गाउसीय कक्षीय

कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान और आणविक भौतिकी में, गॉसियन ऑर्बिटल्स (जिसे गॉसियन टाइप ऑर्बिटल्स, जीटीओ या गॉसियन के रूप में भी जाना जाता है) अणुओं में आणविक कक्षीय के प्रतिनिधित्व के लिए परमाणु ऑर्बिटल्स के रैखिक संयोजन में परमाणु ऑर्बिटल्स के रूप में उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन (गणित) हैं। कई गुण जो इन पर निर्भर करते हैं।

औचित्य

इलेक्ट्रॉनिक संरचना सिद्धांत में गॉसियन ऑर्बिटल्स का उपयोग (अधिक भौतिक स्लेटर-प्रकार की कक्षा के बजाय) पहले एस फ्रांसिस बॉयज़ द्वारा प्रस्तावित किया गया था 1950 में। आणविक क्वांटम रासायनिक गणना में गॉसियन बेसिस सेट (रसायन विज्ञान) के उपयोग का मुख्य कारण 'गाऊसी उत्पाद प्रमेय' है, जो गारंटी देता है कि दो अलग-अलग परमाणुओं पर केंद्रित दो जीटीओ का उत्पाद गौसियन का एक परिमित योग है। उन्हें जोड़ने वाली धुरी के साथ एक बिंदु। इस तरीके से, चार-केंद्र समाकलों को दो-केन्द्रीय समाकलों के परिमित योगों में घटाया जा सकता है, और अगले चरण में एक-केन्द्र समाकलों के योगों को परिमित किया जा सकता है। स्लेटर ऑर्बिटल्स की तुलना में परिमाण के 4-5 आदेशों की स्पीडअप आमतौर पर गॉसियन गणना में आवश्यक आधार कार्यों की बड़ी संख्या से जुड़ी अतिरिक्त लागत से अधिक होती है।

सुविधा के कारणों से, कई क्वांटम रसायन विज्ञान कार्यक्रम कार्टेशियन गॉसियन के आधार पर काम करते हैं, तब भी जब गोलाकार गॉसियन का अनुरोध किया जाता है, क्योंकि कार्टेशियन आधार में अभिन्न मूल्यांकन बहुत आसान है, और गोलाकार कार्यों को केवल कार्टेशियन कार्यों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

गणितीय रूप

गाऊसी आधार कार्य सामान्य रेडियल-कोणीय अपघटन का पालन करते हैं

$\ \Phi (\mathbf {r} )=R_{l}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$,

कहाँ $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ एक गोलाकार हार्मोनिक्स है, $l$ और $m$ कोणीय गति और उसके हैं $z$ घटक, और $r,\theta ,\phi$ गोलाकार निर्देशांक हैं।

जबकि स्लेटर ऑर्बिटल्स के लिए रेडियल भाग है

$\ R_{l}(r)=A(l,\alpha )r^{l}e^{-\alpha r},$

$A(l,\alpha )$ एक सामान्यीकरण स्थिरांक होने के नाते, गॉसियन आदिम के लिए रेडियल भाग है

$\ R_{l}(r)=B(l,\alpha )r^{l}e^{-\alpha r^{2}},$

कहाँ $B(l,\alpha )$ गॉसियन के अनुरूप सामान्यीकरण स्थिरांक है।

सामान्यीकरण की स्थिति जो निर्धारित करती है $A(l,\alpha )$ या $B(l,\alpha )$ है

$\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} r\,r^{2}\left|R_{l}(r)\right|^{2}=1$

जो आम तौर पर रूढ़िवादिता को थोपता नहीं है $l$.

क्योंकि एक व्यक्तिगत आदिम गॉसियन फ़ंक्शन नाभिक के पास इलेक्ट्रॉनिक तरंग फ़ंक्शन के लिए एक खराब विवरण देता है, गॉसियन आधार सेट लगभग हमेशा अनुबंधित होते हैं:

$\ R_{l}(r)=r^{l}\sum _{p=1}^{P}c_{p}B(l,\alpha _{p})\exp(-\alpha _{p}r^{2})$,

कहाँ $c_{p}$ प्रतिपादक के साथ आदिम के लिए संकुचन गुणांक है $\alpha _{p}$. गुणांक सामान्यीकृत आदिम के संबंध में दिए गए हैं, क्योंकि असामान्य आदिम के गुणांक परिमाण के कई आदेशों से भिन्न होंगे। एक्सपोनेंट्स परमाणु इकाइयों में रिपोर्ट किए जाते हैं। Basissetexchange.org/ Basissetexchange.org/Basis Set Exchange portal पर उपलब्ध विभिन्न मानदंडों के लिए अनुकूलित प्रकाशित गॉसियन आधार सेटों की एक बड़ी लाइब्रेरी है।

