प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन

"Π(x)" redirects here. For गामा फ़ंक्शन का प्रकार, see गामा फ़ंक्शन § पाई फ़ंक्शन.

गणित में, अभाज्य-गिनती फलन किसी वास्तविक संख्या x से कम या उसके समान अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करने वाला फलन (गणित) है। इसे π(x) (संख्या π से असंबंधित) द्वारा दर्शाया जाता है।

मोबियस फलन है। इसके लिए बाद वाली श्रृंखला को ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। क्योंकि सभी $x>0$ के लिए$\log(x)<x$, यह श्रृंखला $e^{x}$ की श्रृंखला की तुलना में सभी सकारात्मक x के लिए अभिसरण करती है। गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन $\log x^{\rho }$ के रूप में नहीं किंतु $\rho \log x$ के रूप में किया जाना चाहिए।

के मूल्य π(n) पहले 60 धनात्मक पूर्णांकों के लिए

विकास दर

Main article: अभाज्य संख्या प्रमेय

संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि प्राइम-काउंटिंग फलन का एसिम्प्टोटिक विश्लेषण है। इसका अनुमान 18वीं शताब्दी के अंत में कार्ल फ्रेडरिक गॉस और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा लगाया गया था।

$${\frac {x}{\log(x)}}$$

जहां लॉग प्राकृतिक लघुगणक है, इस अर्थ में

$$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.$$

यह कथन अभाज्य संख्या प्रमेय है। समतुल्य कथन है

$$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1$$

जहां ली लघुगणकीय अभिन्न फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में जैक्स हैडामर्ड और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पौसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा प्रारंभ किए गए रीमैन ज़ेटा फलन के गुणों का उपयोग करके। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फलन या जटिल विश्लेषण का उपयोग 1948 के आसपास एटले सेलबर्ग और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग स्वतंत्र रूप से) द्वारा किया गया था।

अधिक स्पष्ट अनुमान

1899 में, चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन|डे ला वेली पॉसिन ने सिद्ध किया गया कि

$$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty$$

कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए a. यहाँ, O(...) बड़ा Oअंकन है।

$\pi (x)\!$ का अधिक स्पष्ट अनुमान! अब ज्ञात हो गए हैं. उदाहरण के लिए, 2002 में केविन फोर्ड ने यह सिद्ध किया था

$$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).$$

मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने $\pi (x)$ और $\operatorname {li} (x)$: के बीच अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा सिद्ध की है।

$${\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)$$

के लिए $x\geq 229$.

$x$ के मानों के लिए जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, $\operatorname {li} (x)$ $\pi (x)$ से बड़ा है। चूँकि ,$\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ को अनंत बार संकेत बदलने के लिए जाना जाता है। इस पर चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।

स्पष्ट रूप

$x>1$ के लिए मान लीजिए कि $\pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2$ जब $x$ एक अभाज्य संख्या है, और अन्यथा $\pi _{0}(x)=\pi (x)$ बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम ऑन द नंबर ऑफ़ प्राइम्स लेस दैन अ गिवेन मैग्निट्यूड में सिद्ध किया कि $\pi _{0}(x)$समान है

$$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),$$

कहाँ

$$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n}),$$

μ(n) मोबियस फलन है, li(x) लॉगरिदमिक इंटीग्रल फलन है, ρ रीमैन ज़ेटा फलन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और li(x^ρ/n) का मूल्यांकन ब्रांच कट के साथ नहीं किया जाता है, चूँकि इसे Ei(ρ/n log x) के रूप में माना जाता है x) जहां Ei(x) घातांकीय समाकलन है। यदि तुच्छ शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल रीमैन ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य ρ पर लिया जाता है, तो $\pi _{0}(x)$ का अनुमान लगाया जा सकता है

$$\pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.$$

रीमैन परिकल्पना से पता चलता है कि ऐसा प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य Re(s) = 1/2 के अनुदिश होता है

π(x), x / log x, और li(x) की तालिका

तालिका दर्शाती है कि ये तीनों कैसे कार्य करते हैं π(x), x / log x और li(x) की तुलना 10 की घात पर करें। यह भी देखें,

x	π(x)	π(x) − x / log x	li(x) − π(x)	x / π(x)	x / log x  % Error
10	4	0	2	2.500	-8.57%
102	25	3	5	4.000	13.14%
103	168	23	10	5.952	13.83%
104	1,229	143	17	8.137	11.66%
105	9,592	906	38	10.425	9.45%
106	78,498	6,116	130	12.739	7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	1.58%
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	1.52%

प्राइम-काउंटिंग फलन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़ π(x) इसके दो सन्निकटनों, x/log x और Li(x)। जैसे-जैसे x बढ़ता है (ध्यान दें कि x अक्ष लघुगणकीय है), दोनों अनुपात 1 की ओर बढ़ते हैं। x/log x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से परिवर्तित होता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, π(x) कॉलम अनुक्रम है OEIS: A006880, π(x) − x/log x अनुक्रम है OEIS: A057835, और li(x) − π(x) अनुक्रम है OEIS: A057752.

π(10²⁴) के मान की गणना मूल रूप से जे. ब्यूथे, जे. फ्रांके, ए. जोस्ट और टी. क्लेनजंग ने रीमैन परिकल्पना को मानते हुए की थी। इसे बाद में डी. जे. प्लैट द्वारा एक गणना में बिना नियम सत्यापित किया गया। π(10²⁵) का मान जे. ब्यूथे, जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग के कारण है। π(10²⁶) के मान की गणना डी.बी. स्टेपल द्वारा की गई थी। इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।

10²⁷ का मान की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।

10²⁸ का मान की घोषणा 2020 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।

10²⁹ का मान की घोषणा 2022 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।

मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम π(x)

$\pi (x)$ को खोजने का एक आसान विधि यदि $x$ बहुत बड़ा नहीं है, तो एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके $x$ से कम या उसके समान अभाज्य प्राप्त करें और फिर उन्हें गिनना है.

$\pi (x)$ को खोजने का एक अधिक विस्तृत विधि लीजेंड्रे (समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया $x$, यदि $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो $x$ से कम या उसके समान पूर्णांकों की संख्या जो किसी भी $p_{i}$ से विभाज्य नहीं है

$\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots$

जहां $\lfloor {x}\rfloor$ फ्लोर फलन को दर्शाता है)। इसलिए यह संख्या समान है

$\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1$

जब संख्याएँ $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$, $x$ के वर्गमूल से कम या उसके समान की अभाज्य संख्याएँ हों।

मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम

Main article: मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम

1870 और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की एक श्रृंखला में, अर्न्स्ट मीसेल ने मूल्यांकन करने का एक व्यावहारिक संयोजनात्मक विधि बताया (और उपयोग किया) $\ \pi (x)\ :$ मान लीजिए कि $\ p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\$,$\ n\$पहले $\Phi (m,n)$ अभाज्य हैं और निरूपित करते हैं $\Phi (m,n)$ से प्राकृतिक संख्याओं की संख्या $\ m\$ से अधिक नहीं है जो किसी भी $\ p_{i}\$ के लिए किसी भी $\ i\leq n\ .$ से विभाज्य नहीं हैं

$\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).$

एक प्राकृत संख्या दी गई है $\ m\ ,$यदि $\ n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)\$ और यदि$\ \mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n\ ,$ है तो

$\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)\ .$

इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मीसेल ने $\ \pi (x)\ ,$ के लिए $\ x\$ की गणना 5×10⁵, 10⁶, 10⁷, और 10⁸ के समान्य की।

1959 में, डेरिक हेनरी लेहमर ने मीसेल की पद्धति का विस्तार और सरलीकरण किया। परिभाषित करें, वास्तविक $\ m\$ के लिए और प्राकृतिक संख्याओं $\ n\$और $\ k\ ,$ के लिए $\ P_{k}(m,n)\$ बिल्कुल k अभाज्य कारकों के साथ m से अधिक नहीं होने वाली संख्याओं की संख्या, सभी $\ p_{n}\ .$से अधिक इसके अतिरिक्त सेट करें $\ P_{0}(m,n)=1\ .$ फिर

$\ \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)\$

जहां योग में वास्तव में केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य पद होते हैं। होने देना $\ y\$ पूर्णांक को इस प्रकार निरूपित करें $\ {\sqrt[{3}]{m\ }}\leq y\leq {\sqrt {m\ }}\ ,$ और सेट करें $\ n=\pi (y)\ .$ तब $\ P_{1}(m,n)=\pi (m)-n\$ और $\ P_{k}(m,n)=0\$ जब $\ k\geq 3\ .$ इसलिए,

$\ \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)\$

की गणना $\ P_{2}(m,n)\$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

$P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m\ }}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)\ ,$

जहां योग अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

दूसरी ओर, की गणना $\ \Phi (m,n)\$ निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है:

1. $\ \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor \$
2. $\ \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)\$

इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।

अपनी विधि और आईबीएम 701 का उपयोग करके, लेहमर $\ \pi \left(10^{9}\right)\$के सही मान की गणना करने में सक्षम था और $\pi \left(10^{10}\right)$ के सही मान से चूक गया 1 से है .इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।

अन्य अभाज्य-गणना कार्य

अन्य प्राइम-काउंटिंग कार्य का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि उनके साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है।

रीमैन का प्राइम-पॉवर गिनती फ़ंक्शन

रीमैन के प्राइम-पावर काउंटिंग फलन को सामान्यतः $\ \Pi _{0}(x)\$ $\ J_{0}(x)\ .$के रूप में दर्शाया जाता है, इसमें प्राइम पावर $\ {\tfrac {1}{\ n\ }}\$ पर $\ p^{n}\ ,$ की छलांग होती है और यह $\ \pi (x)\ .$ के असंततता पर दोनों पक्षों के बीच आधे रास्ते का मान लेता है, अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि तब फलन को व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $\ \Pi _{0}(x)\$ द्वारा

$\ \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}~+~\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\$

जहां चर p प्रत्येक योग में निर्दिष्ट सीमाओं के अंदर सभी अभाज्य संख्याओं पर सीमा होती है।

हम भी लिख सकते हैं

$\ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\$

जहाँ $\ \Lambda (n)\$ मैंगोल्ड्ट फलन द्वारा है और

$\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ \pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )\ }{2}}\ .$

मोबियस व्युत्क्रम सूत्र तब देता है

$\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ \mu (n)\ }{n}}\ \Pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ ,$

जहाँ $\ \mu (n)\$ मोबियस फलन है।

रीमैन ज़ेटा फलन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फलन के बीच संबंध को जानना $\Lambda$, और हमारे पास उपस्थित पेरोन सूत्र का उपयोग कर रहे हैं

$\ \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\ \mathrm {d} x\$

चेबीशेव का कार्य

चेबीशेव कार्य log(p)द्वारा अभाज्य संख्याओं या अभाज्य शक्तियों pⁿ का वजन करता है:

$\ \theta (x)=\sum _{p\leq x}\log p\$

$\ \psi (x)\ =\ \sum _{p^{n}\leq x}\log p\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\theta {\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ =\ \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .$

के लिए $x\geq 2$,

$\ \vartheta (x)=\pi (x)\ \log x\ -\ \int _{2}^{x}{\frac {\ \pi (t)\ }{t}}\ \mathrm {d} t\$

और

$\ \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\ \log x\ }}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{\ t\ \log ^{2}(t)\ }}\ \mathrm {d} t\ .$

अभाज्य-गणना कार्यों के लिए सूत्र

अभाज्य-गणना कार्यों के सूत्र दो प्रकार के होते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र सबसे पहले अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उपयोग किए गए थे। वे रीमैन और हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट के काम से उपजे हैं, और सामान्यतः स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन) के रूप में जाने जाते हैं।

हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),$

कहाँ

$\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.$

यहां ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में रीमैन ज़ेटा फलन के शून्य हैं, जहां ρ का वास्तविक भाग शून्य और के बीच है। सूत्र से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सनियम रूप से अभिसरण है, और इसे काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम उपप्रकार देता है।

के लिए $\Pi _{0}(x)$ हमारे पास अधिक जटिल सूत्र है

$\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.$

ज़ेटा फलन के पहले 200 गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करते हुए रीमैन का स्पष्ट सूत्र

पुनः, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य हैं। अभिन्न तुच्छ शून्यों पर श्रृंखला के समान है:

$\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{-2m})}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} (x^{-2m})$

पहला पद li(x) सामान्य लघुगणकीय अभिन्न फलन है; दूसरे पद में अभिव्यक्ति li(x^ρ) को Ei(ρ log x) के रूप में माना जाना चाहिए, जहां Ei सकारात्मक वास्तविकताओं के साथ शाखा कट के साथ नकारात्मक वास्तविकताओं से जटिल विमान तक घातीय अभिन्न फलन की विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

इस प्रकार, मोबियस व्युत्क्रम सूत्र हमें देता है

$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-\sum _{m}\operatorname {R} (x^{-2m})$

x > 1 के लिए मान्य, जहाँ

$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}$

रीमैन का आर-फलन है और μ(n) मोबियस फलन है। इसके लिए बाद वाली श्रृंखला को ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। क्योंकि सभी $x>0$ के लिए$\log(x)<x$, यह श्रृंखला $e^{x}$ की श्रृंखला की तुलना में सभी सकारात्मक x के लिए अभिसरण करती है। गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन $\log x^{\rho }$ के रूप में नहीं किंतु $\rho \log x$ के रूप में किया जाना चाहिए।

फ़ोकमर बोर्नमैन ने परीक्षण किया जब यह अनुमान लगाया गया कि रीमैन ज़ेटा फलन के सभी शून्य सरल हैं, कि

$\operatorname {R} (e^{-2\pi t})={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos(\pi \rho /2)\zeta '(\rho )}}$

जहाँ $\rho$ रीमैन ज़ेटा फलन और $t>0$ के गैर-तुच्छ शून्य पर चलता है।

सूत्र में गैर-तुच्छ जीटा शून्य से अधिक का योग $\pi _{0}(x)$ के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है $\pi _{0}(x),$ जबकि शेष पद अभाज्य-गणना कार्य का सुचारू भाग देते हैं, तो कोई भी उपयोग कर सकता है

$\operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} (x^{-2m})$

x > 1 के लिए $\pi (x)$के एक अच्छे अनुमानक के रूप में। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 के पास $x\to \infty$ के रूप में पहुंचता है, जबकि "ध्वनि" भाग का आयाम अनुमानित रूप से${\sqrt {x}}/\log x,$ $\pi (x)$ केवल $\operatorname {R} (x)$ द्वारा ही उतना ही अच्छा है, और अभाज्य संख्याओं के वितरण में उतार-चढ़ाव को फलन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है

${\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.$

असमानताएं

यहां π(x) कुछ उपयोगी असमानताएं दी गई हैं

${\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}$

x ≥ 17 के लिए.

बायीं असमानता x ≥ 17 के लिए है और दाहिनी असमानता x > 1 के लिए है। स्थिरांक 1.25506 है ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$ 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे ${\textstyle {\frac {\pi (x)\log x}{x}}}$ इसका अधिकतम मान x = 113 पर है।

पियरे डुसार्ड ने 2010 में सिद्ध किया:

${\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)$ के लिए $x\geq 5393$, और

$\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}$ के लिए $x\geq 60184$.

यहां nवें अभाज्य, p_n पृष्ठ के लिए कुछ असमानताएं दी गई हैं ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है, निचली सीमा डुसार्ट (1999) के कारण है:

$n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}$ n ≥ 6 के लिए.है।

बायीं असमानता n ≥ 2 के लिए है और दाहिनी असमानता n ≥ 6 के लिए है।

nवें अभाज्य संख्या के लिए अनुमान है

$p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\left({\frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).$

रामानुजन ने असमानता को सिद्ध किया

$\pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)$

$x$ के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है

डुसार्ट ने सिद्ध किया (प्रस्ताव 6.6) कि $n\geq 688383$ के लिए।

$p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),$ और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए $n\geq 3$,

$p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right).$

अभी वर्तमान ही में, डुसार्ट

सिद्ध कर दिया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए $x>1$,

$\pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right)$ ,

और वह, के लिए $x\geq 88789$,

$\pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right).$

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य $\pi (x)$ के अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बंधन से है, और इसलिए अभाज्य संख्याओं का अधिक नियमित वितरण है,

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).$

विशेष रूप से,

$|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.$

यह भी देखें

• फ़ोइया स्थिरांक
• बर्ट्रेंड का अभिधारणा
• ओपरमैन का अनुमान
• रामानुजन प्राइम

बाहरी संबंध

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
• Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.