अंडरसैंपलिंग

चित्र 1: शीर्ष 2 ग्राफ़ 2 अलग-अलग कार्यों के फूरियर रूपांतरणों को दर्शाते हैं जो एक विशेष दर पर नमूना लेने पर समान परिणाम उत्पन्न करते हैं। बेसबैंड फ़ंक्शन को इसकी Nyquist दर से तेज़ी से सैंपल किया जाता है, और बैंडपास फ़ंक्शन को अंडरसैंपल किया जाता है, प्रभावी रूप से इसे बेसबैंड में परिवर्तित किया जाता है। निचले ग्राफ़ इंगित करते हैं कि नमूनाकरण प्रक्रिया के उपनामों द्वारा समान वर्णक्रमीय परिणाम कैसे बनाए जाते हैं।

चौड़ाई 1 के एक बैंड के लिए नमूना दरों (y अक्ष) बनाम ऊपरी किनारे की आवृत्ति (x अक्ष) का प्लॉट; ग्रे क्षेत्र संयोजन हैं जो इस अर्थ में अनुमत हैं कि बैंड में कोई भी दो आवृत्तियाँ समान आवृत्ति के लिए उपनाम नहीं हैं। इस खंड के समीकरणों में n के अधिकतम मान के साथ गहरे भूरे रंग के क्षेत्र अंडरसैंपलिंग के अनुरूप हैं।

संकेत आगे बढ़ाना में, अंडरसैंपलिंग या बैंडपास सैंपलिंग एक ऐसी तकनीक है, जहां एक नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) एक बैंडपास-फ़िल्टर किए गए सिग्नल को उसकी निक्विस्ट दर (ऊपरी कटऑफ आवृत्ति से दोगुनी) के नीचे एक नमूना दर पर, लेकिन फिर भी सिग्नल को फिर से बनाने में सक्षम है।

जब कोई एक बैंडपास सिग्नल को कम करता है, तो नमूने उच्च-आवृत्ति सिग्नल की कम-आवृत्ति अलियासिंग के नमूनों से अप्रभेद्य होते हैं। इस तरह के सैंपलिंग को बैंडपास सैंपलिंग, हार्मोनिक सैंपलिंग, आईएफ सैंपलिंग और डायरेक्ट आईएफ-टू-डिजिटल रूपांतरण के रूप में भी जाना जाता है।

विवरण

वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के फूरियर रूपांतरण 0 हेटर्स ़ अक्ष के चारों ओर सममित हैं। नमूना लेने के बाद, फूरियर रूपांतरण का केवल आवधिक योग (असतत-समय फूरियर रूपांतरण कहा जाता है) अभी भी उपलब्ध है। मूल परिवर्तन की व्यक्तिगत आवृत्ति-स्थानांतरित प्रतियों को उपनाम कहा जाता है। आसन्न उपनामों के बीच फ़्रीक्वेंसी ऑफ़सेट नमूना-दर है, जिसे f द्वारा निरूपित किया जाता है_s. जब उपनाम पारस्परिक रूप से अनन्य (स्पेक्ट्रल रूप से) होते हैं, तो मूल परिवर्तन और मूल निरंतर कार्य, या इसका एक आवृत्ति-स्थानांतरित संस्करण (यदि वांछित हो), नमूनों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। चित्र 1 का पहला और तीसरा ग्राफ़ एक बेसबैंड स्पेक्ट्रम को एक दर पर नमूना लेने से पहले और बाद में दर्शाता है जो उपनामों को पूरी तरह से अलग करता है।

चित्रा 1 का दूसरा ग्राफ बैंड (ए, ए + बी) (छायांकित नीला) और इसकी दर्पण छवि (छायांकित बेज) पर कब्जा करने वाले बैंडपास फ़ंक्शन की आवृत्ति प्रोफ़ाइल को दर्शाता है। एक गैर-विनाशकारी नमूना दर के लिए शर्त यह है कि f के सभी पूर्णांक गुणकों द्वारा स्थानांतरित किए जाने पर दोनों बैंड के उपनाम ओवरलैप नहीं होते हैं_s. चौथा ग्राफ बेसबैंड फ़ंक्शन के समान दर पर नमूनाकरण के वर्णक्रमीय परिणाम को दर्शाता है। दर को निम्नतम दर ज्ञात करके चुना गया था जो A का एक पूर्णांक उप-गुणक है और बेसबैंड Nyquist दर को भी संतुष्ट करता है: f_s> 2बी. नतीजतन, बैंडपास फ़ंक्शन प्रभावी रूप से बेसबैंड में परिवर्तित हो गया है। ओवरलैप से बचने वाली अन्य सभी दरें इन अधिक सामान्य मानदंडों द्वारा दी गई हैं, जहां ए और ए+बी को एफ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है_Lऔर एफ_H, क्रमश':'

