प्रतिवर्ती समापन

गणित में, एक सेट (गणित) X पर द्विआधारी संबंध R का रिफ्लेक्सिव क्लोजर X पर सबसे छोटा प्रतिवर्ती संबंध होता है जिसमें R होता है।

उदाहरण के लिए, यदि X अलग-अलग संख्याओं का एक सेट है और x R y का अर्थ है x y से कम है, तो R का रिफ्लेक्सिव क्लोजर है संबंध x y से कम या उसके बराबर है।

परिभाषा

समुच्चय X पर संबंध R का प्रतिवर्ती समापन S द्वारा दिया जाता है

$S=R\cup \left\{(x,x):x\in X\right\}$

अंग्रेजी में, आर का रिफ्लेक्सिव क्लोजर एक्स पर पहचान संबंध के साथ आर का मिलन है।

उदाहरण

उदाहरण के तौर पर, यदि

$X=\left\{1,2,3,4\right\}$

$R=\left\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\right\}$

फिर रिश्ता $R$ यह पहले से ही अपने आप में रिफ्लेक्सिव है, इसलिए यह इसके रिफ्लेक्सिव क्लोजर से अलग नहीं है।

हालाँकि, यदि कोई जोड़ा अंदर है $R$ अनुपस्थित था, इसे रिफ्लेक्सिव क्लोजर के लिए डाला जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि एक ही सेट पर $X$

$R=\left\{(1,1),(2,2),(4,4)\right\}$

तब रिफ्लेक्सिव क्लोजर है

$S=R\cup \left\{(x,x):x\in X\right\}=\left\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\right\}.$

यह भी देखें

• सकर्मक समापन
• सममित समापन

संदर्भ

• Franz Baader and Tobias Nipkow, Term Rewriting and All That, Cambridge University Press, 1998, p. 8