ब्राउनियन वेब

संभाव्यता सिद्धांत में, एक प्रकार कि गति अंतरिक्ष और समय में हर बिंदु से शुरू होने वाले एक-आयामी समेकित ब्राउनियन गतियों का एक बेशुमार संग्रह है। यह हर बार पूर्णांक जाली जेड के प्रत्येक बिंदु से शुरू होने वाली एक चाल के साथ, यादृच्छिक चाल को समेटने के संग्रह की विसारक स्पेस-टाइम स्केलिंग सीमा के रूप में उत्पन्न होती है।

इतिहास और मूल विवरण

File:Voter model graphical construction.png

विन्यास के साथ मतदाता मॉडल का चित्रमय निर्माण $\eta _{t}:=(\eta _{t}(x))_{x\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ . तीर यह निर्धारित करते हैं कि जब कोई मतदाता तीर द्वारा इंगित पड़ोसी के प्रति अपनी राय बदलता है। वंशावलियों को समय में पीछे की ओर तीरों का अनुसरण करके प्राप्त किया जाता है, जो यादृच्छिक चालों को समेटने के रूप में वितरित किए जाते हैं।

जिसे अब ब्राउनियन वेब के रूप में जाना जाता है, उसकी कल्पना सबसे पहले रिचर्ड अरटिया ने अपनी पीएचडी में की थी। थीसिस और एक बाद की अधूरी और अप्रकाशित पांडुलिपि। Arratia ने मतदाता मॉडल का अध्ययन किया, एक अंतःक्रियात्मक कण प्रणाली जो आबादी के राजनीतिक विचारों के विकास का मॉडल करती है। जनसंख्या के व्यक्तियों को एक ग्राफ के शीर्षों द्वारा दर्शाया जाता है, और प्रत्येक व्यक्ति दो संभावित रायों में से एक को वहन करता है, जिसे 0 या 1 के रूप में दर्शाया जाता है। स्वतंत्र रूप से दर 1 पर, प्रत्येक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से चुने गए पड़ोसी की राय में अपनी राय बदलता है। मतदाता मॉडल को रैंडम वॉक (यानी, रैंडम वॉक स्वतंत्र रूप से तब चलते हैं जब वे अलग होते हैं, और एक बार मिलने के बाद सिंगल वॉक के रूप में चलते हैं) को इस अर्थ में दोहरे रूप में जाना जाता है कि: किसी भी समय प्रत्येक व्यक्ति की राय को पीछे की ओर देखा जा सकता है समय 0 पर एक पूर्वज के समय में, और अलग-अलग समय पर अलग-अलग व्यक्तियों की राय की संयुक्त वंशावली समय में पीछे की ओर विकसित होने वाले यादृच्छिक चालों का एक संग्रह है। स्थानिक आयाम 1 में, अंतरिक्ष-समय बिंदुओं की एक परिमित संख्या से शुरू होने वाले यादृच्छिक चालों को समेटना ब्राउनियन गतियों की एक सीमित संख्या में परिवर्तित हो जाता है, यदि अंतरिक्ष-समय को अलग-अलग रूप से बदल दिया जाता है (अर्थात, प्रत्येक स्थान-समय बिंदु (x, t) को मैप किया जाता है) से (εx,ε^2t), ε↓0 के साथ)। यह डोंस्कर के प्रमेय का परिणाम है|डोंस्कर का अपरिवर्तनीय सिद्धांत। कम स्पष्ट प्रश्न है:

विच्छेदित स्पेस-टाइम लैटिस पर रैंडम वॉक को जोड़ना $\mathbb {Z} _{\rm {even}}^{2}:=\{(x,n)\in \mathbb {Z} ^{2}:x+n{\mbox{ is even}}\}.$ प्रत्येक जाली बिंदु से, एक तीर या तो ऊपर-दाएँ या ऊपर-बाएँ 1/2 प्रायिकता के साथ खींचा जाता है। यादृच्छिक चालें तीरों का अनुसरण करके समय के साथ ऊपर की ओर बढ़ती हैं, और विभिन्न यादृच्छिक चालें एक बार मिलने के बाद आपस में जुड़ जाती हैं।

अंतरिक्ष-समय में 'हर' बिंदु से शुरू होने वाले एक-आयामी कोलेसिंग रैंडम वॉक के संयुक्त संग्रह की विसारक स्केलिंग सीमा क्या है?

अराटिया ने इस सीमा का निर्माण करना शुरू किया, जिसे अब हम ब्राउनियन वेब कहते हैं। औपचारिक रूप से बोलते हुए, यह प्रत्येक अंतरिक्ष-समय बिंदु से शुरू होने वाले एक आयामी समेकित ब्राउनियन गति का संग्रह है $\mathbb {R} ^{2}$. तथ्य यह है कि ब्राउनियन वेब में ब्राउनियन गतियों की एक बेशुमार संख्या होती है, जो निर्माण को अत्यधिक गैर-तुच्छ बनाती है। Arratia ने एक निर्माण दिया लेकिन एक सीमित वस्तु के लिए यादृच्छिक चलने के अभिसरण को साबित करने में असमर्थ था और ऐसी सीमित वस्तु को चित्रित करता था।

बैलिंट टूथ | टूथ और वेंडेलिन वर्नर वास्तविक आत्म-प्रतिकारक गति के अपने अध्ययन में इस सीमित वस्तु और इसके दोहरे गुण के कई विस्तृत गुण प्राप्त किए लेकिन इस सीमित वस्तु के लिए सहवर्ती चालों के अभिसरण को साबित नहीं किया या इसकी विशेषता नहीं बताई। अभिसरण साबित करने में मुख्य कठिनाई यादृच्छिक बिंदुओं के अस्तित्व से उत्पन्न होती है जिससे सीमित वस्तु के कई रास्ते हो सकते हैं। Arratia और Bálint Tóth|Tóth और Wendelin Werner ऐसे बिंदुओं के अस्तित्व के बारे में जानते थे और उन्होंने इस तरह की बहुलता से बचने के लिए अलग-अलग परंपराएँ प्रदान कीं। फोंटेस, आइसोपी, चार्ल्स एम. न्यूमैन और रविशंकर सीमित वस्तु के लिए एक टोपोलॉजी की शुरुआत की ताकि इसे एक पोलिश स्थान में मान लेने वाले यादृच्छिक चर के रूप में महसूस किया जा सके, इस मामले में, पथों के कॉम्पैक्ट सेट का स्थान। यह विकल्प सीमित वस्तु को एक यादृच्छिक स्थान समय बिंदु से कई पथों की अनुमति देता है। इस टोपोलॉजी की शुरूआत ने उन्हें एक अद्वितीय सीमित वस्तु के लिए सामूहिक यादृच्छिक चलने के अभिसरण को साबित करने और इसे चिह्नित करने की अनुमति दी। उन्होंने इस सीमित वस्तु का नाम ब्राउनियन वेब रखा।

ब्राउनियन वेब का एक विस्तार, जिसे ब्राउनियन नेट कहा जाता है, सन और स्वार्ट द्वारा पेश किया गया है कोलेसिंग ब्राउनियन गतियों को शाखाओं में बंटने की अनुमति देकर। ब्राउनियन जाल का एक वैकल्पिक निर्माण न्यूमैन, रविशंकर और शर्टज़र द्वारा दिया गया था। हाल के एक सर्वेक्षण के लिए, शर्टज़र, सन और स्वार्ट देखें।