सातत्य (समुच्चय सिद्धांत)

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समुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, सातत्य का अर्थ वास्तविक संख्याएं, या संबंधित (अनंत) गणनांक संख्या है, जिसे ${\mathfrak {c}}$ के द्वारा दर्शाया जाता है। जॉर्ज कैंटर ने सिद्ध किया कि गणनांक ${\mathfrak {c}}$ सबसे छोटी अनंतता, अर्थात् $\aleph _{0}$से बड़ी है। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि ${\mathfrak {c}}$ $2^{\aleph _{0}}\!$ के बराबर है, जो प्राकृतिक संख्याओं के घात समुच्चय की प्रमुखता है।

सातत्य की प्रमुखता वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का आकार है। सातत्य परिकल्पना को कभी-कभी यह कहकर कहा जाता है कि सातत्य और प्राकृतिक संख्याओं $\aleph _{0}$, या वैकल्पिक रूप से, ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$के बीच कोई प्रमुखता नहीं है।

रेखीय सातत्य

Main article: रैखिक सातत्य

रेमंड वाइल्डर (1965) के अनुसार, चार अभिगृहीत हैं जो एक समुच्चय C और संबंध < को एक रैखिक सातत्य में बनाते हैं:

• C को < के संबंध में आदेशित किया जाता है।
• यदि [A,B] C का कट है, तो या तो A में अंतिम अवयव है या B में पहला अवयव है। (डेडेकाइंड कट की तुलना करें)
• C का एक गैर-रिक्त, गणनीय उपसमुच्चय S उपस्थित है, जैसे कि, यदि x, y ∈ C ऐसा है कि x < y, तो z ∈ S उपस्थित है जैसे कि x < z < y। (पृथक्करण स्वयंसिद्ध)
• C में कोई पहला अवयव और कोई अंतिम अवयव नहीं है। (असीमितता स्वयंसिद्ध)
• C का कोई पहला अवयव और कोई अंतिम अवयव नहीं है। (बंधा हुआ समुच्चय)

ये अभिगृहीत वास्तविक संख्या रेखा के क्रम प्रकार को दर्शाते हैं।

यह भी देखें

• अलेफ़ नल
• सुस्लिन की समस्या
• अपरिमेय संख्या

ग्रन्थसूची

• Raymond L. Wilder (1965) The Foundations of Mathematics, 2nd ed., page 150, John Wiley & Sons.