सातत्य (समुच्चय सिद्धांत)

For other uses, see सातत्य.

सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, सातत्य का अर्थ वास्तविक संख्याएं, या संबंधित (अनंत) कार्डिनल संख्या है, जिसे ${\mathfrak {c}}$ के द्वारा दर्शाया जाता है। जॉर्ज कैंटर ने सिद्ध किया कि कार्डिनैलिटी ${\mathfrak {c}}$ सबसे छोटी अनंतता, अर्थात् $\aleph _{0}$से बड़ी है। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि ${\mathfrak {c}}$ $2^{\aleph _{0}}\!$ के बराबर है, जो प्राकृतिक संख्याओं के घात सेट की प्रमुखता है।

सातत्य की प्रमुखता वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का आकार है। सातत्य परिकल्पना को कभी-कभी यह कहकर कहा जाता है कि सातत्य और प्राकृतिक संख्याओं $\aleph _{0}$, या वैकल्पिक रूप से, ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$के बीच कोई प्रमुखता नहीं है।

रेखीय सातत्य

Main article: Linear continuum

रेमंड वाइल्डर (1965) के अनुसार, चार स्वयंसिद्ध हैं जो एक सेट सी और संबंध < को एक 'रैखिक सातत्य' में बनाते हैं:

• C को केवल < के संबंध में सेट करने का आदेश दिया गया है।
• यदि [ए,बी] सी का कट है, तो या तो ए में अंतिम तत्व है या बी में पहला तत्व है। (डेडेकाइंड कट की तुलना करें)
• C का एक गैर-रिक्त, गणनीय उपसमुच्चय S मौजूद है, जैसे कि यदि x,y ∈ C ऐसा है कि x < y, तो z ∈ S मौजूद है जैसे कि x < z < y। (वियोज्य स्थान)
• C का कोई पहला तत्व और कोई अंतिम तत्व नहीं है। (बंधा हुआ सेट)

ये अभिगृहीत वास्तविक संख्या रेखा के क्रम प्रकार की विशेषता बताते हैं।

यह भी देखें

• aleph-अशक्त
• सुसलिन की समस्या
• अनंत संख्या

ग्रन्थसूची

• Raymond L. Wilder (1965) The Foundations of Mathematics, 2nd ed., page 150, John Wiley & Sons.