प्रत्यास्थ मापांक

एक लोचदार मापांक (लोच के मापांक के रूप में भी जाना जाता है) किसी वस्तु या पदार्थ के प्रतिरोध को लोचदार रूप से विकृत होने के माप की इकाई है (यानी, गैर-स्थायी रूप से) जब उस पर एक तनाव (यांत्रिकी) लागू किया जाता है।

परिभाषा

किसी वस्तु के लोचदार मापांक को लोचदार विरूपण क्षेत्र में उसके तनाव-तनाव वक्र के ढलान के रूप में परिभाषित किया गया है: एक कठोर सामग्री में एक उच्च लोचदार मापांक होगा। एक लोचदार मापांक का रूप है:

$\delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}$

जहां तनाव (भौतिकी) बल लागू होने वाले क्षेत्र से विभाजित विरूपण पैदा करने वाला बल है और तनाव (सामग्री विज्ञान) कुछ पैरामीटर में परिवर्तन का अनुपात है पैरामीटर के मूल मूल्य के विरूपण के कारण।

चूंकि तनाव एक आयामहीन मात्रा है, की इकाइयां $\delta$ तनाव की इकाइयों के समान होगा।

लोचदार मापांक के प्रकार

यह निर्दिष्ट करना कि तनाव और तनाव को कैसे मापा जाना है, दिशाओं सहित, कई प्रकार के लोचदार मोडुली को परिभाषित करने की अनुमति देता है। तीन प्राथमिक हैं:

1. यंग का मापांक (E) तन्यता और संकुचित लोच (भौतिकी) का वर्णन करता है, या किसी वस्तु की धुरी के साथ विकृत होने की प्रवृत्ति जब उस अक्ष के साथ विरोधी बल लागू होते हैं; इसे तन्यता तनाव और डिफॉर्मेशन_(यांत्रिकी)#स्ट्रेन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे अक्सर लोचदार मॉड्यूलस के रूप में जाना जाता है।
2. कतरनी मापांक या कठोरता का मापांक (G या $\mu \,$लेमे दूसरा पैरामीटर) एक वस्तु की कतरनी की प्रवृत्ति का वर्णन करता है (स्थिर आयतन पर आकार की विकृति) जब विरोधी शक्तियों द्वारा कार्य किया जाता है; इसे कतरनी तनाव पर कतरनी तनाव के रूप में परिभाषित किया गया है। कतरनी मापांक चिपचिपाहट की व्युत्पत्ति का हिस्सा है।
3. थोक मापांक (K) वॉल्यूमेट्रिक लोच का वर्णन करता है, या सभी दिशाओं में समान रूप से लोड होने पर सभी दिशाओं में विकृत होने की प्रवृत्ति का वर्णन करता है; इसे तनाव (भौतिकी) के रूप में परिभाषित किया गया है # तनाव विचलित करने वाला टेन्सर ओवर वॉल्यूमेट्रिक तनाव, और संपीड्यता का व्युत्क्रम है। बल्क मापांक यंग के मापांक का तीन आयामों का विस्तार है।

दो अन्य प्रत्यास्थ मापांक हैं लेमे का पहला पैरामीटर, λ, और पी-वेव मापांक, एम, जैसा कि नीचे दिए गए संदर्भों में मापांक तुलना की तालिका में उपयोग किया गया है। सजातीय और समदैशिक (सभी दिशाओं में समान) सामग्री (ठोस) में उनके (रैखिक) लोचदार गुण होते हैं जो पूरी तरह से दो लोचदार मोडुली द्वारा वर्णित होते हैं, और कोई भी जोड़ी चुन सकता है। लोचदार मापांक की एक जोड़ी को देखते हुए, अन्य सभी लोचदार मापांक की गणना पृष्ठ के अंत में नीचे दी गई तालिका में सूत्रों के अनुसार की जा सकती है।

इनविसिड तरल पदार्थ इस मायने में खास हैं कि वे कतरनी तनाव का समर्थन नहीं कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि कतरनी मापांक हमेशा शून्य होता है। इसका तात्पर्य यह भी है कि इस समूह के लिए यंग का मापांक हमेशा शून्य होता है।

कुछ ग्रंथों में, लोच के मापांक को लोचदार स्थिरांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि व्युत्क्रम मात्रा को लोचदार मापांक कहा जाता है।

यह भी देखें

• [[झुकने की कठोरता]]
• गतिशील मापांक
• इलास्टिक लिमिट
• लोचदार लहर
• आनमनी मापांक
• हुक का नियम
• आवेग उत्तेजना तकनीक
• आनुपातिक सीमा
• कड़ापन
• तन्यता ताकत
• अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी

अग्रिम पठन

• Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (2001). Engineering Mechanics. Volume 2. Springer. ISBN 978-1-4020-4123-5.

• De Jong, M.; Chen, Wei (2015). "Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds". Scientific Data. 2: 150009. Bibcode:2013NatSD...2E0009D. doi:10.1038/sdata.2015.9. PMC 4432655. PMID 25984348.

Conversion formulae
Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D materials (second part).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Notes
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ There are two valid solutions. The plus sign leads to $\nu \geq 0$. The minus sign leads to $\nu \leq 0$.
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Cannot be used when $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D formulae	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Notes
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Cannot be used when $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$