0-521-55583-8
• Hill, T.P. (2000). "उचित हिस्सा पाने के लिए गणितीय उपकरण". American Scientist. 88 (4): 325–331. Bibcode:2000AmSci..88..325H. doi:10.1511/2000.4.325. S2CID 221539202.
• Brandt, Felix; Conitzer, Vincent; Endriss, Ulle; Lang, Jérôme; Procaccia, Ariel D. (2016). Handbook of Computational Social Choice (in English). Cambridge University Press. ISBN 9781107060432. (free online version), अध्याय 11–13।
• फेयर डिवीजन क्रिश्चियन क्लैमलर द्वारा - ग्रुप डिसिजन एंड नेगोशिएशन पीपी 183-202 की हैंडबुक में।
• केक-कटिंग: फेयर डिवीजन ऑफ डिविजिबल गुड्स क्लाउडिया लिंडनर और जॉर्ग रोथ द्वारा - अर्थशास्त्र और संगणना में पीपी 395-491 .
• अविभाज्य वस्तुओं का उचित विभाजन जेरोम लैंग और जोर्ग रोथ द्वारा - अर्थशास्त्र और संगणना पीपी 493-550 में।

बाहरी संबंध

• Fair Division from the Discrete Mathematics Project at the University of Colorado at Boulder.
• Fair Division: Method of Markers
• Fair Division: Method of Sealed Bids