फैट-टेल्ड वितरण

एक मोटा-पूंछ वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक सामान्य वितरण या एक घातीय वितरण के सापेक्ष एक बड़े तिरछापन या कुकुदता प्रदर्शित करता है। सामान्य उपयोग में, फैट-टेल्ड और भारी पूंछ वाला वितरण|हैवी-टेल्ड कभी-कभी पर्यायवाची होते हैं; वसा-पूंछ को कभी-कभी भारी-पूंछ वाले सबसेट के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। विभिन्न अनुसंधान समुदाय बड़े पैमाने पर ऐतिहासिक कारणों से एक या दूसरे का पक्ष लेते हैं, और दोनों की सटीक परिभाषा में अंतर हो सकता है।

भौतिक विज्ञान, पृथ्वी विज्ञान, अर्थशास्त्र और राजनीति विज्ञान: मोटे-पूंछ वाले वितरणों को अनुभवजन्य रूप से विभिन्न क्षेत्रों में देखा गया है। वसा-पूंछ वितरण के वर्ग में वे शामिल हैं जिनकी पूंछ एक शक्ति कानून की तरह क्षीण हो जाती है, जो कि वैज्ञानिक साहित्य में उनके उपयोग में संदर्भ का एक सामान्य बिंदु है। हालांकि, वसा-पूंछ वितरण में अन्य धीरे-धीरे क्षय करने वाले वितरण भी शामिल हैं, जैसे लॉग-सामान्य वितरण | लॉग-सामान्य।

चरम मामला: एक शक्ति-कानून वितरण

एक मोटी पूंछ का सबसे चरम मामला एक वितरण द्वारा दिया जाता है जिसकी पूंछ शक्ति-कानून वितरण की तरह घट जाती है.

विभिन्न स्थान और पैमाने के मापदंडों के लिए विभिन्न प्रकार के कॉची वितरण। कॉशी वितरण वसा-पूंछ वाले वितरण के उदाहरण हैं।

यही है, अगर एक यादृच्छिक चर एक्स के पूरक संचयी वितरण समारोह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$\Pr[X>x]\sim x^{-\alpha }{\text{ as }}x\to \infty ,\qquad \alpha >0.\,$

तो कहा जाता है कि वितरण में मोटी पूंछ है $\alpha <2$. ऐसे मूल्यों के लिए विचरण और पूंछ का तिरछापन गणितीय रूप से अपरिभाषित (शक्ति-कानून वितरण की एक विशेष संपत्ति) है, और इसलिए किसी भी सामान्य या घातीय वितरण से बड़ा है। के मूल्यों के लिए $\alpha >2$, फैट टेल का दावा अधिक अस्पष्ट है, क्योंकि इस पैरामीटर रेंज में, विचरण, तिरछापन और कर्टोसिस परिमित हो सकता है, जो कि सटीक मान पर निर्भर करता है $\alpha$, और इस प्रकार संभावित रूप से एक उच्च-विचरण सामान्य या घातीय पूंछ से छोटा होता है। यह अस्पष्टता अक्सर ठीक-ठीक इस बारे में असहमति की ओर ले जाती है कि मोटा-पूंछ वाला वितरण क्या है या नहीं। के लिए $k>\alpha -1$, द $k^{th}$ क्षण अनंत है, इसलिए प्रत्येक शक्ति कानून वितरण के लिए, कुछ क्षण अपरिभाषित हैं। नोट: यहाँ टिल्ड नोटेशन है$\sim$बिग ओ नोटेशन # सामान्यीकरण और संबंधित उपयोगों को संदर्भित करता है, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, असमान रूप से, वितरण की पूंछ एक शक्ति कानून की तरह क्षय हो जाती है।

मोटी पूंछ और जोखिम अनुमान विकृतियां

ब्राउनियन गति (नीचे) की तुलना में कॉची वितरण से लेवी उड़ान। ब्राउनियन गति की तुलना में कॉची वितरण में केंद्रीय घटनाएं अधिक सामान्य और दुर्लभ घटनाएं अधिक चरम हैं। एक एकल घटना में कुल भिन्नता का 99% शामिल हो सकता है, इसलिए अपरिभाषित भिन्नता।

एक सामान्य वितरण (एक प्रकार कि गति) से लेवी उड़ान।

वसा-पूंछ वितरणों की तुलना में, सामान्य वितरण घटनाओं में जो माध्य से पांच या अधिक मानक विचलन (5-सिग्मा घटनाओं) से विचलित होते हैं, की संभावना कम होती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य वितरण में चर-पूंछ वाले वितरणों की तुलना में चरम घटनाओं की संभावना कम होती है। . कॉची वितरण (और सामान्य वितरण के अपवाद के साथ अन्य सभी [[स्थिर वितरण]]) जैसे वसा-पूंछ वाले वितरण में अपरिभाषित सिग्मा है (अधिक तकनीकी रूप से, भिन्नता अपरिभाषित है)।

