असतत समय और निरंतर समय

गतिशील प्रणाली में, असतत समय और निरंतर समय दो वैकल्पिक ढांचे हैं जिनके भीतर समय के साथ विकसित होने वाले चर (गणित) को मॉडलिंग किया जाता है।

असतत समय

असतत नमूना संकेत

असतत समय, समय के अलग-अलग, अलग-अलग बिंदुओं पर होने वाले चर के मूल्यों को देखता है, या समान रूप से समय के प्रत्येक गैर-शून्य क्षेत्र (समय अवधि) में अपरिवर्तित रहता है-अर्थात, समय को असतत चर के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार एक गैर-समय चर एक मान से दूसरे मान पर कूदता है क्योंकि समय एक समय अवधि से दूसरी अवधि में जाता है। समय का यह दृश्य एक डिजिटल घड़ी से मेल खाता है जो कुछ समय के लिए 10:37 की एक निश्चित रीडिंग देता है, और फिर 10:38 के एक नए निश्चित रीडिंग पर कूद जाता है, आदि। इस ढांचे में, ब्याज के प्रत्येक चर को प्रत्येक पर एक बार मापा जाता है समय सीमा। किन्हीं दो समयावधियों के बीच मापों की संख्या परिमित होती है। माप आमतौर पर परिवर्तनीय समय के अनुक्रमिक पूर्णांक मानों पर किए जाते हैं।

एक असतत संकेत या असतत-समय संकेत एक समय श्रृंखला है जिसमें मात्राओं का अनुक्रम होता है।

एक निरंतर-समय संकेत के विपरीत, एक असतत-समय संकेत एक निरंतर तर्क का कार्य नहीं है; हालाँकि, यह एक सतत-समय संकेत से नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा प्राप्त किया गया हो सकता है। जब एक असतत-समय संकेत एक समान अंतराल वाले समय पर अनुक्रम का नमूना करके प्राप्त किया जाता है, तो इसकी एक संबद्ध नमूना दर होती है।

असतत-समय के संकेतों के कई मूल हो सकते हैं, लेकिन आमतौर पर इन्हें दो समूहों में से एक में वर्गीकृत किया जा सकता है:

• निरंतर या परिवर्तनशील दर पर एक एनालॉग सिग्नल के मूल्यों को प्राप्त करके। इस प्रक्रिया को नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) कहा जाता है।
• एक स्वाभाविक रूप से असतत-समय की प्रक्रिया का अवलोकन करके, जैसे कि किसी विशेष आर्थिक संकेतक का साप्ताहिक शिखर मूल्य।

सतत समय

इसके विपरीत, निरंतर समय चर को संभावित रूप से केवल एक असीम रूप से कम समय के लिए एक विशेष मूल्य के रूप में देखता है। समय में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच समय में अन्य बिंदुओं की अनंत संख्या होती है। परिवर्तनीय समय संपूर्ण वास्तविक संख्या रेखा पर, या संदर्भ के आधार पर, इसके कुछ उपसमुच्चय जैसे कि गैर-ऋणात्मक वास्तविक पर होता है। इस प्रकार समय को एक सतत चर के रूप में देखा जाता है।

एक निरंतर संकेत या एक निरंतर-समय संकेत एक भिन्न मात्रा है (एक संकेत (सूचना सिद्धांत)) जिसका डोमेन, जो अक्सर समय होता है, एक सातत्य (सेट सिद्धांत) है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या का एक जुड़ा हुआ स्थान अंतराल)। अर्थात्, फ़ंक्शन का डोमेन एक बेशुमार सेट है। फ़ंक्शन को निरंतर कार्य करने की आवश्यकता नहीं है। इसके विपरीत, एक असतत समय | असतत-समय संकेत में प्राकृतिक संख्याओं की तरह एक गणनीय सेट डोमेन होता है।

निरंतर आयाम और समय के संकेत को निरंतर-समय संकेत या एनालॉग सिग्नल के रूप में जाना जाता है। यह (एक सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)) का हर पल कुछ मूल्य होगा। भौतिक मात्राओं जैसे तापमान, दबाव, ध्वनि आदि के अनुपात में प्राप्त विद्युत संकेत आम तौर पर निरंतर संकेत होते हैं। निरंतर संकेतों के अन्य उदाहरण साइन वेव, कोसाइन वेव, त्रिकोणीय तरंग आदि हैं।