${\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}$, किसी पूर्णांक n संतोषजनक के लिए: $1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor$

उच्चतम n जिसके लिए स्थिति संतुष्ट है, सबसे कम संभव नमूनाकरण दर की ओर ले जाता है।

इस प्रकार के महत्वपूर्ण संकेतों में रेडियो की मध्यवर्ती-आवृत्ति (IF), रेडियो-आवृत्ति (RF) संकेत, और फ़िल्टर_बैंक#FFT_filter_banks के अलग-अलग चैनल शामिल हैं।

यदि n > 1, तो स्थितियों का परिणाम होता है जिसे कभी-कभी अंडरसैंपलिंग, बैंडपास सैंपलिंग, या निक्विस्ट रेट (2f) से कम सैंपलिंग दर का उपयोग करने के रूप में संदर्भित किया जाता है।_H). किसी दिए गए नमूने की आवृत्ति के मामले में, सिग्नल के स्पेक्ट्रल बैंड पर बाधाओं के लिए सरल सूत्र नीचे दिए गए हैं।

एफएम रेडियो बैंड (88–108 मेगाहर्ट्ज) का स्पेक्ट्रम और 44 मेगाहर्ट्ज (एन = 5) सैंपलिंग के तहत इसका बेसबैंड उपनाम। एफएम रेडियो बैंड के लिए एक एंटी-अलियास फिल्टर काफी तंग है, और अलियासिंग के बिना 87.9 जैसे आस-पास के विस्तार चैनलों पर स्टेशनों के लिए जगह नहीं है।

एफएम रेडियो बैंड (88-108 मेगाहर्ट्ज) का स्पेक्ट्रम और 56 मेगाहर्ट्ज (एन = 4) सैंपलिंग के तहत इसका बेसबैंड उपनाम, बैंडपास एंटी-अलियासिंग फिल्टर ट्रांजिशन बैंड के लिए काफी जगह दिखा रहा है। इस मामले में बेसबैंड छवि आवृत्ति-उलट है (यहां तक ​​कि n)।

: उदाहरण: अंडरसैंपलिंग के विचार को स्पष्ट करने के लिए एफएम रेडियो पर विचार करें।

अमेरिका में, एफएम रेडियो 'एफ' से फ्रीक्वेंसी बैंड पर काम करता है_L= 88 मेगाहर्ट्ज़ से एफ_H= 108 मेगाहर्ट्ज। बैंडविड्थ द्वारा दिया गया है

$W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz}$

नमूने की स्थिति के लिए संतुष्ट हैं

$1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor$

इसलिए, n 1, 2, 3, 4, या 5 हो सकता है।

मान n = 5 सबसे कम नमूना आवृत्ति अंतराल देता है $43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}$ और यह अंडरसैंपलिंग का एक परिदृश्य है। इस मामले में, सिग्नल स्पेक्ट्रम नमूना दर (86.4-88 मेगाहर्ट्ज से अधिक लेकिन 108-110 मेगाहर्ट्ज से कम) के 2 और 2.5 गुना के बीच फिट बैठता है।

n का कम मान भी एक उपयोगी नमूनाकरण दर की ओर ले जाएगा। उदाहरण के लिए, n = 4 का उपयोग करते हुए, FM बैंड स्पेक्ट्रम 56 मेगाहर्ट्ज (Nyquist आवृत्ति के गुणक 28, 56, 84, 112, आदि) के निकट नमूनाकरण दर के लिए 1.5 और 2.0 गुना नमूना दर के बीच आसानी से फिट बैठता है। दाई ओर दृष्टांत देखें।

