अंडरसैंपलिंग

चित्र 1: शीर्ष 2 ग्राफ़ 2 अलग-अलग फ़ंक्शनों के फूरियर रूपांतरणों को दर्शाते हैं जो विशेष दर पर नमूना लेने पर समान परिणाम उत्पन्न करते हैं। बेसबैंड फ़ंक्शन को इसकी निक्विस्ट दर से तेज़ी से सैंपल किया जाता है, और बैंडपास फ़ंक्शन को अंडरसैंपल किया जाता है, प्रभावी रूप से इसे बेसबैंड में परिवर्तित किया जाता है। निचले ग्राफ़ इंगित करते हैं कि नमूनाकरण प्रक्रिया के उपनामों द्वारा समान वर्णक्रमीय परिणाम कैसे बनाए जाते हैं।

चौड़ाई 1 के बैंड के लिए नमूना दरों (y अक्ष) बनाम ऊपरी किनारे की आवृत्ति (x अक्ष) का प्लॉट; ग्रे क्षेत्र संयोजन हैं जो इस अर्थ में अनुमत हैं कि बैंड में कोई भी दो आवृत्तियाँ समान आवृत्ति के लिए उपनाम नहीं हैं। इस खंड के समीकरणों में n के अधिकतम मान के साथ गहरे भूरे रंग के क्षेत्र अंडरसैंपलिंग के अनुरूप हैं।

संकेत प्रोसेसिंग में, अंडरसैंपलिंग या बैंडपास सैंपलिंग ऐसी कार्यविधि है, जिसमें एक बैंडपास-फ़िल्टर किए गए संकेत को उसकी निक्विस्ट दर (ऊपरी कटऑफ आवृत्ति से दोगुना) के नीचे एक नमूना दर पर नमूना (संकेत प्रोसेसिंग) लेता है, किन्तु फिर भी संकेत को फिर से बनाने में सक्षम होता है।

जब कोई बैंडपास संकेत को कम करता है, तो नमूने उच्च-आवृत्ति संकेत की कम-आवृत्ति एलियास के नमूनों से अप्रभेद्य होते हैं। इस प्रकार के सैंपलिंग को बैंडपास सैंपलिंग, हार्मोनिक सैंपलिंग, आईएफ सैंपलिंग और सीधे आईएफ-से-डिजिटल रूपांतरण के रूप में भी जाना जाता है।

विवरण

वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शनों के फूरियर रूपांतरण 0 हर्ट्ज अक्ष के चारों ओर सममित हैं। नमूना लेने के बाद, फूरियर रूपांतरण का केवल आवधिक योग (असतत-समय फूरियर रूपांतरण कहा जाता है) अभी भी उपलब्ध है। मूल परिवर्तन की व्यक्तिगत आवृत्ति-स्थानांतरित प्रतियों को उपनाम कहा जाता है। आसन्न उपनामों के बीच आवृत्ति ऑफ़सेट नमूना-दर है, जिसे f_s द्वारा निरूपित किया जाता है। जब उपनाम पारस्परिक रूप से अनन्य (स्पेक्ट्रल रूप से) होते हैं, तो मूल परिवर्तन और मूल निरंतर फ़ंक्शन, या इसका आवृत्ति-स्थानांतरित संस्करण (यदि वांछित हो), नमूनों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। चित्र 1 का पहला और तीसरा ग्राफ़ एक बेसबैंड स्पेक्ट्रम को एक दर पर नमूना लेने से पहले और बाद में दर्शाता है जो उपनामों को पूरी तरह से अलग करता है।

चित्रा 1 का दूसरा ग्राफ बैंड (A, A+B) (छायांकित नीला) और इसकी दर्पण छवि (छायांकित बेज) पर अधिकार करने वाले बैंडपास फ़ंक्शन की आवृत्ति प्रोफ़ाइल को दर्शाता है। गैर-विनाशकारी नमूना दर के लिए शर्त यह है कि f_s के सभी पूर्णांक गुणकों द्वारा स्थानांतरित किए जाने पर दोनों बैंड के उपनाम ओवरलैप नहीं होते है। चौथा ग्राफ बेसबैंड फ़ंक्शन के समान दर पर नमूनाकरण के वर्णक्रमीय परिणाम को दर्शाता है। दर को निम्नतम दर ज्ञात करके चुना गया था जो A का एक पूर्णांक उप-गुणक है और बेसबैंड निक्विस्ट मानदंड: f_s> 2B को भी संतुष्ट करता है। परिणामस्वरुप, बैंडपास फ़ंक्शन प्रभावी रूप से बेसबैंड में परिवर्तित हो गया है। ओवरलैप से बचने वाली अन्य सभी दरें इन अधिक सामान्य मानदंडों द्वारा दी गई हैं, जहां A और A+B को क्रमशः f_L और f_H द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं

${\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}$, किसी पूर्णांक n संतोषजनक के लिए: $1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor$

उच्चतम n जिसके लिए स्थिति संतुष्ट है, सबसे कम संभव नमूनाकरण दर की ओर ले जाता है।

इस प्रकार के महत्वपूर्ण संकेतों में एक रेडियो की मध्यवर्ती-आवृत्ति (IF), रेडियो-आवृत्ति (RF) संकेत और फ़िल्टर बैंक के अलग-अलग चैनल सम्मिलित हैं।

यदि n > 1, तो स्थितियों का परिणाम होता है जिसे कभी-कभी अंडरसैंपलिंग, बैंडपास सैंपलिंग, या निक्विस्ट दर (2f_H) से कम सैंपलिंग दर का उपयोग करने के रूप में संदर्भित किया जाता है। किसी दिए गए नमूने की आवृत्ति के स्थिति में, संकेत के स्पेक्ट्रल बैंड पर बाधाओं के लिए सरल सूत्र नीचे दिए गए हैं।

एफएम रेडियो बैंड (88–108 मेगाहर्ट्ज) का स्पेक्ट्रम और 44 मेगाहर्ट्ज (एन = 5) सैंपलिंग के तहत इसका बेसबैंड उपनाम। एफएम रेडियो बैंड के लिए एंटी-अलियास फिल्टर काफी तंग है, और एलियास के बिना 87.9 जैसे आस-पास के विस्तार चैनलों पर स्टेशनों के लिए जगह नहीं है।

एफएम रेडियो बैंड (88-108 मेगाहर्ट्ज) का स्पेक्ट्रम और 56 मेगाहर्ट्ज (एन = 4) सैंपलिंग के तहत इसका बेसबैंड उपनाम, बैंडपास एंटी-एलियास फिल्टर ट्रांजिशन बैंड के लिए काफी जगह दिखा रहा है। इस स्थिति में बेसबैंड छवि आवृत्ति-उलट है (यहां तक ​​कि n)।

: उदाहरण: अंडरसैंपलिंग के विचार को स्पष्ट करने के लिए एफएम रेडियो पर विचार करें।

अमेरिका में, FM रेडियो f_L = 88 मेगाहर्ट्ज़ से f_H = 108 मेगाहर्ट्ज़ फ़्रीक्वेंसी बैंड पर संचालित होता है। बैंडविड्थ द्वारा दिया गया है

$W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz}$

नमूने की स्थिति के लिए संतुष्ट हैं

$1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor$

इसलिए, n 1, 2, 3, 4, या 5 हो सकता है।

मान n = 5 सबसे कम नमूना आवृत्ति अंतराल $43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}$ देता है और यह अंडरसैंपलिंग का परिदृश्य है। इस स्थिति में, संकेत स्पेक्ट्रम नमूना दर (86.4-88 मेगाहर्ट्ज से अधिक किन्तु 108-110 मेगाहर्ट्ज से कम) के 2 और 2.5 गुना के बीच फिट बैठता है।

n का कम मान भी उपयोगी नमूनाकरण दर की ओर ले जाएगा। उदाहरण के लिए, n = 4 का उपयोग करते हुए, FM बैंड स्पेक्ट्रम 56 मेगाहर्ट्ज (निक्विस्ट आवृत्ति के गुणक 28, 56, 84, 112, आदि) के निकट नमूनाकरण दर के लिए 1.5 और 2.0 गुना नमूना दर के बीच आसानी से फिट बैठता है। दाई ओर दृष्टांत देखें।

