बाईलगेब्रा

गणित में, एक फील्ड (गणित) के पर एक द्विबीजगणित के के ऊपर एक सदिश स्थान है, जो एक इकाई बीजगणित साहचर्य बीजगणित और एक कोलजेब्रा दोनों है। बीजगणितीय और कोलजेब्रिक संरचनाओं को कुछ और अभिगृहीतों के अनुकूल बनाया गया है। विशेष रूप से, सहगुणन और गण दोनों एकात्मक बीजगणित समाकारिता हैं, या समतुल्य रूप से, गुणन और बीजगणित की इकाई दोनों ही कोलजेब्रा आगे की अवधारणाएँ और तथ्य हैं। (ये बयान समतुल्य हैं क्योंकि वे समान क्रमविनिमेय आरेख द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।)

इसी तरह के बायलजेब्रा, बायलजेब्रा होमोमोर्फिज्म से संबंधित हैं। एक बायल्जेब्रा समरूपता एक रेखीय नक्शा है जो बीजगणित और कोलजेब्रा समरूपता दोनों है।

जैसा कि क्रमविनिमेय आरेखों की समरूपता में परिलक्षित होता है, बायलजेब्रा की परिभाषा दोहरी है (श्रेणी सिद्धांत) | स्व-दोहरी, इसलिए यदि कोई बी के दोहरे स्थान को परिभाषित कर सकता है (जो हमेशा संभव है यदि बी परिमित-आयामी है), तो यह स्वचालित रूप से एक द्विबीजगणित है।

जैसा कि क्रमविनिमेय आरेखों की समरूपता में परिलक्षित होता है, बायलजेब्रा की परिभाषा दोहरी है (श्रेणी सिद्धांत) | स्व-दोहरी, इसलिए यदि कोई बी के दोहरे स्थान को परिभाषित कर सकता है (जो हमेशा संभव है यदि बी परिमित-आयामी है), तो यह स्वचालित रूप से एक द्विबीजगणित है।

औपचारिक परिभाषा

(B, ∇, η, Δ, ε) K के ऊपर एक बायल्जेब्रा है, अगर इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

• बी के के ऊपर एक सदिश स्थान है;
• K-रैखिक मानचित्र (गुणन) ∇: B ⊗ B → B (K के समतुल्य - बहुरेखीय मानचित्र ∇: B' हैं ' × बी → बी) और (यूनिट) η: के → बी, जैसे कि (बी, ∇, η) एक इकाई साहचर्य बीजगणित है एक मैदान के ऊपर;
• वहाँ K-रेखीय मानचित्र हैं (comultiplication) Δ: B → B ⊗ B और (Counit) ε: B → K , ऐसा कि (बी, Δ, ε) एक (कोयनिटल कोएसोसिएटिव) कोलजेब्रा है;
• अनुकूलता की स्थिति निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेखों द्वारा व्यक्त की गई है:

1. गुणन ∇ और सहगुणन Δ

   #: जहां τ: B ⊗ B → B ⊗ B, τ(x ⊗ y) = y ⊗ x द्वारा परिभाषित रैखिक मानचित्र है, जो B में सभी x और y के लिए है,

2. गुणा ∇ और गिनती ε

   # सहगुणन Δ और इकाई ज

   # यूनिट एन और काउंट ई

   

सहयोगिता और देश

बहुरेखीय नक्शा | के-रैखिक नक्शा Δ: बी → बी ⊗ बी कोलजेब्रा है अगर $(\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta$.

K-रैखिक नक्शा ε: B → K एक counit है अगर $(\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta$.

निम्नलिखित दो आरेखों की क्रमविनिमेयता द्वारा सहसंयोजकता और कौनिट को व्यक्त किया जाता है (वे सहचारिता और बीजगणित की इकाई को व्यक्त करने वाले आरेखों के दोहरे हैं):

अनुकूलता की स्थिति

चार क्रमविनिमेय आरेखों को या तो सहगुणन के रूप में पढ़ा जा सकता है और काउंट बीजगणित के समरूप हैं या, समतुल्य, गुणन और इकाई कोलजेब्रस के समरूपता हैं।

एक बार जब हम बी के अलावा शामिल सभी सदिश स्थानों में बीजगणित और कोलजेब्रा की प्राकृतिक संरचनाओं की व्याख्या करते हैं, तो ये कथन सार्थक होते हैं: (के, ∇₀, द₀) स्पष्ट रूप से एक इकाई साहचर्य बीजगणित है और (B ⊗ B, ∇₂, द₂) इकाई और गुणा के साथ एक इकाई साहचर्य बीजगणित है

$\eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)$

$\nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)$,

ताकि $\nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})$ या, ∇ को छोड़ना और गुणन को सन्निकटन के रूप में लिखना, $(x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}$;

इसी तरह, (के, डी₀, इ₀) स्पष्ट रूप से एक कोलजेब्रा है और B ⊗ B एक कोलजेब्रा है जिसमें गिनती और सहगुणन है

$\epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K$

$\Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)$.

