फर्मीओनिक क्षेत्र

मात्रा फील्ड थ्योरी में, एक फर्मीओनिक फील्ड एक क्वांटम क्षेत्र है जिसका क्वांटम फर्मियन होता है; अर्थात्, वे फर्मी-डिराक आँकड़ों का पालन करते हैं। बोसोनिक क्षेत्रों के कैनोनिकल कम्यूटेशन संबंधों के बजाय फर्मीओनिक क्षेत्र कैनोनिकल एंटीकम्यूटेशन रिलेशन का पालन करते हैं।

फ़र्मोनिक फ़ील्ड का सबसे प्रमुख उदाहरण डायराक फ़ील्ड है, जो स्पिन (भौतिकी) -1/2: इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, क्वार्क आदि के साथ फ़र्मियन का वर्णन करता है। डायराक फ़ील्ड को 4-घटक spinor या एक के रूप में वर्णित किया जा सकता है। 2-घटक वेइल स्पिनरों की जोड़ी। स्पिन-1/2 मेजराना फ़र्मियन, जैसे कि काल्पनिक न्यूट्रलिनो, को या तो आश्रित 4-घटक मेजराना स्पिनर या एकल 2-घटक वेइल स्पिनर के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यह ज्ञात नहीं है कि न्युट्रीनो एक मेजराना फर्मियन है या एक डिराक फर्मियन; दोहरे बीटा क्षय का अवलोकन#न्यूट्रिनोलेस डबल बीटा क्षय|न्यूट्रिनोलेस डबल-बीटा क्षय प्रयोगात्मक रूप से इस प्रश्न का समाधान करेगा।

मूल गुण

नि: शुल्क (गैर-अंतःक्रियात्मक) फ़र्मोनिक क्षेत्र विहित प्रतिसंक्रमण संबंधों का पालन करते हैं; यानी, बोसोनिक या मानक क्वांटम यांत्रिकी के एंटीकम्यूटेटर [a, b] = ab - ba के बजाय एंटीकोमुटेटर {a, b} = ab + ba को शामिल करें। वे संबंध भी अंतःक्रियात्मक चित्र में परस्पर क्रिया करने वाले क्षेत्रों के लिए धारण करते हैं, जहाँ क्षेत्र समय के साथ विकसित होते हैं जैसे कि मुक्त और अंतःक्रिया के प्रभाव राज्यों के विकास में कूटबद्ध होते हैं।

यह ये प्रतिसंक्रमण संबंध हैं जो फील्ड क्वांटा के लिए फर्मी-डिराक आंकड़े दर्शाते हैं। वे पाउली अपवर्जन सिद्धांत में भी परिणत होते हैं: दो फेरमोनिक कण एक ही समय में एक ही अवस्था में नहीं रह सकते।

डायराक फ़ील्ड

स्पिन-1/2 फ़र्मियन फ़ील्ड का प्रमुख उदाहरण डिराक फ़ील्ड है (पॉल डिराक के नाम पर), और इसके द्वारा निरूपित $\psi (x)$. एक मुक्त स्पिन 1/2 कण के लिए गति का समीकरण डायराक समीकरण है,

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,$

कहाँ $\gamma ^{\mu }$ गामा मैट्रिक्स हैं और $m$ द्रव्यमान है। सबसे सरल संभव समाधान $\psi (x)$ इस समीकरण के लिए समतल तरंग समाधान हैं, $u(p)e^{-ip.x}\,$ और $v(p)e^{ip.x}\,$. ये समतल लहर सॉल्यूशंस के फूरियर घटकों के लिए एक आधार बनाते हैं $\psi (x)$, लहर समारोह के सामान्य विस्तार के लिए निम्नानुसार अनुमति देता है,

$\psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,$

यू और वी स्पिनर हैं, जिन्हें स्पिन, एस और स्पिनर इंडेक्स द्वारा लेबल किया गया है $\alpha \in \{0,1,2,3\}$. इलेक्ट्रॉन के लिए, एक स्पिन 1/2 कण, s = +1/2 या s=−1/2। लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय एकीकरण उपाय होने का परिणाम ऊर्जा कारक है। दूसरे परिमाणीकरण में, $\psi (x)$ एक ऑपरेटर के लिए पदोन्नत किया जाता है, इसलिए इसके फूरियर मोड के गुणांक भी ऑपरेटर होने चाहिए। इस तरह, $a_{\mathbf {p} }^{s}$ और $b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }$ संचालिका हैं। इन ऑपरेटरों के गुणों को क्षेत्र के गुणों से पहचाना जा सकता है। $\psi (x)$ और $\psi (y)^{\dagger }$ एंटीकम्यूटेशन संबंधों का पालन करें:

$\left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.$

ऑपरेटरों को फर्मी-डिराक आँकड़ों के साथ संगत बनाने के लिए हम एक एंटीकोम्यूटेटर रिलेशन (एक कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन के विपरीत जैसा कि हम बोसोनिक क्षेत्र के लिए करते हैं) लगाते हैं। के लिए एक्सपेंशन लगाकर $\psi (x)$ और $\psi (y)$, गुणांकों के लिए प्रतिसंक्रमण संबंधों की गणना की जा सकती है।