कार्तीय निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक में, गॉसियन-प्रकार के ऑर्बिटल्स को घातीय कारकों के संदर्भ में लिखा जा सकता है $x$, $y$, और $z$ दिशाओं के साथ-साथ एक घातीय कारक $\alpha$ कक्षीय की चौड़ाई को नियंत्रित करना। उचित सामान्यीकरण गुणांक के साथ कार्टेशियन गॉसियन-प्रकार कक्षीय के लिए अभिव्यक्ति है

$\Phi (x,y,z;\alpha ,i,j,k)=\left({\frac {2\alpha }{\pi }}\right)^{3/4}\left[{\frac {(8\alpha )^{i+j+k}i!j!k!}{(2i)!(2j)!(2k)!}}\right]^{1/2}x^{i}y^{j}z^{k}e^{-\alpha (x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

उपरोक्त अभिव्यक्ति में, $i$, $j$, और $k$ पूर्णांक होना चाहिए। अगर $i+j+k=0$, तब कक्षीय में गोलाकार समरूपता होती है और इसे एक प्रकार का GTO माना जाता है। अगर $i+j+k=1$जीटीओ में एक अक्ष के साथ अक्षीय समरूपता होती है और इसे पी-टाइप जीटीओ माना जाता है। कब $i+j+k=2$, छह संभावित GTO हैं जिनका निर्माण किया जा सकता है; यह किसी दिए गए कोणीय क्वांटम संख्या के लिए पाँच विहित d कक्षीय कार्यों से एक अधिक है। इसे संबोधित करने के लिए, दो डी-टाइप जीटीओ के एक रैखिक संयोजन का उपयोग कैनोनिकल डी फ़ंक्शन को पुन: उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। इसी तरह, 10 एफ-टाइप जीटीओ मौजूद हैं, लेकिन केवल 7 कैनोनिकल एफ ऑर्बिटल फ़ंक्शन हैं; यह पैटर्न उच्च कोणीय क्वांटम संख्या के लिए जारी है।

आणविक अभिन्न

ताकेता एट अल। (1966) ने गॉसियन आधार में मैट्रिक्स तत्वों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक गणितीय समीकरण प्रस्तुत किए। तब से इन अभिन्नों के मूल्यांकन में तेजी लाने के लिए बहुत काम किया गया है जो कि कई क्वांटम रासायनिक गणनाओं का सबसे धीमा हिस्सा है। ज़िवकोविक और मक्सिक (1968) ने एकांतवासी गॉसियन फ़ंक्शंस का उपयोग करने का सुझाव दिया, क्योंकि यह समीकरणों को सरल करता है। मैकमर्ची और डेविडसन (1978) ने पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की, जो गणनाओं की मात्रा को बहुत कम कर देता है। जॉन पोपल और हेहरे (1978) ने एक स्थानीय समन्वय पद्धति विकसित की। ओबरा और साइका ने 1985 में कुशल पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की, जिसके बाद अन्य महत्वपूर्ण पुनरावृत्ति संबंधों का विकास हुआ। गिल और पोपल (1990) ने एक 'प्रिज्म' एल्गोरिथम पेश किया जिसने 20 अलग-अलग गणना पथों के कुशल उपयोग की अनुमति दी।

पॉलीएटम सिस्टम

पॉलीएटम सिस्टम गॉसियन ऑर्बिटल्स का उपयोग करके प्रारंभिक गणनाओं के लिए पहला पैकेज था जिसे विभिन्न प्रकार के अणुओं पर लागू किया गया था। यह एमआईटी में सहकारी कंप्यूटिंग प्रयोगशाला के संसाधनों का उपयोग करके जॉन क्लार्क स्लेटर | स्लेटर के ठोस राज्य और आण्विक सिद्धांत समूह (एसएसएमटीजी) में विकसित किया गया था। गणितीय अवसंरचना और परिचालन सॉफ्टवेयर इमरे सिज़माडिया द्वारा विकसित किए गए थे, मैल्कम हैरिसन, जूल्स मॉस्कोविट्ज़ और ब्रायन सटक्लिफ।

यह भी देखें

• क्वांटम रसायन विज्ञान कंप्यूटर प्रोग्राम

बाहरी संबंध

• A visualization of all common and uncommon atomic orbitals, from 1s to 7g (Note that the radial part of the expressions given corresponds to Slater orbitals rather than Gaussians. The angular parts, and hence their shapes as displayed in figures, are the same as those of spherical Gaussians.)
• Explanation of Gaussian basis set
• Basis set exchange
• Petersson, T; Hellsing, B. (2010). "Detailed derivation of Gaussian orbital based matrix elements in electron structure calculations". Eur. J. Phys. 31 (1): 37. Bibcode:2010EJPh...31...37P. doi:10.1088/0143-0807/31/1/004. S2CID 122528581.