अधिकतम अवयव और न्यूनतम अवयव

सेट का हसे आरेख

P

60 के विभाजक, आंशिक रूप से संबंध द्वारा आदेशित

x

विभाजित

y

. लाल उपसमुच्चय

S=\{1,2,3,4\}

दो अधिकतम अवयव हैं, अर्थात। 3 और 4, और एक न्यूनतम अवयव, अर्थात। 1, जो कि इसका सबसे छोटा अवयव भी है।

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, एक उपसमुच्चय का महत्तम अवयव $S$ आंशिक रूप से आदेशित सेट (पॉसेट) का एक अवयव है $S$ के हर दूसरे अवयव से बड़ा है $S$ . न्यूनतम अवयव शब्द परिभाषित द्वैत (आदेश सिद्धांत) है, अर्थात यह एक अवयव है $S$ के हर दूसरे अवयव से छोटा है $S.$

परिभाषाएँ

माना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना $S\subseteq P.$ एक अवयव $g\in P$ बताया गया कि महत्तम अवयव $S$ यदि $g\in S$ और यदि यह भी संतुष्ट करता है:

s\leq g

सभी के लिए

s\in S.

का उपयोग करके $\,\geq \,$ के अतिरिक्त $\,\leq \,$ उपरोक्त परिभाषा में, न्यूनतम अवयव की परिभाषा $S$ पाया जाता है। स्पष्ट रूप से, एक अवयव $l\in P$ बताया गया कि न्यूनतम अवयव $S$ यदि $l\in S$ और यदि यह भी संतुष्ट करता है:

l\leq s

सभी के लिए

s\in S.

यदि

(P,\leq )

तब भी आंशिक रूप से आदेशित सेट है

S

अधिकतम एक महत्तम अवयव हो सकता है और इसमें कम से कम एक अवयव हो सकता है। जब भी का एक महत्तम अवयव

S

सम्मलित है और अद्वितीय है तो इस अवयव को कहा जाता है महत्तम अवयव

S

. शब्दावली न्यूनतम अवयव

S

इसी तरह परिभाषित किया गया है।

यदि $(P,\leq )$ महत्तम अवयव है (न्यूनतम अवयव के रूप में) तो इस अवयव को भी कहा जाता है उच्च (प्रति. निचला) का $(P,\leq ).$

ऊपरी/निचली सीमा से संबंध

महानतम अवयव ऊपरी सीमा से निकटता से संबंधित हैं।

माना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना $S\subseteq P.$ एक ऊपरी सीमा के $S$ मे $(P,\leq )$ एक अवयव है $u$ ऐसा है कि $u\in P$ तथा $s\leq u$ सभी के लिए $s\in S.$ महत्वपूर्ण रूप से, की एक ऊपरी सीमा $S$ में $P$ है not का अंग होना आवश्यक है $S.$ यदि $g\in P$ फिर $g$ का महत्तम अवयव है $S$ यदि और केवल यदि $g$ की ऊपरी सीमा है $S$ में $(P,\leq )$ और $g\in S.$ विशेष रूप से, का कोई भी महत्तम अवयव $S$ की ऊपरी सीमा भी है $S$ (में $P$ ) लेकिन की एक ऊपरी सीमा $S$ में $P$ का महत्तम अवयव है $S$ यदि और केवल यदि यह अंतर्गत आता है प्रति $S.$ विशेष स्थितिे में जहां $P=S,$ की परिभाषा $u$ की ऊपरी सीमा है $S$ मे $S$ बन जाता है: $u$ ऐसा अवयव है $u\in S$ तथा $s\leq u$ सभी के लिए $s\in S,$ जो है पूरी तरह से समान पहले दिए गए सबसे बड़े अवयव की परिभाषा के लिए है। इस प्रकार $g$ का महत्तम अवयव है $S$ यदि और केवल यदि $g$ की ऊपरी सीमा है $S$ in $S$ है।

यदि $u$ की ऊपरी सीमा है $S$ मे $P$ यह की ऊपरी सीमा नहीं है $S$ मे $S$ (जो हो सकता है यदि और केवल यदि $u\not \in S$ ) फिर $u$ कर सकते हैं not का महत्तम अवयव हो $S$ (चूंकि, यह संभव हो सकता है कि कोई अन्य अवयव is का महत्तम अवयव है $S$ ). विशेष रूप से इसके लिए संभव है $S$ एक साथ not महत्तम अवयव है और वहाँ के लिए कुछ ऊपरी सीमा सम्मलित है $S$ मे $P$ .

यहां तक कि यदि एक सेट में कुछ ऊपरी सीमाएं हैं, तो यह आवश्यक नहीं है कि इसमें महत्तम अवयव हो, जैसा कि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। यह उदाहरण यह भी प्रदर्शित करता है कि कम से कम ऊपरी सीमा (इस स्थितिे में संख्या 0) का अस्तित्व किसी महानतम अवयव के अस्तित्व को भी नहीं दर्शाता है।

अधिकतम तत्वों और स्थानीय/पूर्ण अधिकतमों की तुलना

किसी पूर्ववर्ती सेट के सबसेट के सबसे बड़े अवयव को सेट के अधिकतम अवयव के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो ऐसे अवयव हैं जो सेट में किसी भी अन्य अवयव से सख्ती से छोटे नहीं हैं।

माना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और माना $S\subseteq P.$ एक अवयव $m\in S$ कहा जाता हैअधिकतम अवयव का $S$ यदि निम्न स्थिति संतुष्ट है:

जब भी

s\in S

संतुष्ट

m\leq s,

फिर अनिवार्य रूप से

s\leq m.

