ध्रुवीय वृत्त (ज्यामिति)

त्रिभुज ABC का ध्रुवीय वृत्त (लाल)।

ध्रुवीय वृत्त (d), नौ बिंदु वृत्त (t), परिवृत्त (e), स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिवृत्त (s)

ज्यामिति में, त्रिभुज का ध्रुवीय वृत्त वह वृत्त होता है जिसका केंद्र त्रिभुज का लंबकेन्द्र होता है और जिसका वर्ग त्रिज्या होता है

${\begin{aligned}r^{2}&=HA\times HD=HB\times HE=HC\times HF\\&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C=4R^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\end{aligned}}$

जहाँ A, B, C त्रिभुज के शीर्ष (ज्यामिति) दोनों को दर्शाता है और कोण उन शीर्षों पर मापता है, H ऑर्थोसेंटर है (त्रिकोण की ऊँचाई (ज्यामिति) का प्रतिच्छेदन), D, E, F से ऊँचाई के पैर हैं कोने A, B, C क्रमशः, R त्रिभुज की परिधि (इसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या) है, और a, b, c त्रिभुज के शीर्षों A, B, C के विपरीत भुजाओं की लंबाई हैं।

त्रिज्या सूत्र के पहले भाग इस तथ्य को दर्शाते हैं कि ऑर्थोसेंटर ऊँचाई को समान उत्पादों के खंड जोड़े में विभाजित करता है। त्रिज्या के लिए त्रिकोणमिति सूत्र से पता चलता है कि ध्रुवीय वृत्त का वास्तविक अस्तित्व तभी होता है जब त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज हो, इसलिए इसका एक कोण अधिक कोण है और इसलिए एक ऋणात्मक कोज्या है।

गुण

ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली में दो त्रिभुजों के कोई भी दो ध्रुवीय वृत्त ओर्थोगोनल होते हैं।

एक पूर्ण चतुर्भुज के त्रिभुजों के ध्रुवीय वृत्त एक समाक्षीय वृत्त प्रणाली बनाते हैं।

एक त्रिभुज का परिवृत्त, उसका नौ-बिंदु वाला वृत्त, उसका ध्रुवीय वृत्त और उसके स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिवृत्त समाक्षीय होते हैं।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Polar Circle". MathWorld.