प्रसार मोंटे कार्लो

डिफ्यूजन मोंटे कार्लो (DMC) या डिफ्यूजन क्वांटम मोंटे कार्लो एक क्वांटम मोंटे कार्लो विधि है जो श्रोडिंगर समीकरण को हल करने के लिए ग्रीन के कार्य का उपयोग करती है। DMC संभावित रूप से संख्यात्मक रूप से सटीक है, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी क्वांटम प्रणाली के लिए दी गई त्रुटि के भीतर सटीक जमीनी ऊर्जा का पता लगा सकता है। जब वास्तव में गणना का प्रयास किया जाता है, तो पाया जाता है कि बोसॉन के लिए, एल्गोरिदम सिस्टम आकार के साथ बहुपद के रूप में स्केल करता है, लेकिन फ़र्मियन के लिए, डीएमसी सिस्टम आकार के साथ घातीय रूप से स्केल करता है। यह सटीक रूप से बड़े पैमाने पर DMC सिमुलेशन को fermions के लिए असंभव बना देता है; हालांकि, डीएमसी निश्चित-नोड सन्निकटन के रूप में जाना जाने वाला एक चतुर सन्निकटन नियोजित करता है, फिर भी बहुत सटीक परिणाम प्राप्त कर सकता है।

प्रोजेक्टर विधि

एल्गोरिथ्म को प्रेरित करने के लिए, आइए एक आयाम में कुछ क्षमता वाले कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण देखें:

$i{\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi (x,t).$

हम ऑपरेटर (भौतिकी) समीकरण के संदर्भ में इसे लिखकर संकेतन को थोड़ा सा संघनित कर सकते हैं

$H=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)$.

तो हमारे पास है

$i{\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=H\Psi (x,t),$

जहां हमें यह ध्यान रखना है $H$ एक संकारक है, साधारण संख्या या फलन नहीं। विशेष कार्य हैं, जिन्हें eigenfunction कहा जाता है, जिसके लिए $H\Psi (x)=E\Psi (x)$, कहाँ $E$ एक संख्या है। ये कार्य विशेष हैं क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कहां की कार्रवाई का मूल्यांकन करते हैं $H$तरंग क्रिया पर ऑपरेटर, हमें हमेशा एक ही नंबर मिलता है $E$. इन कार्यों को स्थिर राज्य कहा जाता है, क्योंकि समय किसी भी बिंदु पर व्युत्पन्न होता है $x$ हमेशा समान होता है, इसलिए तरंग फलन का आयाम समय के साथ कभी नहीं बदलता है। चूंकि एक तरंग समारोह का समग्र चरण मापने योग्य नहीं है, इसलिए सिस्टम समय पर नहीं बदलता है।

हम आम तौर पर सबसे कम ऊर्जा eigenvalue, जमीनी स्थिति के साथ तरंग फ़ंक्शन में रुचि रखते हैं। हम श्रोडिंगर समीकरण का थोड़ा अलग संस्करण लिखने जा रहे हैं जिसमें समान ऊर्जा आइगेनवेल्यू होगा, लेकिन, दोलनशील होने के बजाय, यह अभिसारी होगा। यह रहा:

$-{\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=(H-E_{0})\Psi (x,t)$.

हमने काल्पनिक संख्या को व्युत्पन्न समय से हटा दिया है और एक निरंतर ऑफ़सेट में जोड़ा है $E_{0}$, जो जमीनी राज्य ऊर्जा है। हम वास्तव में जमीनी स्थिति ऊर्जा को नहीं जानते हैं, लेकिन इसे आत्म-निरंतरता से निर्धारित करने का एक तरीका होगा जिसे हम बाद में पेश करेंगे। हमारे संशोधित समीकरण (कुछ लोग इसे काल्पनिक-समय श्रोडिंगर समीकरण कहते हैं) में कुछ अच्छे गुण हैं। ध्यान देने वाली पहली बात यह है कि अगर हम ग्राउंड स्टेट वेव फंक्शन का अनुमान लगाते हैं, तो $H\Phi _{0}(x)=E_{0}\Phi _{0}(x)$ और समय व्युत्पन्न शून्य है। अब मान लीजिए कि हम दूसरे वेव फंक्शन से शुरू करते हैं ($\Psi$), जो जमीनी अवस्था नहीं है, लेकिन इसके लिए ऑर्थोगोनल नहीं है। तब हम इसे eigenfunctions के रैखिक योग के रूप में लिख सकते हैं:

