मापने योग्य स्थान

Not to be confused with Measure space.

गणित में, एक मापने योग्य स्थान या बोरेल स्थानमाप सिद्धांत में एक मूल वस्तु है। इसमें एक सेट (गणित) और एक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित होता है, जो मापे जाने वाले सबसेट को परिभाषित करता है।

परिभाषा

एक सेट पर विचार करें $X$ और एक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित ${\mathcal {A}}$ पर $X.$ फिर टपल $(X,{\mathcal {A}})$ मापने योग्य स्थान कहा जाता है।

ध्यान दें कि एक माप स्थान के विपरीत, मापने योग्य स्थान के लिए कोई माप (गणित) की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण

सेट पर नजर:

$$X=\{1,2,3\}.$$

एक संभव $\sigma$-बीजगणित होगा:

$${\mathcal {A}}_{1}=\{X,\varnothing \}.$$

तब $\left(X,{\mathcal {A}}_{1}\right)$ मापने योग्य स्थान है। एक और संभव $\sigma$-बीजगणित पर स्थापित शक्ति होगी $X$:

$${\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).$$

इसके साथ ही सेट पर दूसरा मापनीय स्थान $X$ द्वारा दिया गया है $\left(X,{\mathcal {A}}_{2}\right).$

सामान्य मापने योग्य स्थान

अगर $X$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, $\sigma$-बीजगणित सबसे अधिक बार चालू की गई शक्ति है $X,$ इसलिए ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X).$ यह मापने योग्य स्थान की ओर जाता है $(X,{\mathcal {P}}(X)).$ अगर $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, द $\sigma$-बीजगणित आमतौर पर बोरेल सिग्मा बीजगणित है|बोरेल $\sigma$-बीजगणित ${\mathcal {B}},$ इसलिए ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X).$ यह मापने योग्य स्थान की ओर जाता है $(X,{\mathcal {B}}(X))$ यह सभी टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि वास्तविक संख्या के लिए सामान्य है $\mathbb {R} .$

बोरेल रिक्त स्थान के साथ अस्पष्टता

बोरेल स्पेस शब्द का प्रयोग विभिन्न प्रकार के मापने योग्य स्थानों के लिए किया जाता है। यह संदर्भित कर सकता है

• कोई भी मापने योग्य स्थान, इसलिए यह ऊपर परिभाषित अनुसार मापने योग्य स्थान का पर्याय है * एक औसत दर्जे का स्थान जो बोरेल समरूपता है वास्तविक संख्याओं के एक औसत दर्जे का सबसेट (फिर से बोरेल के साथ) $\sigma$-बीजगणित)

Families ${\mathcal {F}}$ of sets over $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
[[pi-system|π-system]]
Semiring										Never
[[Semialgebra|Semialgebra (Semifield)]]										Never
[[Monotone class|Monotone class]]						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
[[Dynkin system|𝜆-system (Dynkin System)]]				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
[[Ring of sets|Ring (Order theory)]]
[[Ring of sets|Ring (Measure theory)]]										Never
[[Delta-ring|δ-Ring]]										Never
[[Sigma-ring|𝜎-Ring]]										Never
[[Field of sets|Algebra (Field)]]										Never
[[σ-algebra|𝜎-Algebra (𝜎-Field)]]										Never
[[Dual ideal|Dual ideal]]
[[Filter (set theory)|Filter]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Prefilter|Prefilter (Filter base)]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Filter subbase|Filter subbase]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Topology (structure)|Open Topology]]							(even arbitrary $\cup$)			Never
[[Topology (structure)|Closed Topology]]						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a [[pi-system|π-system]] where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring that contains $\Omega .$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

यह भी देखें

• Borel set
• Measurable set
• Standard Borel space