परिणामस्वरूप, जब डेटा एक अंतर्निहित वसा-पूंछ वाले वितरण से उत्पन्न होता है, तो जोखिम के सामान्य वितरण मॉडल में शूहॉर्निंग - और एक परिमित नमूना आकार पर आधारित (आवश्यक) सिग्मा का अनुमान लगाना - भविष्यवाणी की कठिनाई (और जोखिम) की सही डिग्री को कम करेगा। . कई-विशेष रूप से बेनोइट मंडेलब्रॉट और नसीम तालेब ने सामान्य वितरण मॉडल की इस कमी को नोट किया है और प्रस्तावित किया है कि स्थिर वितरण जैसे मोटे-पूंछ वाले वितरण अक्सर वित्त में पाए जाने वाले परिसंपत्ति रिटर्न को नियंत्रित करते हैं। विकल्प मूल्य निर्धारण का ब्लैक-स्कोल्स मॉडल सामान्य वितरण पर आधारित है। यदि वितरण वास्तव में एक मोटा-पूंछ वाला है, तो मॉडल मूल्य विकल्प (वित्त) से कम होगा, जो कि दूर धन है, क्योंकि 5- या 7-सिग्मा घटना सामान्य वितरण की तुलना में बहुत अधिक संभावना है।

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

वित्त में, मोटी पूंछ अक्सर होती है लेकिन अतिरिक्त जोखिम के कारण उन्हें अवांछित माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक निवेश रणनीति में एक वर्ष के बाद अपेक्षित प्रतिफल हो सकता है, जो कि इसके मानक विचलन का पांच गुना है। एक सामान्य वितरण मानते हुए, इसकी विफलता (नकारात्मक वापसी) की संभावना दस लाख में एक से कम है; व्यवहार में, यह अधिक हो सकता है। वित्त में उभरने वाले सामान्य वितरण आम तौर पर ऐसा करते हैं क्योंकि संपत्ति के मूल्य या मूल्य को प्रभावित करने वाले कारक गणितीय रूप से अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं, और केंद्रीय सीमा प्रमेय इस तरह के वितरण के लिए प्रदान करता है। हालांकि, दर्दनाक वास्तविक दुनिया की घटनाएं (जैसे तेल का झटका, एक बड़ा कॉर्पोरेट दिवालियापन, या राजनीतिक स्थिति में अचानक परिवर्तन) आमतौर पर गणितीय रूप से अच्छी तरह से व्यवहार नहीं किया जाता है।

ऐतिहासिक उदाहरणों में 1929 की वॉल स्ट्रीट दुर्घटना, ब्लैक मंडे (1987), डॉट-कॉम बुलबुला , 2000 के दशक के उत्तरार्ध का वित्तीय संकट, 2010 2010 फ्लैश क्रैश, 2020 2020 स्टॉक मार्केट क्रैश शामिल हैं। और कुछ मुद्राओं की अनपेगिंग। मार्केट रिटर्न डिस्ट्रीब्यूशन में फैट टेल्स के कुछ व्यवहार मूल भी होते हैं (निवेशक अत्यधिक आशावाद या निराशावाद बड़े बाजार की चाल के लिए अग्रणी) और इसलिए व्यवहारिक वित्त में अध्ययन किया जाता है।

विपणन में, परिचित 80-20 नियम अक्सर पाया जाता है (उदाहरण के लिए, 20% ग्राहक राजस्व का 80% खाते हैं) डेटा के अंतर्निहित मोटे पूंछ वितरण का एक अभिव्यक्ति है। फैट टेल पण्य बाज़ार या संगीत उद्योग में भी देखे जाते हैं, खासकर ध्वन्यात्मक बाजार में। साप्ताहिक रिकॉर्ड बिक्री परिवर्तनों के लघुगणक के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य अत्यधिक leptokurtic है और सामान्य वितरण मामले की तुलना में एक संकीर्ण और बड़े अधिकतम और एक मोटी पूंछ द्वारा विशेषता है। दूसरी ओर, इस वितरण में चार्ट में प्रवेश करने वाले नए रिकॉर्ड को बढ़ावा देने के कारण बिक्री में वृद्धि से जुड़ी केवल एक मोटी पूंछ है।

यह भी देखें

• अंतिम जोख़िम
• काला हंस सिद्धांत
• यादृच्छिकता की सात अवस्थाएँ
• तालेब वितरण

बाहरी संबंध

• Examples of Fat Tails in Financial Time Series
• Fat Tail Distribution - John A. Robb