तरंगिका रूपांतरण

JPEG2000 में उपयोग किए जाने वाले 2D असतत वेवलेट रूपांतरण का उदाहरण।

For broader coverage of this topic, see वेवलेट.

गणित में एक वेवलेट श्रृंखला एक वेवलेट द्वारा उत्पन्न एक निश्चित ऑर्थोनॉर्मल श्रृंखला द्वारा एक वर्ग-अभिन्न (वास्तविक- या जटिल-मूल्यवान) कार्य का प्रतिनिधित्व करती है। यह लेख ऑर्थोनॉर्मल वेवलेट और इंटीग्रल वेवलेट रूपांतरण की औपचारिक गणितीय परिभाषा प्रदान करता है।

परिभाषा

एक कार्य $\psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )$को ऑर्थोनॉर्मल वेवलेट कहा जाता है यदि इसका उपयोग हिल्बर्ट आधार को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो कि वर्ग पूर्णांक कार्यों के हिल्बर्ट स्पेस $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ के लिए एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली है।

हिल्बर्ट आधार का निर्माण $\psi \,$ के डायडिक अनुवाद और विस्तार के माध्यम से कार्यों के वर्ग $\{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}$ के रूप में किया गया है।

$\psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\,$

पूर्णांकों के लिए $j,\,k\,\in \,\mathbb {Z}$.

यदि मानक आंतरिक उत्पाद के तहत $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$,

$\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx$

यह वर्ग ऑर्थोनॉर्मल है, यह ऑर्थोनॉर्मल कार्य है:

${\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}$

जहाँ $\delta _{jl}\,$ क्रोनकर डेल्टा है।

पूर्णता संतुष्ट है यदि हर कार्य $f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ आधार पर विस्तारित किया जा सकता है

$f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)$

श्रृंखला के अभिसरण के साथ आदर्श में अभिसरण समझा जाता है। f के ऐसे निरूपण को वेवलेट श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि एक ऑर्थोनॉर्मल वेवलेट स्व-दोहरी है।

'इंटीग्रल वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म' अभिन्न रूपांतरण है जिसे परिभाषित किया गया है

$\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,$

तब वेवलेट गुणांक $c_{jk}$ द्वारा दिए जाते हैं

$c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)$

यहां $a=2^{-j}$ को बाइनरी डिलेशन या डायडिक डिलेशन कहा जाता है और $b=k2^{-j}$ को बाइनरी या डायडिक स्थिति कहा जाता है।

सिद्धांत

वेवलेट रूपांतरण का मूल विचार यह है कि रूपांतरण को केवल समय विस्तार में रूपांतरण की अनुमति देनी चाहिए, किंतु आकार की नहीं है परन्तु यह इसके लिए अनुमति देने वाले उपयुक्त आधार कार्यों को चुनकर प्राप्त किया जाता है। समय विस्तार में रूपांतरण के आधार कार्य की इसी विश्लेषण आवृत्ति के अनुरूप होने की उम्मीद है। अनिश्चितता सिद्धांत या सिग्नल प्रोसेसिंग के सिग्नल प्रोसेसिंग के आधार पर,

$\Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}$

जहां $t$ समय और $\omega$ कोणीय आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है $\omega =2\pi f$, जहां $f$ सामान्य आवृत्ति है)।

समय में आवश्यक रिज़ॉल्यूशन जितना अधिक होगा आवृत्ति में रिज़ॉल्यूशन उतना ही कम होगा। विश्लेषण विंडो का विस्तार जितना बड़ा चुना जाएगा $\Delta t$ का मान उतना ही बड़ा होगा।

जब $\Delta t$ बड़ी है,

1. ख़राब समय का संकल्प
2. अच्छा आवृत्ति संकल्प
3. कम आवृत्ति बड़ा स्केलिंग कारक

जब $\Delta t$ छोटा है

1. शुभ समय संकल्प
2. खराब आवृत्ति संकल्प
3. उच्च आवृत्ति, छोटा स्केलिंग कारक

दूसरे शब्दों में, आधार कार्य $\psi$ को उस प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसके साथ कार्य $x(t)$ को फ़िल्टर किया गया है। परिवर्तित सिग्नल समय और आवृत्ति के बारे में जानकारी प्रदान करता है। इसलिए, वेवलेट-रूपांतरण में अल्प-समय-फूरियर-रूपांतरण के समान जानकारी होती है, किंतु वेवलेट के अतिरिक्त विशेष गुणों के साथ, जो आधार कार्य के उच्च विश्लेषण आवृत्तियों पर समय पर रिज़ॉल्यूशन पर दिखाई देते हैं। फूरियर ट्रांसफॉर्म और वेवलेट ट्रांसफॉर्म के लिए आरोही आवृत्तियों पर समय रिज़ॉल्यूशन में अंतर नीचे दिखाया गया है। चूँकि , ध्यान दें कि बढ़ती आवृत्तियों के लिए आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन कम हो रहा है जबकि अस्थायी रिज़ॉल्यूशन बढ़ता है। फूरियर अनिश्चितता सिद्धांत का यह परिणाम चित्र में सही रूप से प्रदर्शित नहीं किया गया है।

इससे पता चलता है कि उच्च आवृत्तियों के समय रिज़ॉल्यूशन में वेवलेट रूपांतरण अच्छा है जबकि धीरे-धीरे अलग-अलग कार्यों के लिए आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन उल्लेखनीय है।

एक अन्य उदाहरण: तीन अध्यारोपित साइनसोइडल संकेतों का विश्लेषण $y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)$ STFT और वेवलेट-रूपांतरण के साथ।

एक अन्य उदाहरण: एसटीएफटी और वेवलेट-रूपांतरण के साथ तीन सुपरपोज़्ड साइनसॉइडल सिग्नल $y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)$ का विश्लेषण।

वेवलेट संपीड़न

See also: असतत वेवलेट परिवर्तन

वेवलेट संपीड़न डेटा संपीड़न (कभी-कभी वीडियो संपीड़न और ऑडियो संपीड़न (डेटा)) के लिए उपयुक्त डेटा संपीड़न का रूप है। स्थिर छवियों के लिए जेपीईजी 2000, डीजेवीयू और ईसीडब्ल्यू (फ़ाइल प्रारूप), जेपीईजी एक्सएस, इस सिनेफॉर्म और बीबीसी के डायराक (कोडेक) उल्लेखनीय कार्यान्वयन हैं। लक्ष्य छवि डेटा को कम्प्यूटर फाइल में यथासंभव कम जगह में संग्रहीत करना है। वेवलेट संपीड़न दोषरहित डेटा संपीड़न या हानिपूर्ण डेटा संपीड़न हो सकता है।

वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करते हुए, वेवलेट कंप्रेशन विधियाँ ट्रांसिएंट (ध्वनिकी) का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त हैं, जैसे कि ऑडियो में पर्क्यूशन ध्वनियाँ, या द्वि-आयामी छवियों में उच्च-आवृत्ति घटक, उदाहरण के लिए रात के आकाश में सितारों की छवि। इसका मतलब यह है कि डेटा सिग्नल के क्षणिक तत्वों को सूचना की छोटी मात्रा द्वारा दर्शाया जा सकता है, यदि कुछ अन्य परिवर्तन, जैसे कि अधिक व्यापक असतत कोसाइन परिवर्तन, का उपयोग किया जाता है।

इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफ़ (ईसीजी) संकेतों के संपीड़न के लिए असतत वेवलेट रूपांतरण सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है इस कार्य में, क्रमिक कार्डियक चक्रों के संकेतों के संबंधित वेवलेट गुणांकों के बीच उच्च सहसंबंध का उपयोग रैखिक भविष्यवाणी को नियोजित करने के लिए किया जाता है।

वेवलेट संपीड़न सभी प्रकार के डेटा के लिए प्रभावी नहीं होता है। वेवलेट संपीड़न क्षणिक संकेतों को अच्छी तरह से संभालता है। किंतु सुचारू आवधिक संकेतों को अन्य विधियों का उपयोग करके उत्तम रूप से संकुचित किया जाता है विशेष रूप से आवृत्ति डोमेन में फूरियर-संबंधित परिवर्तनों की सूची के साथ पारंपरिक हार्मोनिक विश्लेषण फूरियर-संबंधित रूपांतरण संपीडित डेटा जिसमें दोनों क्षणिक और आवधिक विशेषताएं हैं, हाइब्रिड तकनीकों के साथ किया जा सकता है जो पारंपरिक हार्मोनिक विश्लेषण के साथ तरंगों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, वॉर्बिस ऑडियो कोडेक मुख्य रूप से ऑडियो को संपीड़ित करने के लिए संशोधित असतत कोज्या रूपांतरण का उपयोग करता है (जो सामान्यतः सुचारूऔ र आवधिक होता है), चूँकि ग्राहकों की उत्तम ध्वनि गुणवत्ता के लिए हाइब्रिड वेवलेट फ़िल्टर बैंक को जोड़ने की अनुमति देता है।

देखें डायरी ऑफ एन x264 डेवलपर: वेवलेट्स के साथ समस्याएं (2010) के व्यावहारिक उद्देश्यों की चर्चा के लिए वीडियो संपीड़न के लिए तरंगों का उपयोग करने वाली वर्तमान विधियाँ है ।

विधि

सबसे पहले वेवलेट रूपांतरण प्रयुक्त किया जाता है। यह छवि में पिक्सेल के रूप में कई गुणांक उत्पन्न करता है (अथार्त अभी तक कोई संपीड़न नहीं है क्योंकि यह केवल रूपांतरण है)। इन गुणांकों को तब अधिक आसानी से संकुचित किया जा सकता है क्योंकि जानकारी सांख्यिकीय रूप से केवल कुछ गुणांकों में केंद्रित होती है। इस सिद्धांत को कोडिंग बदलना कहा जाता है। उसके बाद, गुणांक परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) हैं और परिमाणित मान एन्ट्रापी एन्कोडिंग और/या रन-लेंथ एन्कोडिंग हैं।

वेवलेट संपीड़न के कुछ 1D और 2D अनुप्रयोग वेवलेट पदचिन्ह नामक तकनीक का उपयोग करते हैं।

मूल्यांकन

छवि संपीड़न के लिए आवश्यकता

अधिकांश प्राकृतिक छवियों के लिए कम आवृत्ति का स्पेक्ट्रम घनत्व अधिक होता है। परिणाम स्वरुप कम आवृत्ति संकेत (संदर्भ संकेत) की जानकारी सामान्यतः संरक्षित होती है जबकि विस्तार संकेत में जानकारी को छोड़ दिया जाता है। छवि संपीड़न और पुनर्निर्माण के दृष्टिकोण से वेवलेट को छवि संपीड़न करते समय निम्नलिखित मानदंडों को पूरा करना चाहिए:

• अधिक मूल छवि को संदर्भ संकेत में बदलने में सक्षम होना।
• उच्चतम निष्ठा पुनर्निर्माण संदर्भ संकेत के आधार पर।
• अकेले संदर्भ संकेत से पुनर्निर्माण की गई छवि में कलाकृतियों का नेतृत्व नहीं करना चाहिए।

शिफ्ट विचरण और रिंगिंग व्यवहार के लिए आवश्यकता

वेवलेट इमेज कंप्रेशन कार्य में फिल्टर और डिकिमेशन सम्मिलित है, इसलिए इसे लीनियर शिफ्ट-विविध कार्य के रूप में वर्णित किया जा सकता है। विशिष्ट वेवलेट रूपांतरण आरेख नीचे प्रदर्शित किया गया है:

रूपांतरण प्रणाली

रूपांतरण प्रणाली में दो विश्लेषण फ़िल्टर (एक निम्न पास फ़िल्टर $h_{0}(n)$ और एक उच्च पास फ़िल्टर $h_{1}(n)$, एक क्षय प्रक्रिया, एक प्रक्षेप प्रक्रिया, और दो संश्लेषण फ़िल्टर $g_{0}(n)$ और $g_{1}(n)$ सम्मिलित हैं। संपीड़न और पुनर्निर्माण प्रणाली में सामान्यतः कम आवृत्ति वाले घटक सम्मिलित होते हैं, जो छवि संपीड़न के लिए विश्लेषण फ़िल्टर $h_{0}(n)$ और पुनर्निर्माण के लिए संश्लेषण फ़िल्टर$g_{0}(n)$ है। ऐसी प्रणाली का मूल्यांकन करने के लिए, हम एक आवेग $\delta (n-n_{i})$ इनपुट कर सकते हैं और इसके पुनर्निर्माण $h(n-n_{i})$का निरीक्षण कर सकते हैं; इष्टतम वेवलेट वे हैं जो न्यूनतम शिफ्ट विचरण और साइडलोब को $h(n-n_{i})$ पर लाते हैं। चूँकि सख्त शिफ्ट विचरण के साथ वेवलेट यथार्थवादी नहीं है, केवल सामान्य शिफ्ट विचरण के साथ वेवलेट का चयन करना संभव है। उदाहरण के लिए, हम दो फ़िल्टर के शिफ्ट विचरण की तुलना कर सकते हैं:

वेवलेट छवि संपीड़न के लिए बायोर्थोगोनल फ़िल्टर

		लंबाई	फ़िल्टर गुणांक	नियमितता
वेवलेट फ़िल्टर 1	H0	9	.852699, .377402, -.110624, -.023849, .037828	1.068
	G0	7	.788486, .418092, -.040689, -.064539	1.701
वेवलेट फ़िल्टर 2	H0	6	.788486, .047699, -.129078	0.701
	G0	10	.615051, .133389, -.067237, .006989, .018914	2.068

दो फ़िल्टरों की आवेग प्रतिक्रियाओं को देखकर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दूसरा फ़िल्टर इनपुट स्थान के प्रति कम संवेदनशील है (अर्थात यह कम बदलाव वाला संस्करण है)।

छवि संपीड़न और पुनर्निर्माण के लिए और महत्वपूर्ण उद्देश्य कार्य का दोलन व्यवहार है, जो पुनर्निर्मित छवि में गंभीर अवांछित कलाकृतियों को जन्म दे सकता है। इसे प्राप्त करने के लिए, वेवलेट फिल्टर में साइडलोब अनुपात के लिए बड़ी शिखर होनी चाहिए।

अब तक हमने इमेज कंप्रेशन कार्य के आयामी रूपांतरण के बारे में चर्चा की है। इस उद्देश्य को दो आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, जबकि अधिक सामान्य शब्द - शिफ्टेबल बहुस्तरीय रूपांतरण - प्रस्तावित है।

आवेग प्रतिक्रिया की व्युत्पत्ति

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, छवि संपीड़न/पुनर्निर्माण प्रणाली का मूल्यांकन करने के लिए आवेग प्रतिक्रिया का उपयोग किया जा सकता है।

इनपुट अनुक्रम $x(n)=\delta (n-n_{i})$ के लिए, संदर्भ संकेत $r_{1}(n)$ अपघटन के एक स्तर के बाद $x(n)*h_{0}(n)$ दो के कारक द्वारा क्षय से गुजरता है, जबकि $h_{0}(n)$ एक कम पास फिल्टर है। इसी प्रकार, अगला संदर्भ संकेत $r_{2}(n)$ $r_{1}(n)*h_{0}(n)$ द्वारा प्राप्त किया जाता है जो दो के कारक द्वारा क्षय से गुजरता है। अपघटन (और क्षय) के एल स्तर के बाद, प्रत्येक $2^{L}$ नमूनों में से एक को बनाए रखकर विश्लेषण प्रतिक्रिया $h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})$ प्राप्त की जाती है:

