स्पर्शोन्मुख वितरण

गणित और सांख्यिकी में, स्पर्शोन्मुख वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक अर्थ में वितरण के अनुक्रम का "सीमित" वितरण है। एक स्पर्शोन्मुख वितरण के विचार का मुख्य उपयोग सांख्यिकीय अनुमानकों के संचयी वितरण कार्यों को सन्निकटन प्रदान करने में है।

परिभाषा

वितरण का एक क्रम यादृच्छिक चर Z के अनुक्रम से मेल खाता है_iमैं के लिए = 1, 2, ..., मैं। सरलतम स्थिति में, यदि Z का प्रायिकता वितरण हो तो एक स्पर्शोन्मुख वितरण मौजूद होता है_iजैसे-जैसे मैं बढ़ता है प्रायिकता वितरण (असिम्प्टोटिक वितरण) में परिवर्तित होता है: देखें यादृच्छिक चरों का अभिसरण#वितरण में अभिसरण। स्पर्शोन्मुख वितरण का एक विशेष मामला तब होता है जब यादृच्छिक चर का क्रम हमेशा शून्य या Z होता है_i= 0 जैसे मैं अनंत की ओर पहुंचता हूं। यहाँ स्पर्शोन्मुख वितरण एक पतित वितरण है, जो मान शून्य के अनुरूप है।

हालाँकि, सबसे सामान्य अर्थ जिसमें स्पर्शोन्मुख वितरण शब्द का उपयोग किया जाता है, जहाँ यादृच्छिक चर Z होता है_iगैर-यादृच्छिक मूल्यों के दो अनुक्रमों द्वारा संशोधित किया गया है। इस प्रकार यदि

$Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}$

वितरण में दो अनुक्रमों के लिए एक गैर-पतित वितरण में परिवर्तित हो जाता है {ए_i} और बी_i} फिर Z_iऐसा कहा जाता है कि वितरण इसके स्पर्शोन्मुख वितरण के रूप में है। यदि स्पर्शोन्मुख वितरण का वितरण कार्य F है, तो बड़े n के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन धारण करते हैं

$P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),$

$P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).$

यदि एक स्पर्शोन्मुख वितरण मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि यादृच्छिक चर के अनुक्रम का कोई एक परिणाम संख्याओं का एक अभिसरण अनुक्रम है। यह संभाव्यता वितरण का क्रम है जो अभिसरण करता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय

Main article: Central limit theorem

शायद एक स्पर्शोन्मुख वितरण के रूप में उत्पन्न होने वाला सबसे आम वितरण सामान्य वितरण है। विशेष रूप से, केंद्रीय सीमा प्रमेय एक उदाहरण प्रदान करता है जहां स्पर्शोन्मुख वितरण सामान्य वितरण है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय

कल्पना करना $\{X_{1},X_{2},\dots \}$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित का एक क्रम है|i.i.d. यादृच्छिक चर के साथ $\mathrm {E} [X_{i}]=\mu$ और $\operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$. होने देना $S_{n}$ का औसत हो $\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$. फिर ऐसे $n$ अनंत तक पहुंचता है, यादृच्छिक चर ${\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )$ एक सामान्य वितरण के वितरण में अभिसरण $N(0,\sigma ^{2})$:

केंद्रीय सीमा प्रमेय केवल एक स्पर्शोन्मुख वितरण देता है। प्रेक्षणों की परिमित संख्या के लिए सन्निकटन के रूप में, यह सामान्य वितरण के शिखर के करीब होने पर ही एक उचित सन्निकटन प्रदान करता है; पूंछ में खिंचाव के लिए इसे बहुत बड़ी संख्या में अवलोकन की आवश्यकता होती है।

स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता

Main article: Local asymptotic normality

स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सामान्यीकरण है। यह सांख्यिकीय मॉडल के अनुक्रम की एक संपत्ति है, जो पैरामीटर के पुनर्विक्रय के बाद, इस क्रम को सामान्य वितरण द्वारा असीमित रूप से अनुमानित करने की अनुमति देता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण जब स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता एक नियमित पैरामीट्रिक मॉडल से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित नमूने के मामले में होती है; यह सिर्फ केंद्रीय सीमा प्रमेय है।

बार्नडॉर्फ-नील्सन एंड कॉक्स स्पर्शोन्मुख सामान्यता की सीधी परिभाषा प्रदान करते हैं।

यह भी देखें

• स्पर्शोन्मुख विश्लेषण
• स्पर्शोन्मुख सिद्धांत (सांख्यिकी)
• डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय
• असतत बिंदुओं का घनत्व सीमित करना
• डेल्टा विधि