ध्रुवीय वृत्त (ज्यामिति)

त्रिभुज ABC का ध्रुवीय वृत्त (लाल)।

ध्रुवीय वृत्त (d), नौ बिंदु वृत्त (t), परिवृत्त (e), स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिवृत्त (s)

ज्यामिति में, किसी त्रिभुज का ध्रुवीय वृत्त वह वृत्त होता है जिसका केंद्र त्रिभुज का लंबकेंद्र होता है और जिसका वर्ग त्रिज्या होता है:

${\begin{aligned}r^{2}&=HA\times HD=HB\times HE=HC\times HF\\&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C=4R^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\end{aligned}}$

जहां A, B, C त्रिभुज के दोनों शीर्षों और उन शीर्षों पर कोण के माप को दर्शाते हैं, H लंबकेन्द्र (त्रिकोण की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन) है, D, E, F शीर्षों A, B, C से ऊंचाईयों के कोने हैं क्रमशः R त्रिभुज की परित्रिज्या (इसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या) है, और a, b, c क्रमशः शीर्ष A, B, C के विपरीत त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं।

त्रिज्या सूत्र के पहले भाग इस तथ्य को प्रतिबिंबित करते हैं कि लंबकेन्द्र ऊंचाई को समान उत्पादों के खंड जोड़े में विभाजित करता है। त्रिज्या के त्रिकोणमितीय सूत्र से पता चलता है कि ध्रुवीय वृत्त का वास्तविक अस्तित्व केवल तभी होता है जब त्रिभुज अधिक कोण हो, इसलिए इसका एक कोण अधिक कोण होता है और इसलिए इसमें एक नकारात्मक कोसाइन होता है।

गुण

ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली में दो त्रिभुजों के कोई भी दो ध्रुवीय वृत्त ओर्थोगोनल होते हैं।

पूर्ण चतुर्भुज के त्रिभुजों के ध्रुवीय वृत्त एक समाक्षीय वृत्त प्रणाली बनाते हैं।

त्रिभुज का परिवृत्त, उसका नौ-बिंदु वाला वृत्त, उसका ध्रुवीय वृत्त और उसके स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिवृत्त समाक्षीय होते हैं।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Polar Circle". MathWorld.