सदिश बीजगणित में निम्नलिखित महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ हैं। वे सर्वसमिकाएं जिनमें सदिश का परिमाण शामिल होता है ‖ A ‖ {\displaystyle \|\mathbf {A} \|} [nb 1] [1]
परिमाण डॉट उत्पाद का उपयोग करके वेक्टर ए की परिमाण व्यक्त की जा सकती है:
‖ A ‖ 2 = A ⋅ A {\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} } त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, सदिश का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसके तीन घटकों से निर्धारित किया जाता है:
‖ A ‖ 2 = A 1 2 + A 2 2 + A 3 2 {\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}
असमानताएं कॉची-श्वार्ज़ असमानता: A ⋅ B ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}
त्रिभुज असमानता: ‖ A + B ‖ ≤ ‖ A ‖ + ‖ B ‖ {\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}
त्रिकोण_असमानता#उलटा_त्रिकोण_असमानता : ‖ A − B ‖ ≥ | ‖ A ‖ − ‖ B ‖ | {\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}
कोण सदिश गुणनफल और दो सदिशों के अदिश गुणनफल उनके बीच के कोण को परिभाषित करते हैं, कहते हैं θ:[1] [2]
sin θ = ‖ A × B ‖ ‖ A ‖ ‖ B ‖ ( − π < θ ≤ π ) {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )} दाहिने हाथ के नियम को संतुष्ट करने के लिए, सकारात्मक θ के लिए, सदिश 'B' 'A' से वामावर्त है, और ऋणात्मक θ के लिए यह दक्षिणावर्त है।
cos θ = A ⋅ B ‖ A ‖ ‖ B ‖ ( − π < θ ≤ π ) {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )} पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान तब प्रदान करती है:
‖ A × B ‖ 2 + ( A ⋅ B ) 2 = ‖ A ‖ 2 ‖ B ‖ 2 {\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}} यदि एक सदिश A = (Ax , एy , एz ) x-, y- और z-अक्षों के लंबकोणीय समुच्चय के साथ α, β, γ कोण बनाता है, तब:
cos α = A x A x 2 + A y 2 + A z 2 = A x ‖ A ‖ , {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,} और समान रूप से कोण β, γ के लिए। फलस्वरूप:
A = ‖ A ‖ ( cos α i ^ + cos β j ^ + cos γ k ^ ) , {\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),} साथ i ^ , j ^ , k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}
क्षेत्र और आयतन भुजाओं A और B वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल Σ जिसमें कोण θ है:
Σ = A B sin θ , {\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,} जिसे समांतर चतुर्भुज के किनारों पर झूठ बोलने वाले वैक्टर ए और बी के वेक्टर क्रॉस उत्पाद के परिमाण के रूप में पहचाना जाएगा। वह है:
Σ = ‖ A × B ‖ = ‖ A ‖ 2 ‖ B ‖ 2 − ( A ⋅ B ) 2 . {\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .} (यदि ए, बी द्वि-आयामी वैक्टर हैं, तो यह पंक्तियों ए, बी के साथ 2 × 2 मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।) इस अभिव्यक्ति का वर्ग है:[3]
Σ 2 = ( A ⋅ A ) ( B ⋅ B ) − ( A ⋅ B ) ( B ⋅ A ) = Γ ( A , B ) , {\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,} जहां Γ (ए, बी) ए और बी के ग्राम निर्धारक द्वारा परिभाषित किया गया है:
Γ ( A , B ) = | A ⋅ A A ⋅ B B ⋅ A B ⋅ B | . {\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .} इसी तरह से, तीन सदिशों 'ए', 'बी', 'सी' द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज का वर्गित आयतन तीन सदिशों के ग्राम निर्धारक द्वारा दिया जाता है:[3] V 2 = Γ ( A , B , C ) = | A ⋅ A A ⋅ B A ⋅ C B ⋅ A B ⋅ B B ⋅ C C ⋅ A C ⋅ B C ⋅ C | , {\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,} स्केलर ट्रिपल उत्पाद के वर्ग के बराबर है det [ A , B , C ] = | A , B , C | {\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}
इस प्रक्रिया को एन-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है।
सदिशों का योग और गुणन जोड़ की क्रमविनिमेयता : A + B = B + A {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }
अदिश उत्पाद की क्रमविनिमेयता: A ⋅ B = B ⋅ A {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }
क्रॉस उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी : A × B = − B × A {\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A} }
जोड़ पर अदिश द्वारा गुणन का वितरण : c ( A + B ) = c A + c B {\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }
अतिरिक्त पर स्केलर उत्पाद का वितरण: ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C {\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }
सदिश उत्पाद का वितरण योग से अधिक: ( A + B ) × C = A × C + B × C {\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }
स्केलर ट्रिपल उत्पाद: A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ ( C × A ) = C ⋅ ( A × B ) = | A B C | = | A x B x C x A y B y C y A z B z C z | . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}
वेक्टर ट्रिपल उत्पाद : A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B ) C {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} } जैकोबी पहचान : A × ( B × C ) + C × ( A × B ) + B × ( C × A ) = 0 . {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .} बिनेट-कॉची पहचान : ( A × B ) ⋅ ( C × D ) = ( A ⋅ C ) ( B ⋅ D ) − ( B ⋅ C ) ( A ⋅ D ) . {\displaystyle \mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right).} लैग्रेंज की पहचान: | A × B | 2 = ( A ⋅ A ) ( B ⋅ B ) − ( A ⋅ B ) 2 {\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}
वेक्टर चौगुनी उत्पाद:[4] [5] ( A × B ) × ( C × D ) = | A B D | C − | A B C | D = | A C D | B − | B C D | A . {\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )\ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {C} \,-\,|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} \ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {B} \,-\,|\mathbf {B} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {A} .}
पिछले समीकरण का एक परिणाम:[6] | A B C | D = ( A ⋅ D ) ( B × C ) + ( B ⋅ D ) ( C × A ) + ( C ⋅ D ) ( A × B ) . {\displaystyle |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).}
3 आयामों में, वेक्टर डी को आधार वैक्टर {ए, बी, सी} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:[7] D = D ⋅ ( B × C ) | A B C | A + D ⋅ ( C × A ) | A B C | B + D ⋅ ( A × B ) | A B C | C . {\displaystyle \mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .}
यह भी देखें टिप्पणियाँ
संदर्भ 
