आंतरिक समुच्चय

गणितीय तर्क में, विशेष रूप से मॉडल सिद्धांत और गैरमानक विश्लेषण में, एक आंतरिक सेट एक सेट होता है जो एक मॉडल का सदस्य होता है।

आंतरिक सेट की अवधारणा स्थानांतरण सिद्धांत तैयार करने में एक उपकरण है, जो वास्तविक संख्या संख्या आर के गुणों और एक बड़े क्षेत्र (गणित) के गुणों के बीच तार्किक संबंध से संबंधित है *आर जिसे अतियथार्थवादी संख्या कहा जाता है। फ़ील्ड *आर में, विशेष रूप से, असीम रूप से छोटी संख्याएं शामिल हैं, जो उनके उपयोग के लिए एक कठोर गणितीय औचित्य प्रदान करती हैं। मोटे तौर पर कहें तो, विचार यह है कि वास्तविक विश्लेषण को गणितीय तर्क की एक उपयुक्त भाषा में व्यक्त किया जाए, और फिर बताया जाए कि यह भाषा *R पर भी समान रूप से लागू होती है। यह संभव हो जाता है क्योंकि सेट-सैद्धांतिक स्तर पर, ऐसी भाषा में प्रस्तावों को सभी सेटों के बजाय केवल आंतरिक सेटों पर लागू करने के लिए व्याख्या की जाती है (ध्यान दें कि भाषा शब्द का उपयोग उपरोक्त में एक ढीले अर्थ में किया गया है)।

एडवर्ड नेल्सन का आंतरिक सेट सिद्धांत गैर-मानक विश्लेषण के लिए एक स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण है (रचनात्मक गैर-मानक विश्लेषण पर पामग्रेन भी देखें)। गैरमानक विश्लेषण के पारंपरिक अनंत खाते भी आंतरिक सेट की अवधारणा का उपयोग करते हैं।

अल्ट्रापावर निर्माण में आंतरिक सेट

अनुक्रमों के समतुल्य वर्गों के रूप में हाइपररियल संख्याओं के अल्ट्रापावर निर्माण से संबंधित $\langle u_{n}\rangle$ वास्तविक का, एक आंतरिक उपसमुच्चय [ए_n] का *'R' वास्तविक समुच्चयों के अनुक्रम द्वारा परिभाषित एक है $\langle A_{n}\rangle$, जहां एक अतियथार्थ है $[u_{n}]$ कहा जाता है कि यह सेट से संबंधित है $[A_{n}]\subseteq \;^{*}\!{\mathbb {R} }$ यदि और केवल यदि सूचकांकों का समुच्चय n ऐसा है $u_{n}\in A_{n}$, *आर के निर्माण में प्रयुक्त अल्ट्राफ़िल्टर का एक सदस्य है।

अधिक सामान्यतः, एक आंतरिक इकाई एक वास्तविक इकाई के प्राकृतिक विस्तार का सदस्य है। इस प्रकार, *R का प्रत्येक तत्व आंतरिक है; *R का एक उपसमुच्चय आंतरिक है यदि और केवल तभी जब वह प्राकृतिक विस्तार का सदस्य हो ${}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ पावर सेट का ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ आर का; वगैरह।

वास्तविकता के आंतरिक उपसमुच्चय

• R का प्रत्येक आंतरिक उपसमुच्चय जो (की एम्बेडेड प्रति) R का उपसमुच्चय है, आवश्यक रूप से परिमित है (प्रमेय 3.9.1 गोल्डब्लैट, 1998 देखें)। दूसरे शब्दों में, हाइपररियल्स के प्रत्येक आंतरिक अनंत उपसमुच्चय में आवश्यक रूप से गैरमानक तत्व होते हैं।

यह भी देखें

• मानक भाग फ़ंक्शन
• अधिरचना (गणित)

संदर्भ

• Goldblatt, Robert. Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis. Graduate Texts in Mathematics, 188. Springer-Verlag, New York, 1998.
• Abraham Robinson (1996), Non-standard analysis, Princeton landmarks in mathematics and physics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3