प्राकृतिक निस्पंदन

गणित और सांख्यिकी में प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, प्रसंभाव्य प्रक्रिया से संयोजित उत्पन्न निस्पंदन या प्राकृतिक निस्पंदन प्रक्रिया से संयोजित निस्पंदन (संभाव्यता सिद्धांत) है जो प्रत्येक समय अपने पूर्व व्यवहार को अभिलेखित करता है। यह अर्थ में दी गई प्रक्रिया का अध्ययन करने के लिए उपलब्ध सबसे सरल निस्यंदक है: प्रक्रिया से संबंधित सभी सूचना, और मात्र वह सूचना, प्राकृतिक निस्यंदक में उपलब्ध है।

अधिक औपचारिक रूप से, मान लीजिए (Ω, F, P) एक संभाव्यता स्थान है; मान लीजिए (I, ≤) कुल ऑर्डर सूचकांक सेट हो; चलो (एस, Σ) औसत दर्जे का स्थान हो; चलो 'एक्स': आई × Ω → एस प्रसंभाव्य प्रक्रिया हो। तब X के संबंध में F के प्राकृतिक निस्यंदक को निस्यंदक F के रूप में परिभाषित किया जाता है_•^{एक्स </सुप> = (एफ_iएक्स)_i∈I द्वारा दिए गए}

$F_{i}^{X}=\sigma \left\{\left.X_{j}^{-1}(A)\right|j\in I,j\leq i,A\in \Sigma \right\},$

यानी, Ω पर सबसे छोटा सिग्मा बीजगणित|σ-बीजगणित जिसमें i तक के समय के लिए S के Σ-मापने योग्य उपसमुच्चय की सभी पूर्व-छवियाँ शामिल हैं।

कई उदाहरणों में, इंडेक्स सेट I प्राकृतिक संख्या 'N' (संभवतः 0 सहित) या अंतराल (गणित) [0, T] या [0, +∞] है; राज्य स्थान S अक्सर वास्तविक रेखा 'R' या यूक्लिडियन अंतरिक्ष 'R' होता है^एन.

कोई भी स्टोचैस्टिक प्रक्रिया X अपने प्राकृतिक निस्पंदन के संबंध में अनुकूलित प्रक्रिया है।

संदर्भ

• Delia Coculescu; Ashkan Nikeghbali (2010), "Filtrations", Encyclopedia of Quantitative Finance

यह भी देखें

• निस्पंदन (गणित)

श्रेणी:प्रसंभाव्य प्रक्रियाएं