बीजगणितीय विविधता का एकल बिंदु

बीजगणितीय ज्यामिति के गणित क्षेत्र में, बीजगणितीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु V बिंदु है P जो ज्यामितीय अर्थ में 'विशेष' (इसलिए, एकवचन) है कि इस बिंदु पर विविधता पर स्पर्शरेखा स्थान को नियमित रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। वास्तविकताओं पर परिभाषित किस्मों के मामले में, यह धारणा स्थानीय सपाटता की धारणा को सामान्यीकृत करती है। स्थानीय गैर-समतलता। एक बीजगणितीय किस्म का एक बिंदु जो एकवचन नहीं है, नियमित कहा जाता है। एक बीजगणितीय किस्म जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं है, को गैर-एकवचन या चिकना कहा जाता है।

समीकरण का समतल बीजगणितीय वक्र (एक घन वक्र)। y² − x²(x + 1) = 0 खुद को मूल बिंदु पर काटता है (0, 0). मूल बिंदु इस वक्र का दोहरा बिंदु है। यह एकवचन है क्योंकि हो सकता है कि एक एकल स्पर्शरेखा को वहां सही ढंग से परिभाषित न किया गया हो।

परिभाषा

निहित समीकरण द्वारा परिभाषित समतल वक्र

$F(x,y)=0$,

कहाँ F एक सुचारू कार्य है जिसे एक बिंदु पर एकवचन कहा जाता है यदि टेलर श्रृंखला F में पावर सीरीज़ है # कम से कम पावर सीरीज़ का ऑर्डर 2 इस समय।

इसका कारण यह है कि, अवकल कलन में, बिंदु पर स्पर्शरेखा {{math|(x₀, y₀)}ऐसे वक्र का } समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$(x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,$

जिसका बायां हाथ टेलर विस्तार की डिग्री एक का पद है। इस प्रकार, यदि यह शब्द शून्य है, तो स्पर्शरेखा को मानक तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, या तो क्योंकि यह मौजूद नहीं है या एक विशेष परिभाषा प्रदान की जानी चाहिए।

सामान्य तौर पर एक ऊनविम पृष्ठ के लिए

$F(x,y,z,\ldots )=0$

एकवचन बिंदु वे हैं जिन पर सभी आंशिक डेरिवेटिव एक साथ गायब हो जाते हैं। एक सामान्य बीजगणितीय किस्म V कई बहुपदों के सामान्य शून्य के रूप में परिभाषित किया जा रहा है, एक बिंदु पर स्थिति P का V एक विलक्षण बिंदु होना यह है कि बहुपदों के पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के जैकबियन मैट्रिक्स में एक मैट्रिक्स का रैंक होता है P जो विविधता के अन्य बिंदुओं पर रैंक से कम है।

के अंक V जो एकवचन नहीं हैं उन्हें गैर-एकवचन या नियमित कहा जाता है। यह हमेशा सच होता है कि लगभग सभी बिंदु गैर-एकवचन होते हैं, इस अर्थ में कि गैर-एकवचन बिंदु एक सेट बनाते हैं जो विविधता में खुले सेट और घने सेट दोनों होते हैं (जरिस्की टोपोलॉजी के साथ-साथ सामान्य टोपोलॉजी के लिए, जटिल संख्याओं पर परिभाषित किस्मों के मामले में)। एक वास्तविक विविधता के मामले में (जो वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों द्वारा परिभाषित विविधता के वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं का सेट है), विविधता प्रत्येक नियमित बिंदु के पास कई गुना है। लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक वास्तविक विविधता कई गुना हो सकती है और उसके एकवचन बिंदु हो सकते हैं। उदाहरण के लिए समीकरण y³ + 2x²y − x⁴ = 0 एक वास्तविक विश्लेषणात्मक कई गुना परिभाषित करता है लेकिन मूल में एक विलक्षण बिंदु है। इसे यह कहकर समझाया जा सकता है कि वक्र की दो जटिल संयुग्म शाखाएँ (जटिल विश्लेषण) हैं जो वास्तविक शाखा को मूल बिंदु पर काटती हैं।

चिकनी मैपिंग के एकवचन बिंदु

चूंकि एकवचन बिंदुओं की धारणा पूरी तरह से स्थानीय संपत्ति है, उपरोक्त परिभाषा को चिकनी फ़ंक्शन मैपिंग के व्यापक वर्ग को कवर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है (कार्यों से कार्य M को Rⁿ जहां सभी डेरिवेटिव मौजूद हैं)। मानचित्रण के जेट (गणित) पर विचार करके इन विलक्षण बिंदुओं के विश्लेषण को बीजगणितीय किस्म के मामले में कम किया जा सकता है। वह kवाँ जेट डिग्री पर काट-छाँट की गई मैपिंग की टेलर श्रृंखला है k और निरंतर अवधि को हटाना।

नोड्स

शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली में, कुछ विशेष एकवचन बिंदुओं को भी नोड कहा जाता था। एक नोड एक विलक्षण बिंदु है जहां हेसियन मैट्रिक्स गैर-एकवचन है; इसका तात्पर्य है कि एकवचन बिंदु की बहुगुणता दो है और स्पर्शरेखा शंकु अपने शीर्ष के बाहर एकवचन नहीं है।

यह भी देखें

• मिल्नोर नक्शा
• विलक्षणताओं का संकल्प
• वक्र का एकवचन बिंदु
• विलक्षणता सिद्धांत
• चिकनी योजना
• ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान