बीजगणितीय विविधता का एकल बिंदु

बीजगणितीय ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, बीजगणितीय विविधता V का एक विलक्षण बिंदु एक बिंदु P है जो 'विशेष' (इसलिए, एकवचन) है, ज्यामितीय अर्थ में कि इस बिंदु पर विविधता पर स्पर्शरेखा स्थान नियमित रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है . वास्तविकताओं पर परिभाषित किस्मों के मामले में, यह धारणा स्थानीय गैर-सपाटता की धारणा को सामान्यीकृत करती है। एक बीजगणितीय किस्म का एक बिंदु जो एकवचन नहीं है, नियमित कहा जाता है। एक बीजगणितीय किस्म जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं है, को गैर-एकवचन या चिकना कहा जाता है।

समीकरण का समतल बीजगणितीय वक्र (एक घन वक्र)। y² − x²(x + 1) = 0 खुद को मूल बिंदु पर काटता है (0, 0). मूल बिंदु इस वक्र का दोहरा बिंदु है। यह एकवचन है क्योंकि हो सकता है कि एक एकल स्पर्शरेखा को वहां सही ढंग से परिभाषित न किया गया हो।

परिभाषा

निहित समीकरण द्वारा परिभाषित समतल वक्र

$F(x,y)=0$,

जहाँ F एक सुचारू कार्य है, उस बिंदु पर एकवचन कहा जाता है यदि F की टेलर श्रृंखला में इस बिंदु पर कम से कम 2 का क्रम है।

इसका कारण यह है कि, अवकल कलन में, ऐसे वक्र के बिंदु (x₀, y₀) पर स्पर्श रेखा समीकरण द्वारा परिभाषित होती है

$(x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,$

जिसका बायां हाथ टेलर विस्तार की डिग्री एक का पद है। इस प्रकार, यदि यह शब्द शून्य है, तो स्पर्शरेखा को मानक तरीके से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, या तो क्योंकि यह मौजूद नहीं है या एक विशेष परिभाषा प्रदान की जानी चाहिए।

सामान्यतः एक ऊनविम पृष्ठ के लिए

$F(x,y,z,\ldots )=0$

एकवचन बिंदु वे है जिन पर सभी आंशिक डेरिवेटिव एक साथ गायब हो जाते है। एक सामान्य बीजगणितीय किस्म V को कई बहुपदों के सामान्य शून्य के रूप में परिभाषित किया जा रहा है, V के बिंदु P पर एक विलक्षण बिंदु होने की शर्त यह है कि बहुपदों के पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव के जैकबियन मैट्रिक्स का रैंक P है जो विविधता के अन्य बिंदुओं पर रैंक रैंक से कम होता है।

V के बिंदु जो एकवचन नहीं है उन्हें गैर-एकवचन या नियमित कहा जाता है। यह हमेशा सच होता है कि लगभग सभी बिंदु गैर-एकवचन होते है, इस अर्थ में कि गैर-एकवचन बिंदु एक ऐसा सेट बनाते है जो विविधता में खुला और सघन दोनों होता है (जरिस्की टोपोलॉजी के लिए, साथ ही साथ सामान्य टोपोलॉजी के लिए, जटिल संख्याओ पर परिभाषित किस्मों का मामला)।

एक वास्तविक विविधता के मामले में (जो वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों द्वारा परिभाषित विविधता के वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं का सेट है), विविधता प्रत्येक नियमित बिंदु के पास कई गुना है। लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक वास्तविक विविधता कई गुना हो सकती है और उसके एकवचन बिंदु हो सकते है। उदाहरण के लिए समीकरण y³ + 2x²y − x⁴ = 0 एक वास्तविक विश्लेषणात्मक कई गुना परिभाषित करता है लेकिन मूल में एक विलक्षण बिंदु है। इसे यह कहकर समझाया जा सकता है कि वक्र की दो जटिल संयुग्मी शाखाएँ है जो वास्तविक शाखा को मूल बिंदु पर काटती है।

मानचित्रण के विलक्षण बिंदु

चूंकि एकवचन बिंदुओं की धारणा पूरी तरह से स्थानीय संपत्ति है, उपरोक्त परिभाषा को चिकनी मैपिंग के व्यापक वर्ग को कवर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है (M से Rⁿ तक कार्य जहां सभी डेरिवेटिव मौजूद है)। मानचित्रण के जेट (गणित) पर विचार करके इन विलक्षण बिंदुओं का विश्लेषण बीजगणितीय किस्म के मामले में कम किया जा सकता है। k जेट डिग्री k पर काट-छाँट की गई मानचित्रण की टेलर श्रृंखला है और निरंतर शब्द को हटा रहा है।

नोड्स

शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में, कुछ विशेष एकवचन बिंदुओं को भी नोड कहा जाता था। एक नोड एक विलक्षण बिंदु है जहां हेसियन मैट्रिक्स गैर-एकवचन है; इसका तात्पर्य है कि एकवचन बिंदु की बहुगुणता दो है और स्पर्शरेखा शंकु अपने शीर्ष के बाहर एकवचन नहीं है।

यह भी देखें

• मिल्नोर नक्शा
• विलक्षणताओं का संकल्प
• वक्र का एकवचन बिंदु
• विलक्षणता सिद्धांत
• चिकनी योजना
• ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान