एकात्मक भाजक

गणित में, एक प्राकृतिक संख्या a संख्या b का 'एकात्मक भाजक' (या 'हॉल विभाजक') है यदि a, b का भाजक है और यदि a और ${\frac {b}{a}}$ सहअभाज्य हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। इस प्रकार, 5, 60 का एकात्मक भाजक है, क्योंकि 5 और ${\frac {60}{5}}=12$ एक सामान्य कारक के रूप में केवल 1 है, जबकि 6 एक विभाजक है, लेकिन 60 का एकात्मक विभाजक नहीं है, क्योंकि 6 और ${\frac {60}{6}}=10$ 1 के अलावा एक सामान्य भाजक है, अर्थात् 2. 1 प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक एकात्मक भाजक है।

समान रूप से, b का एक विभाजक एक एकात्मक भाजक है यदि और केवल यदि a के प्रत्येक अभाज्य संख्या कारक की a में समान बहुलता (गणित) है जैसा कि b में है।

सम-ऑफ-एकात्मक-भाजक फ़ंक्शन को लोअरकेस ग्रीक अक्षर सिग्मा द्वारा इस प्रकार दर्शाया गया है: σ*(n)। एकात्मक विभाजकों के k-वें घातांक का योग σ* द्वारा निरूपित किया जाता है_k(एन):

$\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

यदि किसी दी गई संख्या का उचित भाजक एकात्मक भाजक उस संख्या में जोड़ दें, तो वह संख्या एकात्मक पूर्ण संख्या कहलाती है।

एकात्मक भाजक की अवधारणा आर. वैद्यनाथस्वामी (1931) [गुणात्मक अंकगणितीय कार्यों का सिद्धांत] से उत्पन्न हुई है। अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी के लेन-देन, 33(2), 579--662] जिन्होंने ब्लॉक डिवाइज़र शब्द का प्रयोग किया।

गुण

किसी संख्या n के एकात्मक भाजकों की संख्या 2 है^k, जहाँ k, n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक N > 1 सकारात्मक शक्तियों p का गुणनफल है^{r_pविशिष्ट अभाज्य संख्याओं का} p. इस प्रकार N का प्रत्येक एकात्मक भाजक, N के अभाज्य भाजकों {p} के दिए गए उपसमुच्चय S का गुणनफल है, प्रधान शक्तियों में से पी^r_p p ∈ S के लिए। यदि k अभाज्य गुणनखंड हैं, तो ठीक 2 हैं^k उपसमुच्चय S, और कथन अनुसरण करता है।

n के एकात्मक विभाजकों का योग समता (गणित) है यदि n 2 की शक्ति है (1 सहित), और समता (गणित) अन्यथा।

n के एकात्मक विभाजकों की गिनती और योग दोनों ही n के गुणक कार्य हैं जो पूरी तरह से गुणक नहीं हैं। डिरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन है

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.$

n का प्रत्येक विभाजक एकात्मक है यदि और केवल यदि n वर्ग-मुक्त पूर्णांक | वर्ग-मुक्त है।

विषम एकात्मक भाजक

विषम एकात्मक भाजक की k-वें घात का योग है

$\sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

यह ड्यूरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन के साथ गुणक भी है

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.$

द्वि-एकात्मक विभाजक

n का एक भाजक d एक 'द्वि-एकात्मक भाजक' है यदि d और n/d का सबसे बड़ा सामान्य एकात्मक भाजक 1 है। यह अवधारणा डी। सूर्यनारायण (1972) से उत्पन्न हुई है। [द थ्योरी ऑफ़ अरिथमेटिक फ़ंक्शंस, लेक्चर नोट्स इन मैथमैटिक्स 251: 273–282, न्यूयॉर्क, स्प्रिंगर-वर्लाग] में एक पूर्णांक के द्वि-एकात्मक विभाजकों की संख्या।

n के द्वि-एकात्मक विभाजकों की संख्या एक अंकगणितीय फ़ंक्शन के औसत क्रम के साथ n का गुणक कार्य है $A\log x$ कहाँ

$A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .$

एक द्वि-एकात्मक पूर्ण संख्या अपने द्वि-एकात्मक विभाजक भाजक के योग के बराबर होती है। केवल ऐसी संख्याएँ 6, 60 और 90 हैं।

ओईआईएस अनुक्रम

• OEIS: A034444 is σ^*₀(n) 
•  OEIS: A034448 is σ^*₁(n) 
•  OEIS: A034676 to OEIS: A034682 are σ^*₂(n) to σ^*₈(n) 
•  OEIS: A068068 is σ^(o)*₀(n) 
•  OEIS: A192066 is σ^(o)*₁(n) 
•  OEIS: A064609 is $\sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)$

संदर्भ

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. p. 84. ISBN 0-387-20860-7. Section B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. ISBN 0-387-98911-0.
• Cohen, Eckford (1959). "A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion". Pacific J. Math. 9 (1): 13–23. doi:10.2140/pjm.1959.9.13. MR 0109806.
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• Finch, Steven (2004). "Unitarism and Infinitarism" (PDF).
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• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
• Toth, L. (2009). "On the bi-unitary analogues of Euler's arithmetical function and the gcd-sum function". J. Int. Seq. 12.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Unitary Divisor". MathWorld.
• Mathoverflow | Boolean ring of unitary divisors