K-फ़ंक्शन

For the k-function, see Bateman function.

गणित में,K-फ़ंक्शन, जिसे आमतौर पर K(z) कहा जाता है, [[हाइपरकारख़ाने का ]] से जटिल संख्याओं का सामान्यीकरण है, जो गामा फ़ंक्शन के लिए फ़ैक्टोरियल के सामान्यीकरण के समान है।

कहाँ ζ′(z) रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दर्शाता है, ζ(a,z) हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन को दर्शाता है और

परिभाषा

औपचारिक रूप से, K-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].$

इसे बंद रूप में भी दिया जा सकता है

$K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]}$

कहाँ ζ′(z) रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दर्शाता है, ζ(a,z) हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन को दर्शाता है और

$\zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a}.$

बहुविवाह फ़ंक्शन का उपयोग करने वाली और अभिव्यक्ति है

$K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right]$

या सामान्यीकृत बहुविवाह फ़ंक्शन का उपयोग करना:

$K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right]$

कहाँ A ग्लैशर स्थिरांक है।

गामा फ़ंक्शन के लिए बोहर-मोलेरुप प्रमेय | बोहर-मोलेरुप प्रमेय के समान, लॉग के-फ़ंक्शन अद्वितीय (एक योगात्मक स्थिरांक तक) अंततः समीकरण का 2-उत्तल समाधान है $\Delta f(x)=x\ln(x)$ कहाँ $\Delta$ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है।

गुण

इसके लिए यह दिखाया जा सकता है α > 0:

$\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)$

इसे किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करके दिखाया जा सकता है f ऐसा है कि:

$f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx$

इस पहचान को अब सम्मान के साथ अलग किया जा रहा है α पैदावार:

$f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )$

लघुगणक नियम लागू करने पर हमें प्राप्त होता है

$f'(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}$

की परिभाषा के अनुसार K-फ़ंक्शन हम लिखते हैं

$f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha$

इसलिए

$f(\alpha )={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)+C$

सेटिंग α = 0 अपने पास

$\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\rightarrow 0}\left[{\tfrac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]+C\ =C$

अब कोई उपरोक्त पहचान का अनुमान लगा सकता है। K}-फ़ंक्शन गामा फ़ंक्शन और बार्न्स जी-फ़ंक्शन|बार्न्स से निकटता से संबंधित है G-समारोह; प्राकृतिक संख्याओं के लिए n, अपने पास

$K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.$

अधिक व्यावहारिक रूप से, कोई लिख सकता है

$K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.$

प्रथम मान हैं

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (sequence A002109 in the OEIS).

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "K-Function". MathWorld.