फिर, रेखाचित्र 1 और 3 कहते हैं कि Δ: B → B ⊗ B एकात्मक (सहयोगी) बीजगणित (B, ∇, η) और (B ⊗ B, ∇) का समाकारिता है₂, द₂)

$\Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)$, या बस Δ(xy) = Δ(x) Δ(y),

$\Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)$, या बस Δ(1_B) = 1_{B ⊗ B};

आरेख 2 और 4 कहते हैं कि ε: B → K एकात्मक (सहयोगी) बीजगणित (B, ∇, η) और (K, ∇) का समरूपता है₀, द₀):

$\epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K$, या बस ε(xy) = ε(x) ε(y)

$\epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K$, या बस ε(1_B) = 1_K.

समतुल्य रूप से, चित्र 1 और 2 कहते हैं कि ∇: B ⊗ B → B, कोलजेब्रस (B ⊗ B, Δ) का एक समाकारिता है₂, इ₂) और (बी, डी, ई):

$\nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),$

$\nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K$;

रेखाचित्र 3 और 4 कहते हैं कि η: K → B कोलजेब्रस (K, Δ) का समरूपता है₀, इ₀) और (बी, डी, ई):

$\eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),$

$\eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K$,

कहाँ

$\epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta$.

उदाहरण

समूह बायलजेब्रा

बायलजेब्रा का एक उदाहरण एक समूह (गणित) जी (या अधिक सामान्यतः, किसी भी मोनोइड) से कार्यों का सेट है $\mathbb {R}$, जिसे हम सदिश समष्टि के रूप में निरूपित कर सकते हैं $\mathbb {R} ^{G}$ मानक आधार वैक्टर के रैखिक संयोजनों से मिलकर ई_g प्रत्येक g ∈ G के लिए, जो सदिशों के मामले में G पर प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जिनके गुणांक सभी गैर-ऋणात्मक हैं और 1 के योग हैं। उपयुक्त सहगुणन संचालकों और काउन्ट्स का एक उदाहरण जो एक कौंसिटल कोलजेब्रा उत्पन्न करते हैं

$\Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g}\,,$

जो एक यादृच्छिक चर की प्रतिलिपि बनाने का प्रतिनिधित्व करता है (जिसे हम सभी तक विस्तारित करते हैं $\mathbb {R} ^{G}$ रैखिकता द्वारा), और

$\varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1\,,$

(फिर से सभी के लिए रैखिक रूप से विस्तारित $\mathbb {R} ^{G}$) जो एक यादृच्छिक चर का पता लगाने का प्रतिनिधित्व करता है - यानी, शेष चर (शेष टेंसर कारक) पर सीमांत वितरण प्राप्त करने के लिए एक यादृच्छिक चर (एकल टेन्सर कारक द्वारा दर्शाया गया) के मान को भूल जाना। ऊपर के रूप में संभाव्यता वितरण के संदर्भ में (Δ, ε) की व्याख्या को देखते हुए, बायलजेब्रा स्थिरता की स्थिति (∇, η) पर बाधाओं की मात्रा इस प्रकार है:

1. η एक सामान्यीकृत संभाव्यता वितरण तैयार करने वाला एक ऑपरेटर है जो अन्य सभी यादृच्छिक चर से स्वतंत्र है;
2. उत्पाद ∇ एक चर पर संभाव्यता वितरण के लिए दो चर पर संभाव्यता वितरण को मैप करता है;
3. η द्वारा दिए गए वितरण में एक यादृच्छिक चर की प्रतिलिपि बनाना वितरण η में दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर होने के बराबर है;
4. दो यादृच्छिक चर का उत्पाद लेना, और परिणामी यादृच्छिक चर की एक प्रति तैयार करना, समान वितरण है जो प्रत्येक यादृच्छिक चर की प्रतियां एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से तैयार करने और उन्हें जोड़े में एक साथ गुणा करने के रूप में है।

एक जोड़ी (∇, η) जो इन बाधाओं को संतुष्ट करती है, कनवल्शन ऑपरेटर है

$\nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}\,,$

फिर से सभी के लिए बढ़ाया $\mathbb {R} ^{G}\otimes \mathbb {R} ^{G}$ रैखिकता से; यह दो यादृच्छिक चर पर वितरण से सामान्यीकृत संभाव्यता वितरण उत्पन्न करता है, और एक इकाई के रूप में डेल्टा-वितरण है $\eta =\mathbf {e} _{i}\;,$ जहां i ∈ G समूह G के पहचान तत्व को दर्शाता है।

अन्य उदाहरण

बायलजेब्रा के अन्य उदाहरणों में टेन्सर बीजगणित शामिल है, जिसे उपयुक्त सहगुणन और काउंट जोड़कर एक बायलजेब्रा में बनाया जा सकता है; इन पर उस लेख में विस्तार से काम किया गया है।

यदि एक उपयुक्त एंटीपोड पाया जा सकता है, तो बायलगेब्रस को अक्सर हॉफ बीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार, सभी हॉफ अल्जेब्रा बायलजेब्रा के उदाहरण हैं। उत्पाद और सहगुणन, या विभिन्न प्रकार के गुणन और सहगुणन के बीच विभिन्न संगतता वाली समान संरचनाओं में लाइ बायलजेब्रस और फ्रोबेनियस बीजगणित शामिल हैं। कोलजेब्रस पर लेख में अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं।

यह भी देखें

• क्वैसी-बायलजेब्रा

संदर्भ

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), "4. Bialgebras and Hopf Algebras", Hopf Algebras: An introduction, Pure and Applied Mathematics, vol. 235, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9.