शून्य-उत्पाद संपत्ति

For the product of zero factors, see empty product.

बीजगणित में, शून्य-उत्पाद संपत्ति बताती है कि दो शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य है। दूसरे शब्दों में, ${\text{if }}ab=0,{\text{ then }}a=0{\text{ or }}b=0.$ इस संपत्ति को शून्य उत्पाद के नियम, अशक्त कारक कानून, शून्य के गुणन गुण, गैर-तुच्छ शून्य विभाजक के अस्तित्व या दो शून्य-कारक गुणों में से एक के रूप में भी जाना जाता है। प्रारंभिक गणित में अध्ययन की गई सभी संख्या प्रणालियाँ - पूर्णांक $\mathbb {Z}$, परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q}$, वास्तविक संख्याएँ $\mathbb {R}$, और जटिल संख्याएँ $\mathbb {C}$ - शून्य-उत्पाद संपत्ति को संतुष्ट करें। सामान्य तौर पर, एक रिंग (गणित) जो शून्य-उत्पाद गुण को संतुष्ट करता है, डोमेन (रिंग थ्योरी) कहलाता है।

बीजगणितीय संदर्भ

कल्पना करना $A$ एक बीजगणितीय संरचना है। हम पूछ सकते हैं, करता है $A$ शून्य-उत्पाद संपत्ति है? इस प्रश्न का अर्थ होने के लिए, $A$ योगात्मक संरचना और गुणात्मक संरचना दोनों होनी चाहिए। आमतौर पर ऐसा माना जाता है $A$ एक अंगूठी (गणित) है, हालांकि यह कुछ और हो सकता है, उदा। अऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय $\{0,1,2,\ldots \}$ साधारण जोड़ और गुणा के साथ, जो केवल एक (कम्यूटेटिव) मोटी हो जाओ है।

ध्यान दें कि अगर $A$ शून्य-उत्पाद संपत्ति को संतुष्ट करता है, और यदि $B$ का उपसमुच्चय है $A$, तब $B$ शून्य उत्पाद संपत्ति को भी संतुष्ट करता है: यदि $a$ और $b$ के तत्व हैं $B$ ऐसा है कि $ab=0$, तो कोई $a=0$ या $b=0$ क्योंकि $a$ और $b$ के तत्व भी माने जा सकते हैं $A$.

उदाहरण

• एक वलय जिसमें शून्य-उत्पाद गुण धारण करता है, एक डोमेन (रिंग सिद्धांत) कहलाता है। एक इकाई तत्व तत्व के साथ एक क्रमविनिमेय अंगूठी डोमेन को इंटीग्रल डोमेन कहा जाता है। कोई भी क्षेत्र (सार बीजगणित) एक अभिन्न डोमेन है; वास्तव में, किसी क्षेत्र का कोई भी सबरिंग एक अभिन्न डोमेन है (जब तक इसमें 1 शामिल है)। इसी तरह, तिरछा क्षेत्र का कोई भी सबरिंग एक डोमेन है। इस प्रकार, शून्य-उत्पाद संपत्ति तिरछा क्षेत्र के किसी भी सबरिंग के लिए होती है।
• अगर $p$ एक अभाज्य संख्या है, तो मॉड्यूलर अंकगणितीय | पूर्णांक मॉड्यूलो की अंगूठी $p$शून्य-उत्पाद संपत्ति है (वास्तव में, यह एक क्षेत्र है)।
• गॉसियन पूर्णांक एक अभिन्न डोमेन हैं क्योंकि वे जटिल संख्याओं के उपसमूह हैं।
• चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र में, शून्य-उत्पाद संपत्ति रखती है। यह वलय एक पूर्णांकीय प्रांत नहीं है, क्योंकि गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।
• गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का सेट $\{0,1,2,\ldots \}$ एक अंगूठी नहीं है (इसके बजाय एक सेमिरिंग है), लेकिन यह शून्य-उत्पाद संपत्ति को संतुष्ट करता है।

