परिमित अवयव

ऑर्डर सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के कॉम्पैक्ट तत्व या परिमित तत्व वे तत्व होते हैं जिन्हें किसी भी गैर-रिक्त निर्देशित सेट के सर्वोच्च द्वारा शामिल नहीं किया जा सकता है जिसमें पहले से ही कॉम्पैक्ट तत्व के ऊपर सदस्य शामिल नहीं होते हैं। कॉम्पैक्टनेस की यह धारणा एक साथ सेट सिद्धांत में परिमित सेट, टोपोलॉजी में सघन स्थान और बीजगणित में परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की धारणाओं को सामान्य बनाती है। (गणित में सघनता की अन्य धारणाएँ भी हैं।)

औपचारिक परिभाषा

आंशिक रूप से क्रमित सेट (P,≤) में एक तत्व c को कॉम्पैक्ट (या परिमित) कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से एक को संतुष्ट करता है:

• पी के प्रत्येक निर्देशित सेट डी के लिए, यदि डी में सर्वोच्च सुपर डी और सी ≤ सुपर डी है तो डी के कुछ तत्व डी के लिए सी ≤ डी है।
• P के प्रत्येक आदर्श (आदेश सिद्धांत) I के लिए, यदि I के पास सर्वोच्च समर्थन I और c ≤ समर्थन I है तो c, I का एक तत्व है।

यदि पोसेट पी अतिरिक्त रूप से एक अर्ध-लेटेक्स|जॉइन-सेमिलैटिस है (यानी, यदि इसमें बाइनरी सुप्रीमा है) तो ये स्थितियाँ निम्नलिखित कथन के बराबर हैं:

• P के प्रत्येक उपसमुच्चय S के लिए, यदि S का एक सर्वोच्च सुपर S है और c ≤ सुपर S है, तो S के कुछ परिमित उपसमुच्चय T के लिए c ≤ सुपर T है।

विशेष रूप से, यदि c = सुपर S, तो c, S के एक परिमित उपसमुच्चय का सर्वोच्च है।

इन समतुल्यताओं को शामिल अवधारणाओं की परिभाषाओं से आसानी से सत्यापित किया जाता है। जॉइन-सेमिलैटिस के मामले में, किसी भी सेट को परिमित (गैर-खाली) सुप्रीमा के तहत बंद करके उसी सुप्रीम के साथ एक निर्देशित सेट में बदला जा सकता है।

निर्देशित पूर्ण आंशिक आदेशों या पूर्ण लैटिस पर विचार करते समय निर्दिष्ट सुप्रीमा मौजूद अतिरिक्त आवश्यकताओं को निश्चित रूप से हटाया जा सकता है। एक जॉइन-सेमिलैटिस जिसे पूर्ण रूप से निर्देशित किया जाता है वह लगभग एक पूर्ण जाली है (संभवतः कम से कम तत्व की कमी है) - विवरण के लिए पूर्णता (ऑर्डर सिद्धांत) देखें।

उदाहरण

• सबसेट बुनियादी उदाहरण उपसमुच्चय द्वारा क्रमित कुछ सेट ए के सत्ता स्थापित पर विचार करके प्राप्त किया जाता है। इस पूर्ण जाली के भीतर, कॉम्पैक्ट तत्व बिल्कुल ए के परिमित सेट हैं। यह परिमित तत्व नाम को उचित ठहराता है।
• कॉम्पैक्ट शब्द कॉम्पैक्ट सेट | (टोपोलॉजिकल रूप से) टोपोलॉजिकल स्पेस टी के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की परिभाषा से प्रेरित है। एक सेट वाई कॉम्पैक्ट है यदि खुले सेट एस के प्रत्येक संग्रह के लिए, यदि एस पर संघ में वाई को उपसमुच्चय के रूप में शामिल किया जाता है, तो Y को S के एक परिमित उपसंग्रह के संघ के उपसमुच्चय के रूप में शामिल किया गया है। T के पावर सेट को उपसमुच्चय समावेशन क्रम के साथ एक पूर्ण जाली के रूप में ध्यान में रखते हुए, जहां सेट के संग्रह का सर्वोच्च उनके संघ द्वारा दिया जाता है, के लिए टोपोलॉजिकल स्थिति कॉम्पैक्टनेस जॉइन-सेमिलैटिसेस में कॉम्पैक्टनेस की स्थिति की नकल करती है, लेकिन खुलेपन की अतिरिक्त आवश्यकता के लिए।
• यदि यह मौजूद है, तो पोसेट का सबसे बड़ा और सबसे छोटा तत्व हमेशा कॉम्पैक्ट होता है। ऐसा हो सकता है कि यह एकमात्र कॉम्पैक्ट तत्व है, जैसा कि इकाई अंतराल [0,1] (वास्तविक संख्याओं से विरासत में मिले मानक क्रम के साथ) के उदाहरण से पता चलता है।
• जाली का प्रत्येक जॉइन-प्राइम|पूरी तरह से जॉइन-प्राइम तत्व कॉम्पैक्ट होता है।

