बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में बहुस्तरीय मोंटे कार्लो (MLMC) विधियाँ स्टोचैस्टिक सिमुलेशन में उत्पन्न होने वाले अपेक्षित मूल्यों की गणना के लिए कलन विधि हैं। मोंटे कार्लो विधियों की तरह, वे बार-बार सरल यादृच्छिक नमूने पर भरोसा करते हैं, लेकिन इन नमूनों को सटीकता के विभिन्न स्तरों पर लिया जाता है। MLMC विधियाँ कम सटीकता और इसी कम लागत के साथ अधिकांश नमूने लेकर मानक मोंटे कार्लो विधियों की कम्प्यूटेशनल लागत को बहुत कम कर सकती हैं, और केवल बहुत कम नमूने उच्च सटीकता और इसी उच्च लागत पर लिए जाते हैं।

लक्ष्य

बहुस्तरीय मोंटे कार्लो पद्धति का लक्ष्य अपेक्षित मूल्य का अनुमान लगाना है $\operatorname {E} [G]$ यादृच्छिक चर का $G$ यह एक स्टोकेस्टिक सिमुलेशन का आउटपुट है। मान लीजिए कि यह यादृच्छिक चर बिल्कुल अनुकरण नहीं किया जा सकता है, लेकिन सन्निकटन का एक क्रम है $G_{0},G_{1},\ldots ,G_{L}$ बढ़ती सटीकता के साथ, लेकिन बढ़ती लागत के साथ, जो कि अभिसरण करता है $G$ जैसा $L\rightarrow \infty$. बहुस्तरीय पद्धति का आधार दूरबीन राशि पहचान है,

$\operatorname {E} [G_{L}]=\operatorname {E} [G_{0}]+\sum _{\ell =1}^{L}\operatorname {E} [G_{\ell }-G_{\ell -1}],$

अपेक्षा ऑपरेटर की रैखिकता के कारण यह तुच्छ रूप से संतुष्ट है। हर एक उम्मीद $\operatorname {E} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]$ इसके बाद मोंटे कार्लो विधि द्वारा अनुमान लगाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप बहुस्तरीय मोंटे कार्लो विधि होती है। ध्यान दें कि अंतर का एक नमूना लेना $G_{\ell }-G_{\ell -1}$ स्तर पर $\ell$ दोनों के अनुकरण की आवश्यकता है $G_{\ell }$ और $G_{\ell -1}$.

एमएलएमसी विधि काम करती है अगर भिन्नताएं $\operatorname {V} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]\rightarrow 0$ जैसा $\ell \rightarrow \infty$, जो कि दोनों के मामले में होगा $G_{\ell }$ और $G_{\ell -1}$ लगभग एक ही यादृच्छिक चर $G$. केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा, इसका तात्पर्य है कि अंतर की अपेक्षा को सटीक रूप से अनुमानित करने के लिए किसी को कम और कम नमूनों की आवश्यकता होती है $G_{\ell }-G_{\ell -1}$ जैसा $\ell \rightarrow \infty$. इसलिए ज्यादातर सैंपल लेवल पर ही लिए जाएंगे $0$, जहां नमूने सस्ते हैं, और बेहतरीन स्तर पर बहुत कम नमूनों की आवश्यकता होगी $L$. इस अर्थ में, MLMC को एक पुनरावर्ती नियंत्रण भिन्न रणनीति के रूप में माना जा सकता है।

अनुप्रयोग

सही

MLMC के पहले आवेदन का श्रेय माइक जाइल्स को दिया जाता है, मोंटे कार्लो विकल्प मॉडल के लिए स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण (एसडीई) के संदर्भ में, हालांकि, पैरामीट्रिक एकीकरण के संदर्भ में हेनरिक के काम में पहले के निशान पाए जाते हैं। यहाँ, यादृच्छिक चर $G=f(X(T))$ अदायगी समारोह, और सन्निकटन के अनुक्रम के रूप में जाना जाता है $G_{\ell }$, $\ell =0,\ldots ,L$ नमूना पथ के सन्निकटन का उपयोग करें $X(t)$ समय कदम के साथ $h_{\ell }=2^{-\ell }T$.

अनिश्चितता परिमाणीकरण (यूक्यू) में समस्याओं के लिए एमएलएमसी का अनुप्रयोग अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है। इन समस्याओं का एक महत्वपूर्ण प्रोटोटाइपिकल उदाहरण आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) हैं जो स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण के साथ हैं। इस संदर्भ में, यादृच्छिक चर $G$ ब्याज की मात्रा के रूप में जाना जाता है, और सन्निकटन का क्रम अलग-अलग जाल आकारों के साथ पीडीई के विवेक से मेल खाता है।

एमएलएमसी अनुकरण के लिए एक एल्गोरिथ्म

एमएलएमसी सिमुलेशन के लिए एक सरल स्तर-अनुकूली एल्गोरिदम छद्म कोड में नीचे दिया गया है। $L\gets 0$ दोहराना

    स्तर पर वार्म-अप के नमूने लें $L$

सभी स्तरों पर नमूना प्रसरण की गणना करें $\ell =0,\ldots ,L$ नमूनों की इष्टतम संख्या को परिभाषित करें $N_{\ell }$ सभी स्तरों पर $\ell =0,\ldots ,L$ प्रत्येक स्तर पर अतिरिक्त नमूने लें $\ell$ के अनुसार $N_{\ell }$ अगर $L\geq 2$ तब

        अभिसरण के लिए परीक्षण
    अंत
    अगर नहीं मिला तो         

$L\gets L+1$ अंत

अभिसरण होने तक

एमएलएमसी का विस्तार

बहुस्तरीय मोंटे कार्लो पद्धति के हाल के विस्तार में मल्टी-इंडेक्स मोंटे कार्लो शामिल हैं, जहां शोधन की एक से अधिक दिशाओं पर विचार किया जाता है, क्वासी-मोंटे कार्लो विधि पद्धति के साथ एमएलएमसी का संयोजन।

यह भी देखें

• मोंटे कार्लो विधि
• वित्त में मोंटे कार्लो के तरीके
• वित्त में क्वासी-मोंटे कार्लो पद्धति
• अनिश्चितता मात्रा का ठहराव
• स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण