धनात्मक वास्तविक संख्याएँ

गणित में, सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, $\mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},$ उन वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय है जो शून्य से बड़ी हैं। गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ, $\mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},$ शून्य भी शामिल है. यद्यपि प्रतीक $\mathbb {R} _{+}$ और $\mathbb {R} ^{+}$ इनमें से किसी एक के लिए अस्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है, संकेतन $\mathbb {R} _{+}$ या $\mathbb {R} ^{+}$ के लिए $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}$ और $\mathbb {R} _{+}^{*}$ या $\mathbb {R} _{*}^{+}$ के लिए $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}$ इसे भी व्यापक रूप से नियोजित किया गया है, यह बीजगणित में एक तारे के साथ शून्य तत्व के बहिष्कार को दर्शाने के अभ्यास के साथ जुड़ा हुआ है, और इसे अधिकांश अभ्यास करने वाले गणितज्ञों के लिए समझा जाना चाहिए। एक जटिल तल में, $\mathbb {R} _{>0}$ सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ पहचाना जाता है, और आमतौर पर इसे क्षैतिज किरण (ज्यामिति) के रूप में खींचा जाता है। इस किरण का उपयोग जटिल संख्या#ध्रुवीय रूप में संदर्भ के रूप में किया जाता है। वास्तविक धनात्मक अक्ष सम्मिश्र संख्याओं से मेल खाता है $z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },$ तर्क के साथ (जटिल विश्लेषण) $\varphi =0.$

गुण

सेट $\mathbb {R} _{>0}$ जोड़, गुणा और भाग के अंतर्गत क्लोजर (गणित) है। यह वास्तविक रेखा से एक टोपोलॉजी प्राप्त करता है और इस प्रकार, इसमें एक गुणक टोपोलॉजिकल समूह या एक योगात्मक टोपोलॉजिकल सेमीग्रुप की संरचना होती है।

किसी दिए गए सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $x,$ क्रम $\left\{x^{n}\right\}$ इसकी अभिन्न शक्तियों के तीन अलग-अलग भाग्य हैं: कब $x\in (0,1),$ सीमा (गणित) शून्य है; कब $x=1,$ क्रम स्थिर है; और जब $x>1,$ अनुक्रम असीमित सेट है।

$\mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )$ और गुणक व्युत्क्रम फलन अंतरालों का आदान-प्रदान करता है। फ़्लोर फ़ंक्शन, $\operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,$ और सॉटूथ फ़ंक्शन, $\operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,$ किसी तत्व का वर्णन करने के लिए उपयोग किया गया है $x\in \mathbb {R} _{>0}$ एक सतत अंश के रूप में $\left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],$ जो कि आधिक्य के पारस्परिक होने के बाद फ़्लोर फ़ंक्शन से प्राप्त पूर्णांकों का एक क्रम है। तर्कसंगत के लिए $x,$ अनुक्रम सटीक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के साथ समाप्त होता है $x,$ और द्विघात अपरिमेय के लिए $x,$ अनुक्रम एक आवधिक निरंतर अंश बन जाता है।

ऑर्डर किया गया सेट $\left(\mathbb {R} _{>0},>\right)$ कुल ऑर्डर बनता है लेकिन है not एक सुव्यवस्थित सेट। दोगुनी अनंत ज्यामितीय प्रगति $10^{n},$ कहाँ $n$ एक पूर्णांक है, पूरी तरह से निहित है $\left(\mathbb {R} _{>0},>\right)$ और पहुंच के लिए इसे खंडित करने का कार्य करता है। $\mathbb {R} _{>0}$ एक अनुपात पैमाना बनाता है, जो माप का उच्चतम स्तर है। तत्वों को वैज्ञानिक संकेतन में इस प्रकार लिखा जा सकता है $a\times 10^{b},$ कहाँ $1\leq a<10$ और $b$ दोगुनी अनंत प्रगति में पूर्णांक है, और इसे दशक (लॉग स्केल) कहा जाता है। भौतिक परिमाणों के अध्ययन में, दशकों का क्रम अनुपात पैमाने में निहित क्रमिक पैमाने का संदर्भ देते हुए सकारात्मक और नकारात्मक क्रमसूचक प्रदान करता है।

शास्त्रीय समूहों के अध्ययन में, प्रत्येक के लिए $n\in \mathbb {N} ,$ निर्धारक से एक नक्शा देता है $n\times n$ वास्तविक से वास्तविक संख्याओं पर आव्यूह: $\mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .$ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों तक सीमित करने से सामान्य रैखिक समूह से गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं तक का मानचित्र मिलता है: $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.$ सकारात्मक निर्धारक वाले आव्यूहों तक सीमित करने से मानचित्र मिलता है $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}$; सामान्य उपसमूह द्वारा छवि को भागफल समूह के रूप में व्याख्या करना $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),$ जिसे विशेष रैखिक समूह कहा जाता है, सकारात्मक वास्तविकताओं को झूठ समूह के रूप में व्यक्त करता है।

अनुपात पैमाना

माप के स्तरों में अनुपात पैमाना सर्वोत्तम विवरण प्रदान करता है। अंश और हर बराबर होने पर डिवीजन (गणित) फ़ंक्शन एक का मान लेता है। अन्य अनुपातों की तुलना लघुगणक द्वारा की जाती है, अक्सर आधार 10 का उपयोग करते हुए सामान्य लघुगणक होता है। फिर अनुपात पैमाने को माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त विज्ञान और प्रौद्योगिकी में उपयोग किए जाने वाले परिमाण के आदेशों के अनुसार खंडित किया जाता है।

अनुपात पैमाने की प्रारंभिक अभिव्यक्ति को कनिडस के यूडोक्सस द्वारा ज्यामितीय रूप से व्यक्त किया गया था: यह ... ज्यामितीय भाषा में था कि यूडोक्सस के आनुपातिकता (गणित) का सामान्य सिद्धांत विकसित किया गया था, जो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सिद्धांत के बराबर है।

लघुगणकीय माप

अगर $[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}$ तो फिर, एक अंतराल (गणित) है $\mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a$ के कुछ उपसमूहों पर एक माप (गणित) निर्धारित करता है $\mathbb {R} _{>0},$ लघुगणक के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं पर सामान्य लेब्सेग माप के ठहराना के अनुरूप: यह लघुगणकीय पैमाने पर लंबाई है। वास्तव में, यह गुणन के संबंध में एक अपरिवर्तनीय माप है $[a,b]\to [az,bz]$ ए द्वारा $z\in \mathbb {R} _{>0},$ जिस प्रकार जोड़ के अंतर्गत लेबेस्ग माप अपरिवर्तनीय है। टोपोलॉजिकल समूहों के संदर्भ में, यह माप हार माप का एक उदाहरण है।

इस माप की उपयोगिता लघुगणक पैमाने के अन्य अनुप्रयोगों के बीच, डेसिबल में तारकीय परिमाण और शोर के स्तर का वर्णन करने के लिए इसके उपयोग में दिखाई गई है। अंतरराष्ट्रीय मानकों आईएसओ 80000-3 के प्रयोजनों के लिए, आयामहीन मात्राओं को स्तर (लघुगणकीय मात्रा) के रूप में जाना जाता है।

अनुप्रयोग

गैर-नकारात्मक वास्तविकताएं गणित में मीट्रिक (गणित), नॉर्म (गणित) और माप (गणित) के लिए एक फ़ंक्शन की छवि के रूप में कार्य करती हैं।

0 सहित, सेट $\mathbb {R} _{\geq 0}$ इसकी एक मोटी हो जाओ संरचना है (0 योगात्मक पहचान है), जिसे संभाव्यता सेमीरिंग के रूप में जाना जाता है; लघुगणक लेने (एक लघुगणकीय इकाई देने वाले आधार के विकल्प के साथ) लॉग सेमीरिंग के साथ एक समरूपता देता है (0 के अनुरूप) $-\infty$), और इसकी इकाइयाँ (परिमित संख्याओं को छोड़कर)। $-\infty$) सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के अनुरूप है।

वर्ग

होने देना $Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},$ कार्तीय तल का पहला चतुर्थांश। चतुर्भुज को रेखा द्वारा ही चार भागों में विभाजित किया गया है $L=\{(x,y):x=y\}$ और मानक अतिपरवलय $H=\{(x,y):xy=1\}.$

$L\cup H$ h> जबकि एक त्रिशूल बनाता है $L\cap H=(1,1)$ केन्द्रीय बिंदु है. यह दो एक-पैरामीटर समूहों का पहचान तत्व है जो वहां प्रतिच्छेद करते हैं:

$$\{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H.$$

तब से $\mathbb {R} _{>0}$ एक समूह है (गणित), $Q$ समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है। क्यू में एक-पैरामीटर उपसमूह एल और एच उत्पाद में गतिविधि को प्रोफाइल करते हैं, और $L\times H$ समूह कार्रवाई के प्रकारों का एक समाधान है।

व्यवसाय और विज्ञान के क्षेत्र अनुपातों में प्रचुर मात्रा में हैं, और अनुपातों में कोई भी परिवर्तन ध्यान आकर्षित करता है। अध्ययन Q में अतिपरवलयिक निर्देशांक को संदर्भित करता है। L अक्ष के विरुद्ध गति ज्यामितीय माध्य में परिवर्तन का संकेत देती है ${\sqrt {xy}},$ जबकि H के अनुदिश परिवर्तन एक नए अतिपरवलयिक कोण को इंगित करता है।

यह भी देखें

• Semifield
• Sign (mathematics)

ग्रन्थसूची

• Kist, Joseph; Leetsma, Sanford (1970). "Additive semigroups of positive real numbers". Mathematische Annalen. 188 (3): 214–218. doi:10.1007/BF01350237.