सिग्नल को एक डोमेन पर परिभाषित किया जाता है, जो परिमित हो भी सकता है और नहीं भी, और डोमेन से सिग्नल के मान तक एक कार्यात्मक मानचित्रण होता है। वास्तविक संख्याओं के घनत्व के नियम के संबंध में समय चर की निरंतरता का अर्थ है कि संकेत मान किसी भी समय में मनमाना बिंदु पर पाया जा सकता है।

अनंत अवधि संकेत का एक विशिष्ट उदाहरण है:

$f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R}$

उपरोक्त सिग्नल का एक परिमित अवधि समकक्ष हो सकता है:

$f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]$ तथा $f(t)=0$ अन्यथा।

एक परिमित (या अनंत) अवधि संकेत का मान परिमित हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए,

$f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]$ तथा $f(t)=0$ अन्यथा,

एक सीमित अवधि का संकेत है लेकिन इसके लिए अनंत मान लेता है $t=0\,$.

कई विषयों में, परंपरा यह है कि एक निरंतर संकेत का हमेशा एक सीमित मूल्य होना चाहिए, जो भौतिक संकेतों के मामले में अधिक समझ में आता है।

कुछ उद्देश्यों के लिए, अनंत विलक्षणताएं तब तक स्वीकार्य हैं जब तक कि संकेत किसी भी परिमित अंतराल पर समाकलनीय है (उदाहरण के लिए, $t^{-1}$ संकेत अनंत पर समाकलनीय नहीं है, लेकिन $t^{-2}$ है)।

कोई भी एनालॉग सिग्नल स्वभाव से निरंतर होता है। डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में उपयोग किए जाने वाले असतत-समय सिग्नल, निरंतर संकेतों के नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) और क्वांटिज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं।

निरंतर संकेत को समय के अलावा एक स्वतंत्र चर पर भी परिभाषित किया जा सकता है। एक और बहुत ही सामान्य स्वतंत्र चर अंतरिक्ष है और छवि प्रसंस्करण में विशेष रूप से उपयोगी है, जहां दो अंतरिक्ष आयामों का उपयोग किया जाता है।

प्रासंगिक संदर्भ

अनुभवजन्य माप शामिल होने पर असतत समय अक्सर नियोजित होता है, क्योंकि आम तौर पर केवल क्रमिक रूप से चर को मापना संभव होता है। उदाहरण के लिए, जबकि आर्थिक गतिविधि वास्तव में लगातार होती रहती है, ऐसा कोई क्षण नहीं है जब अर्थव्यवस्था पूरी तरह से विराम में हो, केवल आर्थिक गतिविधि को विवेकपूर्वक मापना संभव है। इस कारण से, प्रकाशित डेटा, उदाहरण के लिए, सकल घरेलू उत्पाद कैलेंडर वर्ष#तिमाही मूल्यों का एक क्रम दिखाएगा।

जब कोई अन्य चर और/या अपने स्वयं के पूर्व मूल्यों के संदर्भ में ऐसे चरों को अनुभवजन्य रूप से समझाने का प्रयास करता है, तो कोई समय श्रृंखला या प्रतिगमन विश्लेषण विधियों का उपयोग करता है जिसमें चर को एक सबस्क्रिप्ट के साथ अनुक्रमित किया जाता है जो उस समय अवधि को दर्शाता है जिसमें अवलोकन हुआ था। उदाहरण के लिए, यू_t अनिर्दिष्ट समय अवधि t, y . में देखी गई आय के मूल्य को संदर्भित कर सकता है₃ तीसरी समय अवधि, आदि में देखी गई आय के मूल्य के लिए।

इसके अलावा, जब कोई शोधकर्ता असतत समय में क्या देखा जाता है, यह समझाने के लिए एक सिद्धांत विकसित करने का प्रयास करता है, तो अक्सर समय श्रृंखला या प्रतिगमन मॉडल के विकास को सुविधाजनक बनाने के लिए सिद्धांत स्वयं असतत समय में व्यक्त किया जाता है।

