गॉस वृत्त समस्या

मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 5 के एक वृत्त का क्षेत्रफल 25 हैπ, लगभग 78.54, लेकिन इसमें 81 पूर्णांक बिंदु शामिल हैं, इसलिए ग्रिड बिंदुओं की गणना करके इसके क्षेत्रफल का अनुमान लगाने में त्रुटि लगभग 2.46 है। थोड़ी छोटी त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, क्षेत्रफल लगभग समान होता है, लेकिन वृत्त में केवल 69 बिंदु होते हैं, जो लगभग 9.54 की एक बड़ी त्रुटि उत्पन्न करता है। गॉस सर्कल समस्या सर्कल के त्रिज्या के एक समारोह के रूप में इस त्रुटि को अधिक सामान्य रूप से सीमित करने से संबंधित है।

गणित में, गॉस घेरा समस्या यह निर्धारित करने की समस्या है कि मूल पर केंद्रित एक सर्कल में कितने पूर्णांक जालक बिंदु हैं और त्रिज्या के साथ $r$. यह संख्या सर्कल के क्षेत्र से अनुमानित है, इसलिए वास्तविक समस्या त्रुटि शब्द को सही ढंग से बाध्य करना है, यह बताते हुए कि अंक की संख्या क्षेत्र से भिन्न कैसे होती है।

समाधान पर पहली प्रगति कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा की गई थी, इसलिए इसका नाम।

समस्या

में एक वृत्त पर विचार करें $\mathbb {R} ^{2}$ मूल और त्रिज्या पर केंद्र के साथ $r\geq 0$. गॉस की वृत्त समस्या पूछती है कि प्रपत्र के इस वृत्त के अंदर कितने बिंदु हैं $(m,n)$ कहाँ $m$ और $n$ दोनों पूर्णांक हैं। चूँकि इस वृत्त का समीकरण कार्तीय निर्देशांक प्रणाली द्वारा दिया गया है $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, प्रश्न समान रूप से पूछ रहा है कि पूर्णांक m और n के कितने जोड़े ऐसे हैं

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.$

यदि दिए गए के लिए उत्तर $r$ द्वारा निरूपित किया जाता है $N(r)$ तो निम्न सूची के पहले कुछ मान दिखाती है $N(r)$ के लिए$r$मानों की सूची के बाद 0 और 12 के बीच एक पूर्णांक $\pi r^{2}$ निकटतम पूर्णांक तक गोल:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (sequence A000328 in the OEIS)

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (sequence A075726 in the OEIS)

एक समाधान और अनुमान पर सीमा

$N(r)$ मोटे तौर पर है $\pi r^{2}$, त्रिज्या की एक डिस्क का क्षेत्रफल $r$. ऐसा इसलिए है क्योंकि औसतन प्रत्येक इकाई वर्ग में एक जाली बिंदु होता है। इस प्रकार, वृत्त में जाली बिंदुओं की वास्तविक संख्या इसके क्षेत्रफल के लगभग बराबर होती है, $\pi r^{2}$. तो इसकी उम्मीद की जानी चाहिए

$N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,$

कुछ त्रुटि अवधि के लिए $E(r)$ अपेक्षाकृत छोटे निरपेक्ष मूल्य का। के लिए एक सही ऊपरी सीमा ढूँढना $\mid E(r)\mid$ इस प्रकार समस्या ने रूप ले लिया है। ध्यान दें कि $r$ एक पूर्णांक होना जरूरी नहीं है। बाद $N(4)=49$ किसी के पास$N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.$ इन जगहों पर $E(r)$ से बढ़ता है $8,4,8,12$ जिसके बाद यह घट जाती है (की दर से $2\pi r$) अगली बार बढ़ने तक।

गॉस साबित करने में कामयाब रहे वह

$|E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.$

जी एच हार्डी और, स्वतंत्र रूप से, एडमंड लैंडौ ने इसे दिखाकर एक निचली सीमा पाई

$|E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),$

बिग ओ नोटेशन#लिटिल-ओ नोटेशन|लिटिल ओ-नोटेशन का उपयोग करना। यह अनुमान है सही सीमा है

$|E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).$

लिखना $E(r)\leq Cr^{t}$, वर्तमान सीमा पर $t$ हैं

${\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,$

1915 में हार्डी और लैंडौ से निचली सीमा के साथ, और ऊपरी सीमा 2000 में मार्टिन हक्सले द्वारा सिद्ध की गई।

सटीक रूप

का मान है $N(r)$ कई श्रृंखलाओं द्वारा दिया जा सकता है। फर्श समारोह को शामिल करने वाली राशि के संदर्भ में इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).$