$\Psi =c_{0}\Phi _{0}+\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}\Phi _{i}$

चूँकि यह एक रेखीय अवकल समीकरण है, हम प्रत्येक भाग की क्रिया को अलग-अलग देख सकते हैं। हमने पहले ही यह तय कर लिया है $\Phi _{0}$ स्थिर है। मान लीजिए हम लेते हैं $\Phi _{1}$. तब से $\Phi _{0}$ निम्नतम-ऊर्जा eigenfunction है, का सहयोगी eigenvalue $\Phi _{1}$ संपत्ति को संतुष्ट करता है $E_{1}>E_{0}$. इस प्रकार समय व्युत्पन्न $c_{1}$ ऋणात्मक है, और अंततः शून्य हो जाएगा, हमारे पास केवल मूल स्थिति रह जाएगी। यह अवलोकन हमें निर्धारित करने का एक तरीका भी देता है $E_{0}$. जब हम समय के माध्यम से प्रचार करते हैं तो हम तरंग क्रिया के आयाम को देखते हैं। यदि यह बढ़ता है, तो ऑफसेट ऊर्जा का अनुमान कम करें। यदि आयाम कम हो जाता है, तो ऑफसेट ऊर्जा का अनुमान बढ़ा दें।

स्टोकेस्टिक कार्यान्वयन

अब हमारे पास एक समीकरण है कि, जैसा कि हम इसे समय पर आगे बढ़ाते हैं और समायोजित करते हैं $E_{0}$ उचित रूप से, हम पाते हैं किसी दिए गए हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) की जमीनी स्थिति। शास्त्रीय यांत्रिकी की तुलना में यह अभी भी एक कठिन समस्या है, हालांकि, इसके बजाय कणों की एकल स्थिति का प्रचार करते हुए, हमें संपूर्ण कार्यों का प्रचार करना चाहिए। शास्त्रीय यांत्रिकी में, हम अनुकरण कर सकते हैं सेटिंग द्वारा कणों की गति $x(t+\tau )=x(t)+\tau v(t)+0.5F(t)\tau ^{2}$, अगर हम मानते हैं कि समय अवधि के दौरान बल स्थिर है $\tau$. काल्पनिक समय श्रोडिंगर समीकरण के लिए, इसके बजाय, हम ग्रीन के फ़ंक्शन नामक एक विशेष फ़ंक्शन के साथ कनवल्शन इंटीग्रल का उपयोग करके समय में आगे बढ़ते हैं। तो हम प्राप्त करते हैं $\Psi (x,t+\tau )=\int G(x,x',\tau )\Psi (x',t)dx'$. इसी तरह शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए, हम केवल समय के छोटे टुकड़ों के लिए प्रचार कर सकते हैं; अन्यथा ग्रीन का कार्य गलत है। जैसे-जैसे कणों की संख्या बढ़ती है, अभिन्न की विमीयता भी बढ़ती जाती है, क्योंकि हमें सभी कणों के सभी निर्देशांकों को एकीकृत करना पड़ता है। हम इन इंटीग्रल्स को मोंटे कार्लो एकीकरण द्वारा कर सकते हैं।

संदर्भ

• Grimm, R.C; Storer, R.G (1971). "Monte-Carlo solution of Schrödinger's equation". Journal of Computational Physics. 7 (1): 134–156. Bibcode:1971JCoPh...7..134G. doi:10.1016/0021-9991(71)90054-4.
• Anderson, James B. (1975). "A random-walk simulation of the Schrödinger equation: H+3". The Journal of Chemical Physics. 63 (4): 1499. Bibcode:1975JChPh..63.1499A. doi:10.1063/1.431514.
• B.L. Hammond; W.A Lester, Jr; P.J. Reynolds (1994). Monte Carlo Methods in Ab Initio Quantum Chemistry. World Scientific Lecture and Course Notes in Chemistry. Vol. 1. World Scientific. doi:10.1142/1170. ISBN 978-981-4317-24-5.