गैर-उदाहरण

• होने देना $\mathbb {Z} _{n}$ मॉड्यूलर अंकगणितीय | पूर्णांक मॉडुलो की अंगूठी को निरूपित करें $n$. तब $\mathbb {Z} _{6}$ शून्य उत्पाद संपत्ति को संतुष्ट नहीं करता है: 2 और 3 गैर-शून्य तत्व हैं, फिर भी $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$.
• सामान्य तौर पर, यदि $n$ एक समग्र संख्या है, तो $\mathbb {Z} _{n}$ शून्य-उत्पाद संपत्ति को संतुष्ट नहीं करता है। अर्थात्, अगर $n=qm$ कहाँ $0<q,m<n$, तब $m$ और $q$ अशून्य मापांक हैं $n$, अभी तक $qm\equiv 0{\pmod {n}}$.
• अंगूठी $\mathbb {Z} ^{2\times 2}$ पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ 2×2 मैट्रिक्स (गणित) शून्य-उत्पाद संपत्ति को संतुष्ट नहीं करता है: यदि
  $$M={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$$
  और $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ तब
  $$MN={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}=0,$$
  अभी तक न तो $M$ और न $N$ शून्य है।
• सभी कार्यों (गणित) की अंगूठी $f:[0,1]\to \mathbb {R}$, इकाई अंतराल से वास्तविक संख्याओं तक, गैर-तुच्छ शून्य विभाजक हैं: ऐसे कार्यों के जोड़े हैं जो समान रूप से शून्य के बराबर नहीं हैं, फिर भी जिनका उत्पाद शून्य कार्य है। वास्तव में, किसी भी n ≥ 2, फलन के लिए रचना करना कठिन नहीं है $f_{1},\ldots ,f_{n}$, इनमें से कोई भी समान रूप से शून्य नहीं है, जैसे कि $f_{i}\,f_{j}$ समान रूप से शून्य जब भी है $i\neq j$.
• वही सच है भले ही हम केवल निरंतर कार्यों पर विचार करें, या केवल असीमित चिकनी कार्यों पर भी विचार करें। दूसरी ओर, विश्लेषणात्मक कार्यों में शून्य-उत्पाद संपत्ति होती है।

बहुपदों की जड़ें खोजने के लिए आवेदन

कल्पना करना $P$ और $Q$ वास्तविक गुणांक वाले अविभाज्य बहुपद हैं, और $x$ एक वास्तविक संख्या है जैसे कि $P(x)Q(x)=0$. (वास्तव में, हम गुणांकों की अनुमति दे सकते हैं और $x$ किसी भी अभिन्न डोमेन से आने के लिए।) शून्य-उत्पाद गुण द्वारा, यह या तो अनुसरण करता है $P(x)=0$ या $Q(x)=0$. दूसरे शब्दों में, की जड़ें $PQ$ की जड़ें हैं $P$ साथ में की जड़ें $Q$.

इस प्रकार, बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए बहुपदों के गुणनखंड का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बहुपद $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ के रूप में कारक करता है $(x-3)(x-1)(x+2)$; इसलिए, इसके मूल ठीक 3, 1 और -2 हैं।

सामान्य तौर पर, मान लीजिए $R$ एक अभिन्न डोमेन है और $f$ डिग्री का एक मोनिक बहुपद यूनीवेरिएट बहुपद है $d\geq 1$ में गुणांक के साथ $R$. यह भी मान लीजिए $f$ है $d$ अलग जड़ें $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$. यह इस प्रकार है (लेकिन हम यहां साबित नहीं करते हैं) कि $f$ के रूप में कारक करता है $f(x)=(x-r_{1})\cdots (x-r_{d})$. शून्य-उत्पाद संपत्ति द्वारा, यह उसका अनुसरण करता है $r_{1},\ldots ,r_{d}$ की ही जड़ें हैं $f$: की कोई जड़ $f$ का मूल होना चाहिए $(x-r_{i})$ कुछ के लिए $i$. विशेष रूप से, $f$ अधिक से अधिक है $d$ अलग जड़ें।

जो कुछ भी हो $R$ एक अभिन्न डोमेन नहीं है, तो निष्कर्ष की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, घन बहुपद $x^{3}+3x^{2}+2x$ में छह जड़ें हैं $\mathbb {Z} _{6}$ (हालांकि इसकी केवल तीन जड़ें हैं $\mathbb {Z}$).

यह भी देखें

• बीजगणित का मौलिक प्रमेय
• इंटीग्रल डोमेन और डोमेन (रिंग थ्योरी)
• प्रधान आदर्श
• शून्य भाजक

संदर्भ

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra (3d ed.), Wiley, 2003, ISBN 0-471-43334-9.

बाहरी संबंध

• PlanetMath: Zero rule of product