दूसरी ओर, सिग्नल x(n) को फिर से बनाने के लिए, हम एक संदर्भ सिग्नल $r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})$ पर विचार कर सकते हैं। यदि विवरण संकेत $d_{i}(n)$ $1\leq i\leq L$ के लिए शून्य के बराबर हैं, तो पिछले चरण ($L-1$ चरण) पर संदर्भ संकेत $r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})$ है, जो $r_{L}(n)$ को प्रक्षेपित करके और {$g_{0}(n)$ के साथ संयोजित करके प्राप्त किया जाता है। इसी प्रकार, चरण $L-2,L-3,....,1$ पर संदर्भ संकेत $r(n)$ प्राप्त करने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जाता है। एल पुनरावृत्तियों के बाद, संश्लेषण आवेग प्रतिक्रिया की गणना की जाती है:$h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})$, जो संदर्भ संकेत $r_{L}(n)$और पुनर्निर्मित संकेत से संबंधित है।

समग्र एल स्तर विश्लेषण/संश्लेषण प्रणाली प्राप्त करने के लिए, विश्लेषण और संश्लेषण प्रतिक्रियाओं को नीचे के रूप में संयोजित किया गया है:

$h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)$.

अंत में, पहले साइडलोब अनुपात का शिखर और समग्र आवेग प्रतिक्रिया का औसत दूसरा साइडलोब $h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})$ वेवलेट छवि संपीड़न प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

फूरियर रूपांतरण और समय-आवृत्ति विश्लेषण के साथ तुलना

रूपान्तरण	प्रतिनिधित्व	इनपुट
फूरियर रूपांतरण	${\hat {X}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}\,dt$	$f$ : आवृत्ति
समय-आवृत्ति विश्लेषण	$X(t,f)$	$t$ समय; $f$ आवृत्ति
वेवलेट रूपांतरण	$X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt$	$a$ स्केलिंग ; $b$ समय रूपांतरण कारक

विशिष्ट आवृत्तियों की जांच करते समय कंप्यूटेशंस को कम करने में फूरियर रूपांतरणों पर वेवलेट्स के कुछ सामान्य लाभ होते हैं। चूँकि वे संभवतः ही कभी अधिक संवेदनशील होते हैं, और वास्तव में, सामान्य मोरलेट वेवलेट गणितीय रूप से गॉसियन विंडो कार्य का उपयोग करके लघु-समय फूरियर रूपांतरण के समान है। अपवाद तब होता है जब ज्ञात, गैर-साइनसॉइडल आकार (जैसे, दिल की धड़कन) के संकेतों की खोज की जाती है; उस स्थिति में, मेल खाने वाली तरंगों का उपयोग मानक एसटीएफटी/मोर्लेट विश्लेषणों से उत्तम प्रदर्शन कर सकता है।

विंडो कार्य का उपयोग करके लघु-समय फूरियर रूपांतरण के समान है। अपवाद तब

अन्य व्यावहारिक अनुप्रयोग

वेवलेट रूपांतरण हमें संकेतों की आवृत्ति और उन आवृत्तियों से जुड़े समय प्रदान कर सकता है, जिससे कई क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोग के लिए यह बहुत सुविधाजनक हो जाता है। उदाहरण के लिए, कम शक्ति वाले पेसमेकर के डिज़ाइन और अल्ट्रा-वाइडबैंड (यूडब्ल्यूबी) वायरलेस संचार में दोष का पता लगाने के लिए चाल विश्लेषण के लिए त्वरण की सिग्नल प्रोसेसिंग

1. Discretizing of the $c-\tau$ axis

   Applied the following discretization of frequency and time:

   ${\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}$

   Leading to wavelets of the form, the discrete formula for the basis wavelet:

   $\Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$

   Such discrete wavelets can be used for the transformation:

   $Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$

2. Implementation via the FFT (fast Fourier transform)

   As apparent from wavelet-transformation representation (shown below)

   $Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt$

   where $c$ is scaling factor, $\tau$ represents time shift factor

   and as already mentioned in this context, the wavelet-transformation corresponds to a convolution of a function $y(t)$ and a wavelet-function. A convolution can be implemented as a multiplication in the frequency domain. With this the following approach of implementation results into:

   • Fourier-transformation of signal $y(k)$ with the FFT
   • Selection of a discrete scaling factor $c_{n}$
   • Scaling of the wavelet-basis-function by this factor $c_{n}$ and subsequent FFT of this function
   • Multiplication with the transformed signal YFFT of the first step
   • Inverse transformation of the product into the time domain results in $Y_{W}(c,\tau )$ for different discrete values of $\tau$ and a discrete value of $c_{n}$
   • Back to the second step, until all discrete scaling values for $c_{n}$are processed
   There are many different types of wavelet transforms for specific purposes. See also a full list of wavelet-related transforms but the common ones are listed below: Mexican hat wavelet, Haar Wavelet, Daubechies wavelet, triangular wavelet.

समय-कारण तरंगें

वास्तविक समय में अस्थायी संकेतों को संसाधित करने के लिए, यह आवश्यक है कि वेवलेट फिल्टर भविष्य से सिग्नल मानो तक न पहुंचें और साथ ही न्यूनतम अस्थायी विलंबता प्राप्त की जा सके। ज़ू एट अल द्वारा समय-कारण वेवलेटओं का प्रतिनिधित्व विकसित किया गया है और लिंडबर्ग, बाद की विधि के साथ मेमोरी-कुशल समय-पुनरावर्ती कार्यान्वयन भी सम्मिलित है।

सिंक्रो-स्क्वीज्ड परिवर्तन

सिंक्रो-स्क्वीज्ड रूपांतरण पारंपरिक वेवलेट रूपांतरण का उपयोग करके प्राप्त समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व के अस्थायी और आवृत्ति संकल्प को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा सकता है।

यह भी देखें

• निरंतर वेवलेट परिवर्तन
• असतत वेवलेट रूपांतरण
• जटिल वेवलेट रूपांतरण
• निरन्तर-क्यू परिवर्तन
• स्थिर वेवलेट रूपांतरण
• दोहरी वेवलेट
• कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
• बहुविकल्पी विश्लेषण
• एमआरएसआईडी, लॉस अलामोस नेशनल लेबोरेटरी (एलएएनएल) में मूल वेवलेट संपीड़न अनुसंधान से विकसित छवि प्रारूप
• ईसीडब्ल्यू (फ़ाइल स्वरूप), गति और प्रसंस्करण दक्षता के लिए डिज़ाइन किया गया वेवलेट-आधारित भू-स्थानिक छवि प्रारूप
• जेपीईजी 2000, वेवलेट-आधारित छवि संपीड़न मानक
• डीजेवीयू प्रारूप छवि संपीड़न के लिए वेवलेट-आधारित आईडब्ल्यू44एल्गोरिथ्म का उपयोग करता है
• स्केलोग्राम, प्रकार का स्पेक्ट्रोग्राम जो थोड़े समय के फूरियर रूपांतरण के अतिरिक्त वेवलेटओं का उपयोग करके उत्पन्न होता है

उसकी वेवलेट

• हर वेवलेट
• डोबेचीज वेवलेट
• द्विपद क्यूएमएफ (डौबेची वेवलेट के रूप में भी जाना जाता है)
• मोरलेट वेवलेट
• गेबर वेवलेट
• चिरपलेट रूपांतरण
• समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
• एस परिवर्तन
• पदानुक्रमित पेड़ों में विभाजन सेट करें
• शॉर्ट-टाइम फूरियर रूपांतरण
• बायोर्थोगोनल लगभग कोइफलेट आधार जो दर्शाता है कि छवि संपीड़न के लिए वेवलेट लगभग कोइफलेट (लगभग ओर्थोगोनल) भी हो सकती है।

बाहरी संबंध

• Amara Graps (June 1995). "An Introduction to Wavelets". IEEE Computational Science & Engineering. 2 (2): 50–61. doi:10.1109/99.388960.
• Robi Polikar (2001-01-12). "The Wavelet Tutorial".
• Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger