सुपरफैक्टोरियल

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, एक सकारात्मक पूर्णांक का सुपरफैक्टोरियल $n$ पहले का उत्पाद है $n$ भाज्य. वे जॉर्डन-पोल्या संख्याओं का एक विशेष मामला हैं, जो कारख़ाने का के मनमाने संग्रह के उत्पाद हैं।

==परिभाषा== $n$वें>वें सुपरफैक्टोरियल ${\mathit {sf}}(n)$ इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\mathit {sf}}(n)&=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=\prod _{i=1}^{n}i!=n!\cdot {\mathit {sf}}(n-1)\\&=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \cdots n=\prod _{i=1}^{n}i^{n+1-i}.\\\end{aligned}}$$

खाली उत्पाद के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का सुपरफैक्टोरियल 1 है। सुपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम, से शुरू होता है ${\mathit {sf}}(0)=1$, है:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, ... (sequence A000178 in the OEIS)

गुण

जिस तरह फैक्टोरियल को गामा फ़ंक्शन द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह सुपरफैक्टोरियल को बार्न्स जी-फ़ंक्शन द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है।

फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एक एनालॉग के अनुसार, जब $p$ एक समता (गणित) अभाज्य संख्या है

$${\mathit {sf}}(p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}},$$

कहाँ $!!$ दोहरा भाज्य के लिए संकेतन है।

प्रत्येक पूर्णांक के लिए $k$, जो नंबर ${\mathit {sf}}(4k)/(2k)!$ एक वर्ग संख्या है. इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि, सूत्र में ${\mathit {sf}}(4k)$ फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में, फैक्टोरियल में से एक को छोड़कर (मध्य वाला, $(2k)!$) का परिणाम एक वर्गाकार उत्पाद होता है। इसके अतिरिक्त, यदि कोई हो $n+1$ पूर्णांक दिए गए हैं, उनके जोड़ीवार अंतर का गुणनफल हमेशा का गुणज होता है ${\mathit {sf}}(n)$, और जब दी गई संख्याएँ लगातार हों तो सुपरफैक्टोरियल के बराबर होता है।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W., "Superfactorial", MathWorld