यह जैकोबी के दो-स्क्वायर प्रमेय का परिणाम है, जो जैकोबी ट्रिपल उत्पाद से लगभग तुरंत अनुसरण करता है। यदि वर्गों का योग कार्य करता है तो योग बहुत सरल दिखाई देता है $r_{2}(n)$ संख्या लिखने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है $n$ दो वर्गों के योग के रूप में। तब

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).$

सबसे हालिया प्रगति निम्नलिखित पहचान पर टिकी हुई है, जिसे सबसे पहले हार्डी ने खोजा था:

$N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),$

कहाँ $J_{1}$ प्रथम प्रकार के बेसेल फलन को क्रम 1 से निरूपित करता है।

सामान्यीकरण

यद्यपि मूल समस्या एक वृत्त में पूर्णांक जाली बिंदुओं के लिए पूछती है, लेकिन अन्य आकृतियों पर विचार न करने का कोई कारण नहीं है, उदाहरण के लिए शांकव; वास्तव में डिरिचलेट की भाजक समस्या#डिरिचलेट की विभाजक समस्या|डिरिचलेट की विभाजक समस्या समतुल्य समस्या है जहां वृत्त को आयताकार अतिपरवलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसी प्रकार कोई प्रश्न को दो आयामों से उच्च आयामों तक बढ़ा सकता है, और एन-क्षेत्र या अन्य वस्तुओं के भीतर पूर्णांक अंक मांग सकता है। इन समस्याओं पर एक व्यापक साहित्य है। यदि कोई ज्यामिति को अनदेखा करता है और केवल डायोफैंटाइन सन्निकटन के एक बीजगणितीय समस्या पर विचार करता है, तो वहाँ समस्या में दिखाई देने वाले घातांक को वर्गों से क्यूब्स या उच्चतर तक बढ़ा सकते हैं।

डॉट प्लानीमीटर एक ही सिद्धांत के आधार पर आकृतियों के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए भौतिक उपकरण है। इसमें एक पारदर्शी शीट पर मुद्रित डॉट्स का एक चौकोर ग्रिड होता है; एक आकृति के क्षेत्रफल का अनुमान एक ग्रिड वर्ग के क्षेत्रफल के साथ आकार में डॉट्स की संख्या के गुणनफल के रूप में लगाया जा सकता है।

आदिम सर्कल समस्या

एक अन्य सामान्यीकरण सह अभाज्य पूर्णांक समाधानों की संख्या की गणना करना है $m,n$ असमानता के लिए

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,$

इस समस्या को प्रिमिटिव सर्कल प्रॉब्लम के रूप में जाना जाता है, क्योंकि इसमें मूल सर्कल प्रॉब्लम के प्रिमिटिव सॉल्यूशंस की खोज करना शामिल है। इसे सहज रूप से इस सवाल के रूप में समझा जा सकता है कि आर की दूरी के भीतर कितने पेड़ यूक्लिड के बाग में दिखाई दे रहे हैं, जो मूल में खड़े हैं। यदि ऐसे समाधानों की संख्या को निरूपित किया जाता है $V(r)$ फिर के मान $V(r)$ के लिए$r$छोटे पूर्णांक मान ले रहे हैं

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … (sequence A175341 in the OEIS).

सामान्य गॉस सर्कल समस्या के समान विचारों का उपयोग करना और तथ्य यह है कि Coprime पूर्णांक # कोप्रिमेलिटी की संभावना है $6/\pi ^{2}$, यह दिखाना अपेक्षाकृत सरल है

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).$

सामान्य सर्कल समस्या के साथ, आदिम सर्कल समस्या का समस्याग्रस्त हिस्सा त्रुटि अवधि में प्रतिपादक को कम कर रहा है। वर्तमान में, सबसे प्रसिद्ध प्रतिपादक है $221/304+\varepsilon$ अगर कोई रीमैन परिकल्पना मानता है।रीमैन परिकल्पना ग्रहण किए बिना, सबसे अच्छी ज्ञात ऊपरी सीमा है

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))$

एक सकारात्मक स्थिरांक के लिए $c$.विशेष रूप से, प्रपत्र की त्रुटि अवधि पर कोई बाध्यता नहीं है $r^{1-\varepsilon }$ किसी के लिए $\varepsilon >0$ वर्तमान में ज्ञात है जो रीमैन परिकल्पना को नहीं मानता है।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Gauss's circle problem". MathWorld.
• Grant Sanderson, "Pi hiding in prime regularities", 3Blue1Brown (in English)