$\left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,$

एक तरह से गैर-सापेक्षिक विनाश और निर्माण ऑपरेटरों और उनके कम्यूटेटर के अनुरूप, ये बीजगणित भौतिक व्याख्या की ओर ले जाते हैं जो $a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }$ संवेग p और प्रचक्रण s का एक फ़र्मियन बनाता है, और $b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }$ संवेग q और स्पिन r का प्रतिपक्षी बनाता है। सामान्य क्षेत्र $\psi (x)$ अब फ़र्मियन और एंटीफर्मियन बनाने के लिए सभी संभावित स्पिन और मोमेंटा पर भारित (ऊर्जा कारक द्वारा) योग के रूप में देखा जाता है। इसका संयुग्मी क्षेत्र, ${\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$, विपरीत है, सभी संभावित घुमावों पर एक भारित योग और विलोपन और प्रतिपक्षी को नष्ट करने के लिए संवेग।

क्षेत्र विधाओं को समझने और संयुग्मी क्षेत्र को परिभाषित करने के साथ, फर्मीओनिक क्षेत्रों के लिए लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय मात्रा का निर्माण करना संभव है। सबसे सरल मात्रा है ${\overline {\psi }}\psi \,$. यह चुनने का कारण बनता है ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$साफ़। ऐसा इसलिए है क्योंकि जनरल लोरेंत्ज़ चालू हो जाता है $\psi$ एकात्मक परिवर्तन नहीं है इसलिए मात्रा $\psi ^{\dagger }\psi$ इस तरह के परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय नहीं होगा, इसलिए शामिल करना $\gamma ^{0}\,$ इसके लिए ठीक करना है। अन्य संभावित गैर-शून्य लोरेंत्ज़ सहप्रसरण मात्रा, एक समग्र संयुग्मन तक, फर्मीओनिक क्षेत्रों से निर्माण योग्य है ${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi$.

चूंकि इन मात्राओं के रैखिक संयोजन भी लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय हैं, यह स्वाभाविक रूप से डिराक क्षेत्र के लिए लैग्रैन्जियन घनत्व की ओर जाता है, इस आवश्यकता से कि सिस्टम के यूलर-लैग्रेंज समीकरण डायराक समीकरण को पुनर्प्राप्त करें।

${\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,$

इस तरह की अभिव्यक्ति के सूचकांकों को दबा दिया गया है। जब पुन: प्रस्तुत किया जाता है तो पूर्ण अभिव्यक्ति होती है

${\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,$

हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) (ऊर्जा) घनत्व का निर्माण पहले संवेग को विहित रूप से संयुग्मित परिभाषित करके भी किया जा सकता है $\psi (x)$, बुलाया $\Pi (x):$

$\Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.$

उस परिभाषा के साथ $\Pi$हैमिल्टनियन घनत्व है:

${\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,$

कहाँ ${\vec {\nabla }}$ अंतरिक्ष जैसे निर्देशांक का मानक ढाल है, और ${\vec {\gamma }}$ अंतरिक्ष की तरह का एक वेक्टर है $\gamma$ मैट्रिक्स। यह आश्चर्य की बात है कि हैमिल्टनियन घनत्व समय के व्युत्पन्न पर निर्भर नहीं करता है $\psi$सीधे, लेकिन अभिव्यक्ति सही है।

के लिए पद दिया है $\psi (x)$ हम फ़र्मियन क्षेत्र के लिए फेनमैन प्रचारक का निर्माण कर सकते हैं:

$D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle$

हम उनके एंटीकॉम्यूटिंग प्रकृति के कारण माइनस साइन वाले फर्मों के लिए समय-क्रमित उत्पाद को परिभाषित करते हैं

$T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).$

उपरोक्त समीकरण पैदावार में फ़र्मियन क्षेत्र के लिए हमारे विमान तरंग विस्तार को प्लग करना:

$D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}$

जहां हमने फेनमैन स्लैश नोटेशन को नियोजित किया है। यह परिणाम कारक के बाद से समझ में आता है

${\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}$

पर अभिनय करने वाले ऑपरेटर का ठीक उलटा है $\psi (x)$ डिराक समीकरण में। ध्यान दें कि क्लेन-गॉर्डन क्षेत्र के लिए फेनमैन प्रचारक की यही संपत्ति है। चूँकि सभी उचित वेधशालाएँ (जैसे ऊर्जा, आवेश, कण संख्या, आदि) सम संख्या वाले फ़र्मियन क्षेत्रों से निर्मित होती हैं, प्रकाश शंकु के बाहर स्पेसटाइम बिंदुओं पर किन्हीं दो अवलोकनों के बीच रूपांतरण संबंध गायब हो जाता है। जैसा कि हम प्राथमिक क्वांटम यांत्रिकी से जानते हैं कि दो एक साथ आने-जाने वाले वेधशालाओं को एक साथ मापा जा सकता है। इसलिए हमने डिराक क्षेत्र के लिए लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस को सही ढंग से लागू किया है, और कार्य-कारण को संरक्षित किया है।

अधिक जटिल क्षेत्र सिद्धांतों में बातचीत शामिल है (जैसे कि युकावा सिद्धांत, या क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स) का भी विश्लेषण किया जा सकता है, विभिन्न परेशान करने वाले और गैर-परेशान करने वाले तरीकों से।

डायराक क्षेत्र मानक मॉडल का एक महत्वपूर्ण घटक है।

यह भी देखें

• डायराक समीकरण
• स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय
• स्पिनर
• समग्र क्षेत्र
• सहायक क्षेत्र

संदर्भ

• Edwards, D. (1981). "The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories". Int. J. Theor. Phys. 20 (7): 503–517. Bibcode:1981IJTP...20..503E. doi:10.1007/BF00669437. S2CID 120108219.
• Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35–63.)
• Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86449-7.
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.