प्वाइंटक्लास

वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक बिंदु वर्ग बिंदु (गणित) के सेट (गणित) का एक संग्रह है, जहां एक बिंदु को आमतौर पर कुछ सही सेट पोलिश स्थान का एक तत्व समझा जाता है। व्यवहार में, एक पॉइंटक्लास को आमतौर पर किसी प्रकार की 'परिभाषा संपत्ति' द्वारा चित्रित किया जाता है; उदाहरण के लिए, पोलिश रिक्त स्थान के कुछ निश्चित संग्रह में सभी खुले सेटों का संग्रह एक बिंदु वर्ग है। (एक खुले सेट को कुछ अर्थों में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि यह बिंदुओं का विशुद्ध रूप से मनमाना संग्रह नहीं हो सकता है; सेट में किसी भी बिंदु के लिए, उस बिंदु के पास पर्याप्त रूप से सभी बिंदु सेट में भी होने चाहिए।)

पॉइंटक्लास सेट सिद्धांत और वास्तविक विश्लेषण से कई महत्वपूर्ण सिद्धांतों और प्रमेयों को तैयार करने में आवेदन पाते हैं। मजबूत सेट-सैद्धांतिक सिद्धांतों को विभिन्न बिंदुओं के निर्धारण के संदर्भ में कहा जा सकता है, जो बदले में इसका अर्थ है कि उन बिंदु वर्गों (या कभी-कभी बड़े वाले) में नियमितता गुण होते हैं जैसे कि लेबेसेग माप (और वास्तव में सार्वभौमिक रूप से मापने योग्य सेट), की संपत्ति बायर, और सही सेट संपत्ति।

मूल ढांचा

व्यवहार में, वर्णनात्मक सेट सिद्धांतकार अक्सर एक निश्चित पोलिश स्थान जैसे बायर स्पेस (सेट सिद्धांत) या कभी-कभी कैंटर स्पेस में काम करके मामलों को सरल बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक को शून्य आयामी होने का लाभ होता है, और वास्तव में इसके परिमित या गणनीय उत्पाद टोपोलॉजी के लिए होमियोमॉर्फिक होता है। , ताकि आयामीता के विचार कभी उत्पन्न न हों। Yiannis Moschovakis एक बार और सभी अंतर्निहित पोलिश रिक्त स्थान के संग्रह को ठीक करके अधिक सामान्यता प्रदान करता है, जिसमें सभी नेचुरल का सेट, सभी रियल का सेट, बेयर स्पेस और कैंटर स्पेस शामिल है, और अन्यथा पाठक को किसी भी वांछित सही पोलिश में फेंकने की अनुमति देता है। अंतरिक्ष। फिर वह एक उत्पाद स्थान को इन अंतर्निहित स्थानों के किसी भी परिमित कार्टेशियन उत्पाद के रूप में परिभाषित करता है। फिर, उदाहरण के लिए, पॉइंटक्लास ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ सभी खुले सेटों का अर्थ है इन उत्पाद स्थानों में से किसी एक के सभी खुले सबसेट का संग्रह। यह उपाय रोकता है ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ एक उचित वर्ग होने से, विशेष पोलिश रिक्त स्थान के रूप में अत्यधिक विशिष्टता से बचने के दौरान विचार किया जा रहा है (यह देखते हुए कि फोकस इस तथ्य पर है कि ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ खुले सेट का संग्रह है, न कि स्वयं रिक्त स्थान पर)।

बोल्ड अक्षरों पॉइंटक्लास

बोरेल पदानुक्रम में बिंदु वर्ग, और अधिक जटिल प्रक्षेपी पदानुक्रम में, बोल्डफेस फोंट में उप- और सुपर-स्क्रिप्टेड ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं; उदाहरण के लिए, ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ सभी बंद सेटों का बिंदु वर्ग है, ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}$ सभी F-sigma|F का बिंदु वर्ग है_σसेट, ${\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}$ सभी सेटों का संग्रह है जो एक साथ F हैं_σ और जी-डेल्टा सेट | जी_δ, और ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ सभी विश्लेषणात्मक सेटों का बिंदु वर्ग है।

इस तरह के बिंदु वर्गों में सेट केवल एक बिंदु तक निश्चित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, पोलिश स्थान में सेट किया गया प्रत्येक सिंगलटन बंद है, और इस प्रकार ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$. इसलिए ऐसा नहीं हो सकता कि हर ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ सेट पोलिश स्थान के एक मनमाना तत्व से अधिक निश्चित होना चाहिए (कहते हैं, एक मनमाना वास्तविक संख्या, या प्राकृतिक संख्याओं का एक मनमाना गणनीय अनुक्रम)। बोल्डफेस पॉइंटक्लास, हालांकि, (और आमतौर पर अभ्यास में) की आवश्यकता होती है कि कक्षा में सेट कुछ वास्तविक संख्या के सापेक्ष परिभाषित हो, जिसे ओरेकल मशीन के रूप में लिया जाता है। उस अर्थ में, बोल्डफेस पॉइंटक्लास में सदस्यता एक निश्चित संपत्ति है, भले ही यह पूर्ण निश्चितता नहीं है, लेकिन संभावित रूप से अपरिभाषित वास्तविक संख्या के संबंध में केवल निश्चितता है।

बोल्डफेस पॉइंटक्लास, या कम से कम जिन्हें आमतौर पर माना जाता है, वैज रिड्यूसिबिलिटी के तहत बंद हैं; अर्थात्, पॉइंटक्लास में एक सेट दिया गया है, इसकी उलटा छवि एक निरंतर फ़ंक्शन के तहत (एक उत्पाद स्थान से उस स्थान तक जिसमें दिया गया सेट एक सबसेट है) भी दिए गए पॉइंटक्लास में है। इस प्रकार एक बोल्डफेस पॉइंटक्लास वैज डिग्री का डाउनवर्ड-क्लोज्ड यूनियन है।

लाइटफेस पॉइंटक्लास

बोरेल और प्रक्षेपी पदानुक्रम में प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में समानताएं हैं, जिसमें निश्चितता संपत्ति अब एक ऑरेकल से संबंधित नहीं है, लेकिन इसे निरपेक्ष बना दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि कोई मूल खुले पड़ोस के कुछ संग्रह को ठीक करता है (कहते हैं, बेयर स्पेस में, सेट के सेट का संग्रह {x∈ω^ओह $\mid$ s प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक निश्चित परिमित अनुक्रम के लिए x} का प्रारंभिक खंड है), फिर खुला, या ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$, सेट को बुनियादी खुले पड़ोस के सभी (मनमाने) यूनियनों के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अनुरूप $\Sigma _{1}^{0}$ सेट, एक लाइटफेस के साथ $\Sigma$, अब ऐसे मोहल्लों की मनमानी यूनियनें नहीं हैं, बल्कि उनमें से संगणनीय सेट यूनियनें हैं। यानी एक सेट लाइटफेस है $\Sigma _{1}^{0}$, जिसे प्रभावी रूप से खुला भी कहा जाता है, यदि नैचुरल के परिमित अनुक्रमों का एक संगणनीय सेट S है, जैसे कि दिया गया सेट सेटों का मिलन है {x∈ω^ओह $\mid$ s, S में s के लिए x} का प्रारंभिक खंड है।

एक सेट लाइटफेस है $\Pi _{1}^{0}$ अगर यह एक का पूरक है $\Sigma _{1}^{0}$ तय करना। इस प्रकार प्रत्येक $\Sigma _{1}^{0}$ सेट में कम से कम एक इंडेक्स होता है, जो कम्प्यूटेशनल फंक्शन का वर्णन करता है, जिसमें बेसिक ओपन सेट की गणना होती है, जिससे यह बना है; वास्तव में इसमें अपरिमित रूप से ऐसे अनेक सूचकांक होंगे। इसी तरह, एक के लिए एक सूचकांक $\Pi _{1}^{0}$ सेट बी बी के पूरक में बुनियादी खुले सेटों की गणना करने योग्य गणना योग्य फ़ंक्शन का वर्णन करता है।

एक सेट ए लाइटफेस है $\Sigma _{2}^{0}$ यदि यह एक संगणनीय अनुक्रम का संघ है $\Pi _{1}^{0}$ सेट (अर्थात, के सूचकांकों की गणना योग्य गणना है $\Pi _{1}^{0}$ ऐसे सेट करता है कि A इन सेटों का मिलन है)। लाइटफेस सेट और उनके सूचकांकों के बीच यह संबंध पुनरावर्ती ऑर्डिनल के माध्यम से लाइटफेस बोरेल पदानुक्रम को ट्रांसफिनिट में विस्तारित करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह हाइपरअरिथमेटिक पदानुक्रम का उत्पादन करता है, जो बोरेल पदानुक्रम का लाइटफेस एनालॉग है। (हाइपरअरिथमेटिकल सिद्धांत के परिमित स्तरों को अंकगणितीय पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।)

प्रक्षेपी पदानुक्रम पर एक समान उपचार लागू किया जा सकता है। इसका लाइटफेस एनालॉग विश्लेषणात्मक पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।

सारांश

प्रत्येक वर्ग कम से कम उतना ही बड़ा है जितना कि उससे ऊपर की कक्षाएँ।

Lightface		Boldface
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (sometimes the same as Δ0 1)		Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (if defined)
Δ0 1 = recursive		Δ0 1 = clopen
Σ0 1 = recursively enumerable	Π0 1 = co-recursively enumerable	Σ0 1 = G = open	Π0 1 = F = closed
Δ0 2		Δ0 2
Σ0 2	Π0 2	Σ0 2 = Fσ	Π0 2 = Gδ
Δ0 3		Δ0 3
Σ0 3	Π0 3	Σ0 3 = Gδσ	Π0 3 = Fσδ
⋮		⋮
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = arithmetical		Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = boldface arithmetical
⋮		⋮
Δ0 α (α recursive)		Δ0 α (α countable)
Σ0 α	Π0 α	Σ0 α	Π0 α
⋮		⋮
Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1 = hyperarithmetical		Σ0 ω1 = Π0 ω1 = Δ0 ω1 = Δ1 1 = B = Borel
Σ1 1 = lightface analytic	Π1 1 = lightface coanalytic	Σ1 1 = A = analytic	Π1 1 = CA = coanalytic
Δ1 2		Δ1 2
Σ1 2	Π1 2	Σ1 2 = PCA	Π1 2 = CPCA
Δ1 3		Δ1 3
Σ1 3	Π1 3	Σ1 3 = PCPCA	Π1 3 = CPCPCA
⋮		⋮
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = analytical		Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = P = projective
⋮		⋮

संदर्भ

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.