बीजगणितीय मुद्राएँ

एक पोसेट जिसमें प्रत्येक तत्व अपने नीचे के कॉम्पैक्ट तत्वों का सर्वोच्च होता है, बीजगणितीय पोसेट कहलाता है। ऐसे पॉसेट जो पूर्ण आंशिक आदेशों को निर्देशित करते हैं, डोमेन सिद्धांत में बहुत उपयोग किए जाते हैं।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामले के रूप में, एक बीजगणितीय जाली एक पूर्ण जाली एल है जहां एल का प्रत्येक तत्व एक्स एक्स के नीचे कॉम्पैक्ट तत्वों का सर्वोच्च है।

एक विशिष्ट उदाहरण (जो बीजीय नाम के लिए प्रेरणा के रूप में कार्य करता है) निम्नलिखित है:

किसी भी बीजगणित ए के लिए (उदाहरण के लिए, एक समूह, एक अंगूठी, एक क्षेत्र, एक जाली, आदि; या यहां तक ​​​​कि बिना किसी ऑपरेशन के एक मात्र सेट), उप (ए) को ए के सभी उपसंरचनाओं का सेट होने दें, यानी, A के सभी उपसमुच्चय जो A के सभी संक्रियाओं (समूह जोड़, वलय जोड़ और गुणन, आदि) के अंतर्गत बंद हैं। यहां सबस्ट्रक्चर की धारणा में बीजगणित ए में कोई शून्य संचालन नहीं होने की स्थिति में खाली सबस्ट्रक्चर शामिल है।

तब:

• सेट समावेशन द्वारा क्रमित सेट सब(ए), एक जाली है।
• Sub(A) का सबसे बड़ा तत्व समुच्चय A ही है।
• उप(ए) में किसी भी एस, टी के लिए, एस और टी की सबसे बड़ी निचली सीमा एस और टी का सेट सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन है; सबसे छोटी ऊपरी सीमा एस और टी के मिलन से उत्पन्न उपबीजगणित है।
• समुच्चय उप(ए) एक पूर्ण जाली भी है। उपसंरचनाओं के किसी भी परिवार की सबसे बड़ी निचली सीमा उनका प्रतिच्छेदन है (या यदि परिवार खाली है तो ए)।
• उप(ए) के सघन तत्व बिल्कुल ए की सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसंरचनाएं हैं।
• प्रत्येक उपसंरचना अपनी अंतिम रूप से उत्पन्न उपसंरचनाओं का संघ है; इसलिए Sub(A) एक बीजगणितीय जालक है।

इसके अलावा, एक प्रकार का व्युत्क्रम माना जाता है: प्रत्येक बीजगणितीय जाली कुछ बीजगणित ए के लिए उप (ए) के लिए समरूपता है।

एक और बीजगणितीय जाली है जो सार्वभौमिक बीजगणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है: प्रत्येक बीजगणित के लिए ए हम Con(A) को A पर सभी सर्वांगसम संबंधों का समुच्चय मानते हैं। A पर प्रत्येक सर्वांगसमता उत्पाद बीजगणित AxA का एक उपबीजगणित है, इसलिए Con(A) ⊆ Sub(AxA)। फिर से हमारे पास है

• Con(A), सेट समावेशन द्वारा आदेशित, एक जाली है।
• Con(A) का सबसे बड़ा तत्व समुच्चय AxA है, जो स्थिर समरूपता के अनुरूप सर्वांगसमता है। सबसे छोटी सर्वांगसमता AxA का विकर्ण है, जो समरूपता के अनुरूप है।
• Con(A) एक पूर्ण जाली है।
• Con(A) के सघन तत्व बिल्कुल सूक्ष्म रूप से उत्पन्न सर्वांगसमताएं हैं।
• Con(A) एक बीजगणितीय जालक है।

फिर से एक उलटा है: जॉर्ज ग्रेट्ज़र और ई. टी. श्मिट के एक प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बीजगणितीय जाली कुछ बीजगणित ए के लिए कॉन (ए) के लिए समाकृतिकता है।

अनुप्रयोग

डोमेन सिद्धांत नामक सिमेंटिक दृष्टिकोण में कंप्यूटर विज्ञान में कॉम्पैक्ट तत्व महत्वपूर्ण हैं, जहां उन्हें एक प्रकार का आदिम तत्व प्रमेय माना जाता है: कॉम्पैक्ट तत्वों द्वारा दर्शाई गई जानकारी किसी भी अनुमान से प्राप्त नहीं की जा सकती है जिसमें पहले से ही यह ज्ञान शामिल नहीं है। कॉम्पैक्ट तत्वों का अनुमान उनके ठीक नीचे के तत्वों द्वारा नहीं लगाया जा सकता है। दूसरी ओर, ऐसा हो सकता है कि सभी गैर-कॉम्पैक्ट तत्वों को कॉम्पैक्ट तत्वों के निर्देशित सर्वोच्चता के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यह एक वांछनीय स्थिति है, क्योंकि कॉम्पैक्ट तत्वों का सेट अक्सर मूल पोसेट से छोटा होता है - ऊपर दिए गए उदाहरण इसे स्पष्ट करते हैं।

साहित्य

ऑर्डर सिद्धांत और डोमेन सिद्धांत के लिए दिया गया साहित्य देखें।

श्रेणी:आदेश सिद्धांत