दूसरी ओर, यह निरंतर समय में वैज्ञानिक सिद्धांतों का निर्माण करने के लिए अक्सर अधिक गणितीय रूप से बंद रूप समाधान होता है, और अक्सर भौतिकी जैसे क्षेत्रों में सटीक विवरण के लिए निरंतर समय के उपयोग की आवश्यकता होती है। निरंतर समय के संदर्भ में, एक अनिर्दिष्ट समय बिंदु पर एक चर y का मान y(t) या, जब अर्थ स्पष्ट होता है, बस y के रूप में दर्शाया जाता है।

समीकरणों के प्रकार

असतत समय

असतत समय अंतर समीकरणों का उपयोग करता है, जिसे पुनरावृत्ति संबंध भी कहा जाता है। एक उदाहरण, जिसे लॉजिस्टिक मैप या लॉजिस्टिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, है

$x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),$

जिसमें r एक पैरामीटर है# 2 से 4 तक की श्रेणी में गणितीय कार्य, और x 0 से 1 की सीमा में एक चर है, जिसका अवधि t गैर-रैखिकता में मान अगली अवधि, t+1 में इसके मान को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, यदि $r=4$ तथा $x_{1}=1/3$, तो t=1 के लिए हमारे पास है $x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9$, और t=2 के लिए हमारे पास है $x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81$.

एक अन्य उदाहरण उत्पाद के लिए गैर-शून्य अतिरिक्त मांग के जवाब में मूल्य पी के समायोजन को मॉडल करता है:

$P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)$

कहाँ पे $\delta$ सकारात्मक गति-की-समायोजन पैरामीटर है जो 1 से कम या उसके बराबर है, और जहां $f$ अतिरिक्त मांग फलन है।

निरंतर समय

निरंतर समय अवकल समीकरणों का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के लिए गैर-शून्य अतिरिक्त मांग के जवाब में मूल्य पी का समायोजन निरंतर समय में किया जा सकता है

${\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)$

जहां बाईं ओर समय के संबंध में कीमत का पहला व्युत्पन्न है (अर्थात, मूल्य के परिवर्तन की दर), $\lambda$ समायोजन की गति पैरामीटर है जो कोई भी सकारात्मक परिमित संख्या हो सकती है, और $f$ फिर से अतिरिक्त मांग समारोह है।

ग्राफिकल चित्रण

असतत समय में मापा गया एक चर को एक चरण फ़ंक्शन के रूप में प्लॉट किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक समय अवधि को हर दूसरी समय अवधि के समान लंबाई के क्षैतिज अक्ष पर एक क्षेत्र दिया जाता है, और मापा चर को एक ऊंचाई के रूप में प्लॉट किया जाता है जो पूरे समय स्थिर रहता है समय अवधि का क्षेत्र। इस ग्राफिकल तकनीक में, ग्राफ क्षैतिज चरणों के अनुक्रम के रूप में प्रकट होता है। वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक समय अवधि को समय में एक अलग बिंदु के रूप में देखा जा सकता है, आमतौर पर क्षैतिज अक्ष पर एक पूर्णांक मान पर, और मापा चर को उस समय-अक्ष बिंदु से ऊपर की ऊंचाई के रूप में प्लॉट किया जाता है। इस तकनीक में, ग्राफ डॉट्स के एक सेट के रूप में दिखाई देता है।

निरंतर समय में मापे गए एक चर के मूल्यों को एक निरंतर कार्य के रूप में प्लॉट किया जाता है, क्योंकि समय के क्षेत्र को संपूर्ण वास्तविक अक्ष या कम से कम इसके कुछ जुड़े हिस्से के रूप में माना जाता है।

यह भी देखें

• अलियासिंग
• बर्नौली प्रक्रिया
• डिजिटल डाटा
• असतत कलन
• असतत प्रणाली
• विभेदीकरण
• सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग)
• Nyquist–शैनन नमूना प्रमेय
• समय-पैमाने की गणना

संदर्भ

• Gershenfeld, Neil A. (1999). The Nature of mathematical Modeling. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57095-6.

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Analytical transients. Wiley.

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