परिमित चरित्र

Not to be confused with एक परिमित समूह का चरित्र.

गणित में, समुच्चय का एक समूह ${\mathcal {F}}$ समुच्चय परिमित चरित्र का होता है यदि प्रत्येक $A$ के लिए $A$ , ${\mathcal {F}}$ से संबंधित होता है तब $A$ का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय ${\mathcal {F}}$ से संबंधित होता है।

जैसे कि -

1. प्रत्येक $A\in {\mathcal {F}}$ के लिए $A$ का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय ${\mathcal {F}}$ से संबंधित होता है।
2. यदि किसी दिए गए समुच्चय $A$ का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय ${\mathcal {F}}$ से संबंधित है, तो $A$, ${\mathcal {F}}$ से संबंधित होता है।

गुण

परिमित चरित्र के समुच्चय समूह ${\mathcal {F}}$ मे निम्नलिखित विशेषताएँ सम्मिलित होती है:

1. प्रत्येक $A\in {\mathcal {F}}$ के लिए $A$ का प्रत्येक (परिमित या अनंत) उपसमुच्चय ${\mathcal {F}}$ से संबंधित होता है।
2. परिमित चरित्र के प्रत्येक गैर-रिक्त समूह में समावेशन के संबंध में एक अधिकतम तत्व ${\mathcal {F}}$ होता है। इसलिए तुके लेम्मा और ज़ोर्न लेम्मा द्वारा ${\mathcal {F}}$ में कम से कम एक अधिकतम तत्व होता है।

उदाहरण

माना कि $V$ एक सदिश समष्टि है और ${\mathcal {F}}$, $V$ के एकघाततः स्वतंत्र उपसमुच्चय का समूह है। तब ${\mathcal {F}}$ परिमित चरित्र का एक समूह है क्योंकि उपसमुच्चय $X\subseteq V$ एकघाततः परतंत्र है यदि और केवल यदि $X$ का एक परिमित उपसमुच्चय है जो एकघाततः परतंत्र है। इसलिए प्रत्येक सदिश समष्टि में एकघाततः स्वतंत्र तत्वों का एक अधिकतम समूह सम्मिलित होता है। जैसा कि अधिकतम समूह एक सदिश आधार है, प्रत्येक सदिश समष्टि का संभवतः अनंत सदिश आधार होता है।

यह भी देखें

• वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय

संदर्भ

• Jech, Thomas J. (2008) [1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.
• Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [1996]. Set Theory and the Continuum Problem. Dover Publications. ISBN 978-0-486-47484-7.

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