प्रभावी वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत

प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत वास्तविक संख्या के सेट (गणित) से संबंधित वर्णनात्मक सेट सिद्धांत की शाखा है जिसमें facebook परिभाषाएँ होती हैं; अर्थात्, ऐसी परिभाषाएँ जिनके लिए मनमाने वास्तविक पैरामीटर की आवश्यकता नहीं होती है (मोस्कोवाकिस 1980)। इस प्रकार प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत पुनरावर्तन सिद्धांत के साथ वर्णनात्मक सेट सिद्धांत को जोड़ता है।

निर्माण

प्रभावी पोलिश स्थान

Main article: Effective Polish space

एक प्रभावी पोलिश स्थान एक पूर्ण मीट्रिक अंतरिक्ष वियोज्य अंतरिक्ष मीट्रिक स्थान है जिसमें एक गणना योग्य प्रस्तुति है। ऐसे स्थानों का प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत और रचनात्मक विश्लेषण दोनों में अध्ययन किया जाता है। विशेष रूप से, पोलिश रिक्त स्थान के मानक उदाहरण जैसे कि वास्तविक रेखा, कैंटर सेट और बेयर स्पेस (सेट सिद्धांत) सभी प्रभावी पोलिश स्थान हैं।

अंकगणितीय पदानुक्रम

Main article: Arithmetical hierarchy

अंकगणितीय पदानुक्रम, अंकगणितीय पदानुक्रम या स्टीफन कोल आंद्रेज मोस्टोव्स्की पदानुक्रम उन्हें परिभाषित करने वाले सूत्रों की जटिलता के आधार पर कुछ सेट (गणित) को वर्गीकृत करता है। वर्गीकरण प्राप्त करने वाले किसी भी सेट को अंकगणितीय कहा जाता है।

औपचारिक रूप से अधिक औपचारिक रूप से, अंकगणितीय पदानुक्रम पीआनो सिद्धांतों की भाषा में सूत्रों को वर्गीकरण प्रदान करता है | प्रथम-क्रम अंकगणित। वर्गीकरण निरूपित हैं $\Sigma _{n}^{0}$ और $\Pi _{n}^{0}$ प्राकृतिक संख्या n के लिए (0 सहित)। यहां ग्रीक अक्षर लाइटफेस प्रतीक हैं, जो इंगित करता है कि सूत्रों में सेट पैरामीटर नहीं हैं।

यदि सूत्र $\phi$ तार्किक रूप से केवल परिबद्ध क्वांटिफायर वाले सूत्र के समतुल्य है $\phi$ वर्गीकरण सौंपा गया है $\Sigma _{0}^{0}$ और $\Pi _{0}^{0}$.

वर्गीकरण $\Sigma _{n}^{0}$ और $\Pi _{n}^{0}$ निम्नलिखित नियमों का उपयोग करते हुए प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है:

• अगर $\phi$ तार्किक रूप से फॉर्म के एक सूत्र के बराबर है $\exists n_{1}\exists n_{2}\cdots \exists n_{k}\psi$, कहाँ $\psi$ है $\Pi _{n}^{0}$, तब $\phi$ वर्गीकरण दिया गया है $\Sigma _{n+1}^{0}$.
• अगर $\phi$ तार्किक रूप से फॉर्म के एक सूत्र के बराबर है $\forall n_{1}\forall n_{2}\cdots \forall n_{k}\psi$, कहाँ $\psi$ है $\Sigma _{n}^{0}$, तब $\phi$ वर्गीकरण दिया गया है $\Pi _{n+1}^{0}$.

संदर्भ

• Mansfield, Richard; Weitkamp, Galen (1985). Recursive Aspects of Descriptive Set Theory. Oxford University Press. pp. 124–38. ISBN 978-0-19-503602-2. MR 0786122.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0. Second edition available online