भाज्य क्षण

संभाव्यता सिद्धांत में, फैक्टोरियल पल एक गणितीय मात्रा है जिसे यादृच्छिक चर के गिरते फैक्टोरियल के अपेक्षित मूल्य या औसत के रूप में परिभाषित किया गया है। गैर-नकारात्मक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का अध्ययन करने के गिरता हुआ भाज्य क्षण उपयोगी होते हैं, और असतत यादृच्छिक चर के क्षणों को प्राप्त करने के लिए संभाव्यता-उत्पादक कार्यों के उपयोग में उत्पन्न होते हैं।

फैक्टोरियल क्षण कॉम्बिनेटरिक्स के गणितीय क्षेत्र में विश्लेषणात्मक उपकरण के रूप में कार्य करते हैं, जो असतत गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है।

परिभाषा

एक प्राकृतिक संख्या के लिए r, द r-वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर संभाव्यता वितरण का वाँ तथ्यात्मक क्षण, या, दूसरे शब्दों में, एक यादृच्छिक चर X उस संभाव्यता वितरण के साथ, है

$\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\operatorname {E} {\bigl [}X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1){\bigr ]},$

जहां E अपेक्षित मूल्य है (ऑपरेटर (गणित)#संभावना सिद्धांत) और

$(x)_{r}:=\underbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-r+1)} _{r{\text{ factors}}}\equiv {\frac {x!}{(x-r)!}}$

गिरता हुआ भाज्य है, जो नाम को जन्म देता है, यद्यपि संकेतन (x)_r गणितीय क्षेत्र के आधार पर भिन्न होता है। बेशक, परिभाषा के लिए आवश्यक है कि अपेक्षा सार्थक हो, जो कि मामला है (X)_r ≥ 0 या E[|(X)_r|] < ∞.

अगर X में सफलताओं की संख्या है n परीक्षण, और p_r संभावना है कि कोई भी r की n तो फिर सभी परीक्षण सफल होते हैं

$\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)p_{r}$

उदाहरण

पॉइसन वितरण

यदि एक यादृच्छिक चर X में पैरामीटर λ के साथ एक पॉइसन वितरण है, फिर के फैक्टोरियल क्षण X हैं

$\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r},$

जो पॉइसन वितरण#उच्च क्षणों की तुलना में सरल रूप में हैं, जिसमें दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएं शामिल हैं।

द्विपद बंटन

यदि एक यादृच्छिक चर Xसफलता की संभावना के साथ एक द्विपद वितरण है p ∈ [0,1] और परीक्षणों की संख्या n, फिर के तथ्यात्मक क्षण X हैं

$\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}p^{r}r!=(n)_{r}p^{r},$

जहां सम्मेलन द्वारा, $\textstyle {\binom {n}{r}}$ और $(n)_{r}$ यदि r > n हो तो शून्य समझा जाता है।

हाइपरज्यामितीय वितरण

यदि एक यादृच्छिक चर X में जनसंख्या आकार के साथ हाइपरज्यामितीय वितरण है N, सफलता की स्थिति की संख्या K ∈ {0,...,N} जनसंख्या में, और खींचता है n ∈ {0,...,N}, फिर के तथ्यात्मक क्षण X हैं

$\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {{\binom {K}{r}}{\binom {n}{r}}r!}{\binom {N}{r}}}={\frac {(K)_{r}(n)_{r}}{(N)_{r}}}.$

बीटा-द्विपद बंटन

यदि एक यादृच्छिक चर X में मापदंडों के साथ बीटा-द्विपद वितरण है α > 0, β > 0, और परीक्षणों की संख्या n, फिर के तथ्यात्मक क्षण X हैं

$\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )r!}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}$

क्षणों की गणना

एक यादृच्छिक चर X का वां कच्चा क्षण सूत्र द्वारा इसके भाज्य क्षणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

$\operatorname {E} [X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}\left\{{r \atop j}\right\}\operatorname {E} [(X)_{j}],$

जहां घुंघराले ब्रेसिज़ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं को दर्शाते हैं।

यह भी देखें

• भाज्य क्षण माप
• क्षण (गणित)
• संचयक
• फैक्टोरियल मोमेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन