अधिकतम अवयव और न्यूनतम अवयव

सेट का हसे आरेख

P

60 के विभाजक, आंशिक रूप से संबंध द्वारा आदेशित

x

विभाजित

y

. लाल उपसमुच्चय

S=\{1,2,3,4\}

दो अधिकतम अवयव हैं, अर्थात। 3 और 4, और एक न्यूनतम अवयव, अर्थात। 1, जो कि इसका सबसे छोटा अवयव भी है।

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, एक उपसमुच्चय का महत्तम अवयव $S$ आंशिक रूप से आदेशित सेट (पॉसेट) का एक अवयव है $S$ के हर दूसरे अवयव से बड़ा है $S$ . न्यूनतम अवयव शब्द परिभाषित द्वैत (आदेश सिद्धांत) है, अर्थात यह एक अवयव है $S$ के हर दूसरे अवयव से छोटा है $S.$

परिभाषाएँ

होने देना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और जाने दें $S\subseteq P.$ एक अवयव $g\in P$ बताया गया a greatest element of $S$ यदि $g\in S$ और अगर यह भी संतुष्ट करता है:

s\leq g

सभी के लिए

s\in S.

का उपयोग करके $\,\geq \,$ के बजाय $\,\leq \,$ उपरोक्त परिभाषा में, न्यूनतम अवयव की परिभाषा $S$ पाया जाता है। स्पष्ट रूप से, एक अवयव $l\in P$ बताया गया a least element of $S$ यदि $l\in S$ और अगर यह भी संतुष्ट करता है:

l\leq s

सभी के लिए

s\in S.

यदि

(P,\leq )

तब भी आंशिक रूप से आदेशित सेट है

S

अधिकतम एक महत्तम अवयव हो सकता है और इसमें कम से कम एक अवयव हो सकता है। जब भी का एक महत्तम अवयव

S

मौजूद है और अद्वितीय है तो इस अवयव को कहा जाता हैthe का महत्तम अवयव

S

. शब्दावलीthe न्यूनतम अवयव

S

इसी तरह परिभाषित किया गया है।

यदि $(P,\leq )$ महत्तम अवयव है (सबसे कम अवयव के रूप में) तो इस अवयव को भी कहा जाता है a top (प्रति. a bottom) का $(P,\leq ).$

ऊपरी/निचली सीमा से संबंध

महानतम अवयव ऊपरी सीमा से निकटता से संबंधित हैं।

होने देना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और जाने दें $S\subseteq P.$ एकupper bound of $S$ in $(P,\leq )$ एक अवयव है $u$ ऐसा है कि $u\in P$ तथा $s\leq u$ सभी के लिए $s\in S.$ महत्वपूर्ण रूप से, की एक ऊपरी सीमा $S$ में $P$ है not का अंग होना आवश्यक है $S.$ यदि $g\in P$ फिर $g$ का महत्तम अवयव है $S$ अगर और केवल अगर $g$ की ऊपरी सीमा है $S$ में $(P,\leq )$ and $g\in S.$ विशेष रूप से, का कोई भी महत्तम अवयव $S$ की ऊपरी सीमा भी है $S$ (में $P$ ) लेकिन की एक ऊपरी सीमा $S$ में $P$ का महत्तम अवयव है $S$ अगर और केवल अगर यह belongs प्रति $S.$ विशेष मामले में जहां $P=S,$ की परिभाषा $u$ की ऊपरी सीमा है $S$ in $S$ बन जाता है: $u$ ऐसा अवयव है $u\in S$ तथा $s\leq u$ सभी के लिए $s\in S,$ जो है completely identical पहले दिए गए सबसे बड़े अवयव की परिभाषा के लिए। इस प्रकार $g$ का महत्तम अवयव है $S$ अगर और केवल अगर $g$ की ऊपरी सीमा है $S$ in $S$ .

यदि $u$ की ऊपरी सीमा है $S$ in $P$ यह की ऊपरी सीमा नहीं है $S$ in $S$ (जो हो सकता है अगर और केवल अगर $u\not \in S$ ) फिर $u$ कर सकते हैं not का महत्तम अवयव हो $S$ (हालांकि, यह संभव हो सकता है कि कोई अन्य अवयव is का महत्तम अवयव है $S$ ). विशेष रूप से इसके लिए संभव है $S$ एक साथ not महत्तम अवयव है and वहाँ के लिए कुछ ऊपरी सीमा मौजूद है $S$ in $P$ .

यहां तक कि अगर एक सेट में कुछ ऊपरी सीमाएं हैं, तो यह आवश्यक नहीं है कि इसमें महत्तम अवयव हो, जैसा कि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। यह उदाहरण यह भी प्रदर्शित करता है कि कम से कम ऊपरी सीमा (इस मामले में संख्या 0) का अस्तित्व किसी महानतम अवयव के अस्तित्व को भी नहीं दर्शाता है।

अधिकतम अवयवों के विपरीत और स्थानीय/पूर्ण अधिकतम

किसी पूर्ववर्ती सेट के सबसेट के सबसे बड़े अवयव को सेट के अधिकतम अवयव के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो ऐसे अवयव हैं जो सेट में किसी भी अन्य अवयव से सख्ती से छोटे नहीं हैं।

होने देना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और जाने दें $S\subseteq P.$ एक अवयव $m\in S$ ए कहा जाता हैmaximal element of $S$ यदि निम्न स्थिति संतुष्ट है:

जब भी

s\in S

संतुष्ट

m\leq s,

फिर अनिवार्य रूप से

s\leq m.

यदि

(P,\leq )

एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है

m\in S

का अधिकतम अवयव है

S

अगर और केवल अगर वहाँ करता है not कोई मौजूद है

s\in S

ऐसा है कि

m\leq s

तथा

s\neq m.

ए maximal element of $(P,\leq )$ को उपसमुच्चय के अधिकतम अवयव के रूप में परिभाषित किया गया है

S:=P.

एक सेट में अधिकतम अवयव के बिना कई अधिकतम अवयव हो सकते हैं।

ऊपरी सीमा और अधिकतम अवयवों की तरह, सबसे बड़े अवयव मौजूद नहीं हो सकते हैं।

कुल क्रम में अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव मेल खाते हैं; और इसे अधिकतम भी कहा जाता है; स्थानीय अधिकतम के साथ भ्रम से बचने के लिए फ़ंक्शन मानों के मामले में इसे पूर्ण अधिकतम भी कहा जाता है।^[1] दोहरी शर्तें न्यूनतम और पूर्ण न्यूनतम हैं। साथ में उन्हें चरम मूल्य कहा जाता है। इसी तरह के निष्कर्ष न्यूनतम अवयवों के लिए मान्य हैं।

अधिकतम बनाम अधिकतम अवयवों को अलग करने में तुलनात्मकता की भूमिका

एक महानतम अवयव के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतरों में से एक $g$ और एक अधिकतम अवयव $m$ एक पूर्व-आदेशित सेट का $(P,\leq )$ यह उन अवयवों के साथ करना है जिनकी वे तुलना कर रहे हैं। दो अवयव $x,y\in P$ कहा जाता है comparable यदि $x\leq y$ या $y\leq x$ ; वे कहते हैं incomparable अगर वे तुलनीय नहीं हैं। क्योंकि प्रीऑर्डर रिफ्लेक्सिव रिलेशन हैं (जिसका मतलब है कि $x\leq x$ सभी अवयवों के लिए सत्य है $x$ ), हर अवयव $x$ सदैव अपने से तुलनीय होता है। नतीजतन, अवयवों का एकमात्र जोड़ा जो संभवतः अतुलनीय हो सकता है distinct जोड़े। सामान्य तौर पर, हालांकि, पहले से ऑर्डर किए गए सेट (और यहां तक कि निर्देशित सेट आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट) में ऐसे अवयव हो सकते हैं जो अतुलनीय हों।

परिभाषा के अनुसार, एक अवयव $g\in P$ का महत्तम अवयव है $(P,\leq )$ यदि $s\leq g,$ हरएक के लिए $s\in P$ ; इसलिए इसकी परिभाषा के अनुसार, का महत्तम अवयव $(P,\leq )$ विशेष रूप से तुलनीय होना चाहिए every में अवयव $P.$ यह अधिकतम अवयवों की आवश्यकता नहीं है। के अधिकतम अवयव $(P,\leq )$ हैं not में हर अवयव के लिए तुलनीय होना आवश्यक है $P.$ ऐसा इसलिए है क्योंकि सबसे बड़े अवयव की परिभाषा के विपरीत, अधिकतम अवयव की परिभाषा में एक महत्वपूर्ण शामिल है if बयान। के लिए परिभाषित शर्त $m\in P$ का अधिकतम अवयव होना $(P,\leq )$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

सभी के लिए

s\in P,

IF

m\leq s

(इसलिए ऐसे अवयव जो अतुलनीय हैं

m

अनदेखा किया जाता है) फिर

s\leq m.

उदाहरण जहां सभी अवयव अधिकतम हैं लेकिन कोई भी महानतम नहीं है

मान लो कि $S$ युक्त एक सेट है at least two (अलग) अवयव और एक आंशिक क्रम को परिभाषित करते हैं $\,\leq \,$ पर $S$ यह घोषित करके $i\leq j$ अगर और केवल अगर $i=j.$ यदि $i\neq j$ के संबंधित $S$ फिर न तो $i\leq j$ न $j\leq i$ धारण करता है, जो दर्शाता है कि विशिष्ट (अर्थात् गैर-बराबर) अवयवों के सभी युग्मों में $S$ हैं inतुलनीय। फलस्वरूप, $(S,\leq )$ संभवतः महत्तम अवयव नहीं हो सकता (क्योंकि का महत्तम अवयव $S$ से विशेष रूप से तुलना करनी होगी every का अवयव $S$ लेकिन $S$ ऐसा कोई अवयव नहीं है)। हालांकि, every अवयव $m\in S$ का अधिकतम अवयव है $(S,\leq )$ क्योंकि इसमें ठीक एक अवयव है $S$ जो दोनों से तुलनीय है $m$ तथा $\geq m,$ वह अवयव है $m$ खुद (जो निश्चित रूप से है $\leq m$ ).^{[note 1]} इसके विपरीत, यदि एक पूर्वनिर्धारित सेट $(P,\leq )$ एक महानतम अवयव होता है $g$ फिर $g$ का अधिकतम अवयव होगा $(P,\leq )$ और इसके अलावा, सबसे बड़े अवयव के परिणामस्वरूप $g$ से तुलनीय होना every का अवयव $P,$ यदि $(P,\leq )$ भी आंशिक रूप से आदेशित है तो यह निष्कर्ष निकालना संभव है $g$ है only का अधिकतम अवयव $(P,\leq ).$ हालाँकि, यदि पहले से सेट किया गया है तो विशिष्टता निष्कर्ष की गारंटी नहीं है $(P,\leq )$ है not आंशिक रूप से आदेश भी दिया। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $R$ एक गैर-खाली सेट है और एक प्रीऑर्डर परिभाषित करता है $\,\leq \,$ पर $R$ यह घोषित करके $i\leq j$ always सभी के लिए रखता है $i,j\in R.$ निर्देशित सेट पूर्व-आदेशित सेट $(R,\leq )$ आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है अगर और केवल अगर $R$ ठीक एक अवयव है। से अवयवों के सभी जोड़े $R$ तुलनीय हैं और every का अवयव $R$ का महत्तम अवयव है (और इस प्रकार एक अधिकतम अवयव भी)। $(R,\leq ).$ तो विशेष रूप से अगर $R$ तब कम से कम दो अवयव होते हैं $(R,\leq )$ एकाधिक है distinct महानतम अवयव।

गुण

भर में, चलो $(P,\leq )$ आंशिक रूप से आदेशित सेट बनें और दें $S\subseteq P.$ * एक सेट $S$ अधिक से अधिक हो सकता है one महत्तम अवयव।^{[note 2]} इस प्रकार यदि किसी समुच्चय में महत्तम अवयव है तो वह आवश्यक रूप से अद्वितीय है।

यदि यह अस्तित्व में है, तो इसका महत्तम अवयव $S$ $S$ की ऊपरी सीमा है $S$ $S$ उसमें भी निहित है $S.$ $S.$ * यदि $g$ $g$ का महत्तम अवयव है $S$ $S$ फिर $g$ $g$ का भी एक चरम अवयव है $S$ $S$ ^{[note 3]} और इसके अलावा, का कोई अन्य अधिकतम अवयव $S$ $S$ के बराबर होगा $g.$ $g.$ ^{[note 4]}
- इस प्रकार यदि एक सेट $S$ कई अधिकतम अवयव हैं तो इसमें महत्तम अवयव नहीं हो सकता है।
यदि $P$ आरोही श्रृंखला की स्थिति, एक सबसेट को संतुष्ट करता है $S$ का $P$ महत्तम अवयव है अगर, और केवल अगर, इसमें एक अधिकतम अवयव है।^{[note 5]}
जब का प्रतिबंध $\,\leq \,$ प्रति $S$ कुल आदेश है ( $S=\{1,2,4\}$ सबसे ऊपरी तस्वीर में एक उदाहरण है), तो अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव मेल खाता है।^{[note 6]} ** हालांकि, जब भी हो, यह कोई जरूरी शर्त नहीं है $S$ महत्तम अवयव है, जैसा कि ऊपर कहा गया है, धारणाएं भी मेल खाती हैं।
यदि अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव की धारणा प्रत्येक दो-अवयव उपसमुच्चय पर मेल खाती है $S$ का $P,$ फिर $\,\leq \,$ पर कुल आदेश है $P.$ ^{[note 7]}

पर्याप्त शर्तें

एक परिमित श्रृंखला (आदेश सिद्धांत) में हमेशा महत्तम और सबसे कम अवयव होता है।

ऊपर और नीचे

पूरे आंशिक रूप से आदेशित सेट का सबसे छोटा और महत्तम अवयव एक विशेष भूमिका निभाता है और इसे क्रमशः नीचे (⊥) और शीर्ष (⊤), या शून्य (0) और इकाई (1) भी कहा जाता है। यदि दोनों मौजूद हैं, तो पोसेट को परिबद्ध पोसेट कहा जाता है। 0 और 1 के अंकन का उपयोग अधिमानतः तब किया जाता है जब पोसेट एक पूरक जाली है, और जब कोई भ्रम की संभावना नहीं होती है, यानी जब कोई संख्याओं के आंशिक क्रम के बारे में बात नहीं कर रहा है जिसमें पहले से ही अवयव 0 और 1 नीचे और ऊपर से भिन्न होते हैं। कम से कम और सबसे बड़े अवयवों का अस्तित्व आंशिक क्रम की एक विशेष पूर्णता (आदेश सिद्धांत) है।

आगे की परिचयात्मक जानकारी ऑर्डर थ्योरी पर लेख में पाई जाती है।

उदाहरण

उदाहरण 2 का हसे आरेख

* पूर्णांकों के उपसमुच्चय का समुच्चय में कोई ऊपरी परिबंध नहीं होता है $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का।

संबंध रहने दो $\,\leq \,$ पर $\{a,b,c,d\}$ द्वारा दिया जाएगा $a\leq c,$ $a\leq d,$ $b\leq c,$ $b\leq d.$ सेट $\{a,b\}$ ऊपरी सीमाएँ हैं $c$ तथा $d,$ लेकिन कम से कम ऊपरी सीमा नहीं, और कोई महत्तम अवयव नहीं (cf. चित्र)।
परिमेय संख्याओं में, 2 से कम वर्ग वाले संख्याओं के समुच्चय की ऊपरी सीमा होती है लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं होता है और कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है।
में $\mathbb {R} ,$ 1 से कम संख्या के सेट में सबसे कम ऊपरी सीमा होती है, जैसे। 1, लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं।
में $\mathbb {R} ,$ 1 से कम या उसके बराबर संख्याओं के सेट में महत्तम अवयव है, अर्थात। 1, जो इसकी सबसे कम ऊपरी सीमा भी है।
में $\mathbb {R} ^{2}$ उत्पाद क्रम के साथ, जोड़े का सेट $(x,y)$ साथ $0<x<1$ कोई ऊपरी सीमा नहीं है।
में $\mathbb {R} ^{2}$ शब्दकोषीय क्रम के साथ, इस सेट की ऊपरी सीमाएं हैं, उदा। $(1,0).$ इसकी कोई कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है।

यह भी देखें

एसेंशियल सुप्रीमम और एसेंशियल इनफिमम
प्रारंभिक और अंतिम वस्तुएं
अधिकतम और न्यूनतम अवयव
श्रेष्ठता को सीमित करें और निम्न को सीमित करें (न्यूनतम सीमा)
ऊपरी और निचली सीमाएं

↑ Of course, in this particular example, there exists only one element in $S$ that is comparable to $m,$ which is necessarily $m$ itself, so the second condition "and $\geq m,$ " was redundant.
↑ If $g_{1}$ and $g_{2}$ are both greatest, then $g_{1}\leq g_{2}$ and $g_{2}\leq g_{1},$ and hence $g_{1}=g_{2}$ by antisymmetry.
↑ If $g$ is the greatest element of $S$ and $s\in S,$ then $s\leq g.$ By antisymmetry, this renders ( $g\leq s$ and $g\neq s$ ) impossible.
↑ If $M$ is a maximal element, then $M\leq g$ since $g$ is greatest, hence $M=g$ since $M$ is maximal.
↑ Only if: see above. — If: Assume for contradiction that $S$ has just one maximal element, $m,$ but no greatest element. Since $m$ is not greatest, some $s_{1}\in S$ must exist that is incomparable to $m.$ Hence $s_{1}\in S$ cannot be maximal, that is, $s_{1}<s_{2}$ must hold for some $s_{2}\in S.$ The latter must be incomparable to $m,$ too, since $m<s_{2}$ contradicts $m$ 's maximality while $s_{2}\leq m$ contradicts the incomparability of $m$ and $s_{1}.$ Repeating this argument, an infinite ascending chain $s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots$ can be found (such that each $s_{i}$ is incomparable to $m$ and not maximal). This contradicts the ascending chain condition.
↑ Let $m\in S$ be a maximal element, for any $s\in S$ either $s\leq m$ or $m\leq s.$ In the second case, the definition of maximal element requires that $m=s,$ so it follows that $s\leq m.$ In other words, $m$ is a greatest element.
↑ If $a,b\in P$ were incomparable, then $S=\{a,b\}$ would have two maximal, but no greatest element, contradicting the coincidence.