टेंसर प्रतिनिधित्व

गणित में, सामान्य रेखीय समूह के टेन्सर निरूपण वे होते हैं, जो मूलभूत निरूपण और उसके द्विगुणों के सूक्ष्म रूप से कई टेन्सर गुणनफल को परिमित रूप से प्राप्त किए जाते हैं। इस तरह के प्रतिनिधित्व के अलघुकरणीय कारकों को टेन्सर प्रतिनिधित्व कहा जाता है और यंग टेब्लो से संबद्ध स्कुर फक्टरों का प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। ये सामान्य रेखीय समूह के तर्कसंगत निरूपण के साथ मेल खाते हैं।

अधिक सामान्यतः, एक मैट्रिक्स समूह सामान्य रैखिक समूह का कोई उपसमूह होता है। एक मैट्रिक्स समूह का टेंसर प्रतिनिधित्व कोई भी प्रतिनिधित्व है जो सामान्य रैखिक समूह के टेंसर प्रतिनिधित्व में निहित है। उदाहरण के लिए, ओर्थोगोनल समूह O(n) क्रम दो के सभी ट्रेस-मुक्त सममित टेंसरों के स्थान पर एक टेंसर प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है। ऑर्थोगोनल समूहों के लिए, टेंसर अभ्यावेदन स्पिन अभ्यावेदन के विपरीत हैं।

सिम्पलेक्टिक समूह की तरह शास्त्रीय समूहों में यह गुण होता है कि शास्त्रीय लाई समूहों के सभी प्रतिनिधित्व | परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व टेंसर प्रतिनिधित्व (वेइल के निर्माण द्वारा) होते हैं, जबकि अन्य प्रतिनिधित्व (मेटाप्लेक्टिक प्रतिनिधित्व की तरह) अनंत आयामों में मौजूद होते हैं।

संदर्भ

• Roe Goodman; Nolan Wallach (2009), Symmetry, representations, and invariants, Springer, chapters 9 and 10.
• Bargmann, V., & Todorov, I. T. (1977). Spaces of analytic functions on a complex cone as carriers for the symmetric tensor representations of SO(n). Journal of Mathematical Physics, 18(6), 1141–1148.