वास्तविक दुनिया के सिग्नल को अंडरसैंपलिंग करते समय, सैंपलिंग सर्किट ब्याज की उच्चतम सिग्नल आवृत्ति को कैप्चर करने के लिए पर्याप्त तेज़ होना चाहिए। सैद्धांतिक रूप से, प्रत्येक नमूना एक अत्यंत छोटे अंतराल के दौरान लिया जाना चाहिए, लेकिन यह व्यावहारिक रूप से संभव नहीं है। इसके बजाय, सिग्नल का नमूना इतने कम अंतराल में बनाया जाना चाहिए कि यह उच्चतम आवृत्ति के साथ सिग्नल के तात्कालिक मूल्य का प्रतिनिधित्व कर सके। इसका मतलब यह है कि उपरोक्त एफएम रेडियो उदाहरण में, नमूना सर्किट को 108 मेगाहट्र्ज की आवृत्ति के साथ सिग्नल कैप्चर करने में सक्षम होना चाहिए, न कि 43.2 मेगाहट्र्ज। इस प्रकार, नमूनाकरण आवृत्ति 43.2 मेगाहर्ट्ज से केवल थोड़ी अधिक हो सकती है, लेकिन सिस्टम की इनपुट बैंडविड्थ कम से कम 108 मेगाहर्ट्ज होनी चाहिए। इसी तरह, सैंपलिंग टाइमिंग की सटीकता, या सैंपलर की एपर्चर अनिश्चितता, अक्सर एनॉलॉग से डिजिटल परिवर्तित करने वाला उपकरण, 108 मेगाहर्ट्ज के सैंपल वाली फ्रीक्वेंसी के लिए उपयुक्त होनी चाहिए, न कि कम सैंपल रेट के लिए।

यदि नमूनाकरण प्रमेय को दो बार उच्चतम आवृत्ति की आवश्यकता के रूप में व्याख्या की जाती है, तो आवश्यक नमूनाकरण दर Nyquist दर 216 मेगाहर्ट्ज से अधिक मानी जाएगी। जबकि यह नमूनाकरण दर पर अंतिम शर्त को पूरा करता है, यह सकल रूप से ओवरसैंपल किया गया है।

ध्यान दें कि यदि एक बैंड को n > 1 के साथ सैंपल किया जाता है, तो एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर के लिए लोपास फिल्टर के बजाय एक बंदपास छननी की आवश्यकता होती है।

जैसा कि हमने देखा है, प्रतिवर्ती नमूने के लिए सामान्य बेसबैंड स्थिति यह है कि X(f) = 0 अंतराल के बाहर':'

$\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$

और पुनर्निर्माण इंटरपोलेशन फ़ंक्शन, या लोपास फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रिया है$\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).$ अंडरसैंपलिंग को समायोजित करने के लिए, बैंडपास की स्थिति यह है कि खुले सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्ति बैंड के मिलन के बाहर X(f) = 0

$\left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n\,$.

जिसमें सामान्य बेसबैंड स्थिति n = 1 के रूप में शामिल है (सिवाय इसके कि जहां अंतराल 0 आवृत्ति पर एक साथ आते हैं, उन्हें बंद किया जा सकता है)।

संबंधित इंटरपोलेशन फ़ंक्शन लोपास आवेग प्रतिक्रियाओं के इस अंतर द्वारा दिया गया बैंडपास फ़िल्टर है ':'

$n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)$.

दूसरी ओर, नमूना IF या RF संकेतों के साथ पुनर्निर्माण आमतौर पर लक्ष्य नहीं होता है। इसके बजाय, नमूना अनुक्रम को सिग्नल फ्रीक्वेंसी के सामान्य नमूने के रूप में माना जा सकता है-पास बेसबैंड में स्थानांतरित किया जा सकता है, और डिजिटल डिमॉड्यूलेशन उस आधार पर आगे बढ़ सकता है, स्पेक्ट्रम मिररिंग को पहचानते हुए जब एन सम है।

एकाधिक बैंड वाले संकेतों के मामले में अंडरसैंपलिंग के और सामान्यीकरण संभव हैं, और बहुआयामी डोमेन (स्पेस या स्पेस-टाइम) पर सिग्नल और इगोर क्लुवानेक द्वारा विस्तार से काम किया गया है।

यह भी देखें

• बूंदा बांदी (इमेज प्रोसेसिंग)
• डेटा विश्लेषण में ओवरसैंपलिंग और अंडरसैंपलिंग