रशब्रुक असमानता

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, रशब्रुक असमानता एक चुंबकीय प्रणाली के महत्वपूर्ण घातांक से संबंधित है जो गैर-शून्य तापमान टी के लिए थर्मोडायनामिक सीमा में प्रथम-क्रम चरण संक्रमण प्रदर्शित करता है।

चूंकि हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा व्यापक मात्रा में है, इसलिए प्रति साइट मुक्त ऊर्जा का सामान्यीकरण इस प्रकार दिया गया है

$f=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}$

बाहरी चुंबकीय क्षेत्र एच और तापमान टी के आधार पर थर्मोडायनामिक सीमा में चुंबकीयकरण एम प्रति साइट द्वारा दिया जाता है

$M(T,H)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i}\sigma _{i}\right)=-\left({\frac {\partial f}{\partial H}}\right)_{T}$

कहाँ $\sigma _{i}$ i-वें स्थान पर स्पिन है, और स्थिर तापमान और क्षेत्र पर चुंबकीय संवेदनशीलता और विशिष्ट गर्मी क्रमशः द्वारा दी जाती है

$\chi _{T}(T,H)=\left({\frac {\partial M}{\partial H}}\right)_{T}$

और

$c_{H}=-T\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial T^{2}}}\right)_{H}.$

परिभाषाएँ

महत्वपूर्ण प्रतिपादक $\alpha ,\alpha ',\beta ,\gamma ,\gamma '$ और $\delta$ आदेश मापदंडों के व्यवहार और महत्वपूर्ण बिंदु के पास प्रतिक्रिया कार्यों के संदर्भ में निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

$M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }{\mbox{ for }}t\uparrow 0$

$M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\operatorname {sign} (H){\mbox{ for }}H\rightarrow 0$

$\chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}$

$c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}$

कहाँ

$t\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}$

महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स) के सापेक्ष तापमान को मापता है।

व्युत्पत्ति

प्रतिक्रिया कार्यों के लिए मैक्सवेल संबंधों के चुंबकीय एनालॉग के लिए, संबंध

$\chi _{T}(c_{H}-c_{M})=T\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}$

अनुसरण करता है, और थर्मोडायनामिक स्थिरता के साथ इसकी आवश्यकता होती है $c_{H},c_{M}{\mbox{ and }}\chi _{T}\geq 0$, किसी के पास

$c_{H}\geq {\frac {T}{\chi _{T}}}\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}$

जो, शर्तों के तहत $H=0,t>0$ और महत्वपूर्ण घातांक की परिभाषा देता है

$(-t)^{-\alpha '}\geq \mathrm {constant} \cdot (-t)^{\gamma '}(-t)^{2(\beta -1)}$

जो रशब्रुक असमानता देता है

$\alpha '+2\beta +\gamma '\geq 2.$

उल्लेखनीय रूप से, प्रयोग में और बिल्कुल हल किए गए मॉडल में, असमानता वास्तव में एक समानता के रूप में होती है।

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