वास्तविक विश्व के संकेत को अंडरसैंपलिंग करते समय, सैंपलिंग सर्किट इंटरेस्ट की उच्चतम संकेत आवृत्ति को कैप्चर करने के लिए पर्याप्त तेज़ होना चाहिए। सैद्धांतिक रूप से, प्रत्येक नमूना अत्यंत छोटे अंतराल के समय लिया जाना चाहिए, किन्तु यह व्यावहारिक रूप से संभव नहीं है। इसके अतिरिक्त, संकेत का नमूना इतने कम अंतराल में बनाया जाना चाहिए कि यह उच्चतम आवृत्ति के साथ संकेत के तात्कालिक मूल्य का प्रतिनिधित्व कर सके। इसका अर्थ यह है कि नमूना सर्किट के ऊपर एफएम रेडियो उदाहरण में 108 मेगाहर्ट्ज की आवृत्ति के साथ 43.2 मेगाहर्ट्ज की आवृत्ति के साथ एक संकेत को पकड़ने में सक्षम होना चाहिए। इस प्रकार, नमूनाकरण आवृत्ति 43.2 मेगाहर्ट्ज से केवल थोड़ी अधिक हो सकती है, किन्तु प्रणाली की इनपुट बैंडविड्थ कम से कम 108 मेगाहर्ट्ज होनी चाहिए। इसी प्रकार, सैंपलिंग टाइमिंग की शुद्धता, या सैंपलर की एपर्चर अनिश्चितता, अधिकांश एनॉलॉग से डिजिटल परिवर्तित करने वाला उपकरण, 108 मेगाहर्ट्ज के सैंपल वाली आवृत्ति के लिए उपयुक्त होनी चाहिए, न कि कम सैंपल दर के लिए उपयुक्त हो।

यदि नमूनाकरण प्रमेय को दो बार उच्चतम आवृत्ति की आवश्यकता के रूप में व्याख्या की जाती है, तो आवश्यक नमूनाकरण दर निक्विस्ट दर 216 मेगाहर्ट्ज से अधिक मानी जाएगी। जबकि यह नमूनाकरण दर पर अंतिम शर्त को पूरा करता है, यह सकल रूप से ओवरसैंपल किया गया है।

ध्यान दें कि यदि बैंड को n > 1 के साथ सैंपल किया जाता है, तो एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर के लिए लोपास फिल्टर के अतिरिक्त एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर की आवश्यकता होती है।

जैसा कि हमने देखा है, प्रतिवर्ती नमूने के लिए सामान्य बेसबैंड स्थिति यह है कि X(f) = 0 अंतराल के बाहर':'

$\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$

और पुनर्निर्माण इंटरपोलेशन फ़ंक्शन, या लोपास फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रिया, $\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right)$ है।

अंडरसैंपलिंग को समायोजित करने के लिए, बैंडपास की स्थिति यह है कि X(f) = 0 कुछ धनात्मक पूर्णांक $n\,$ के लिए खुले धनात्मक और ऋणात्मक आवृत्ति बैंड $\left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)$ के संघ के बाहर है।

जिसमें सामान्य बेसबैंड स्थिति n = 1 (अतिरिक्त इसके कि जहां अंतराल 0 आवृत्ति पर साथ आते हैं, उन्हें बंद किया जा सकता है) के रूप में सम्मिलित है।

संबंधित इंटरपोलेशन फ़ंक्शन लोपास आवेग प्रतिक्रियाओं के इस अंतर द्वारा दिया गया बैंडपास फ़िल्टर है ':'

$n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)$.

दूसरी ओर, नमूना IF या RF संकेतों के साथ पुनर्निर्माण सामान्यतः लक्ष्य नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, नमूना अनुक्रम को संकेत आवृत्ति के सामान्य नमूने के रूप में माना जा सकता है-निकट बेसबैंड में स्थानांतरित किया जा सकता है, और डिजिटल डिमॉड्यूलेशन उस आधार पर आगे बढ़ सकता है, जब स्पेक्ट्रम मिररिंग को पहचानता है जब n सम होता है।

एकाधिक बैंड वाले संकेतों के स्थिति में अंडरसैंपलिंग के और सामान्यीकरण संभव हैं, और बहुआयामी डोमेन (स्पेस या स्पेस-टाइम) पर संकेत और इगोर क्लुवानेक द्वारा विस्तार से काम किया गया है।

यह भी देखें

• बूंदा बांदी (इमेज प्रोसेसिंग)
• डेटा विश्लेषण में ओवरसैंपलिंग और अंडरसैंपलिंग