यदि

(P,\leq )

एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है

m\in S

का अधिकतम अवयव है

S

यदि और केवल यदि वहाँ करता है not कोई सम्मलित है

s\in S

ऐसा है कि

m\leq s

तथा

s\neq m.

का अधिकतम अवयव $(P,\leq )$ को उपसमुच्चय के अधिकतम अवयव के रूप में परिभाषित किया गया है

S:=P.

एक सेट में अधिकतम अवयव के बिना कई अधिकतम अवयव हो सकते हैं।

ऊपरी सीमा और अधिकतम अवयवों की तरह, सबसे बड़े अवयव सम्मलित नहीं हो सकते हैं।

कुल क्रम में अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव मेल खाते हैं; और इसे अधिकतम भी कहा जाता है; स्थानीय अधिकतम के साथ भ्रम से बचने के लिए फलन मानों के स्थितिे में इसे पूर्ण अधिकतम भी कहा जाता है।^[1] दोहरी शर्तें न्यूनतम और पूर्ण न्यूनतम हैं। साथ में उन्हें चरम मान कहा जाता है। इसी तरह के निष्कर्ष न्यूनतम अवयवों के लिए मान्य हैं।

अधिकतम बनाम अधिकतम अवयवों को अलग करने में तुलनात्मकता की भूमिका

एक महानतम अवयव के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतरों में से एक $g$ और एक अधिकतम अवयव $m$ एक पूर्व-आदेशित सेट का $(P,\leq )$ यह उन अवयवों के साथ करना है जिनकी वे तुलना कर रहे हैं। दो अवयव $x,y\in P$ कहा जाता है तुलनीय यदि $x\leq y$ या $y\leq x$ ; वे कहते हैं अतुलनीय यदि वे तुलनीय नहीं हैं। क्योंकि अग्रिम-आदेश प्रतिवर्ती हैं (जिसका मतलब है कि $x\leq x$ सभी अवयवों के लिए सत्य है $x$ ), हर अवयव $x$ सदैव अपने से तुलनीय होता है। परिणाम स्वरुप, अवयवों का एकमात्र जोड़ा जो संभवतः अतुलनीय हो सकता है विशिष्ट जोड़े है। सामान्यत:, चूंकि, पहले से आदिष्ट किए गए सेट (और यहां तक कि निर्देशित सेट आंशिक रूप से आदिष्ट किए गए सेट) में ऐसे अवयव हो सकते हैं जो अतुलनीय हों।

परिभाषा के अनुसार, एक अवयव $g\in P$ का महत्तम अवयव है $(P,\leq )$ यदि $s\leq g,$ हर एक के लिए $s\in P$ ; इसलिए इसकी परिभाषा के अनुसार, का महत्तम अवयव $(P,\leq )$ विशेष रूप से तुलनीय होना चाहिए प्रत्येक में अवयव $P.$ यह अधिकतम अवयवों की आवश्यकता नहीं है। अधिकतम अवयव $(P,\leq )$ हैं not में हर अवयव के लिए तुलनीय होना आवश्यक है $P.$ ऐसा इसलिए है क्योंकि सबसे बड़े अवयव की परिभाषा के विपरीत, अधिकतम अवयव की परिभाषा में एक महत्वपूर्ण सम्मलित है if कथन के लिए परिभाषित शर्त $m\in P$ का अधिकतम अवयव होना $(P,\leq )$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

सभी के लिए

s\in P,

IF

m\leq s

(इसलिए ऐसे अवयव जो अतुलनीय हैं

m

अनदेखा किया जाता है) फिर

s\leq m.

उदाहरण जहां सभी अवयव अधिकतम हैं लेकिन कोई भी महानतम नहीं है

मान कि $S$ युक्त एक सेट है कम से कम दो (अलग) अवयव और एक आंशिक क्रम को परिभाषित करते हैं $\,\leq \,$ पर $S$ यह घोषित करके $i\leq j$ यदि और केवल यदि $i=j.$ यदि $i\neq j$ के संबंधित $S$ फिर न तो $i\leq j$ न $j\leq i$ धारण करता है, जो दर्शाता है कि विशिष्ट (अर्थात् गैर-बराबर) अवयवों के सभी युग्मों में $S$ हैं मे तुलनीय। फलस्वरूप, $(S,\leq )$ संभवतः महत्तम अवयव नहीं हो सकता (क्योंकि का महत्तम अवयव $S$ से विशेष रूप से तुलना करनी होगी प्रत्येक का अवयव $S$ लेकिन $S$ ऐसा कोई अवयव नहीं है)। चूंकि, प्रत्येक अवयव $m\in S$ का अधिकतम अवयव है $(S,\leq )$ क्योंकि इसमें ठीक एक अवयव है $S$ जो दोनों से तुलनीय है $m$ तथा $\geq m,$ वह अवयव है $m$ खुद (जो निश्चित रूप से है $\leq m$ ).^{[note 1]} इसके विपरीत, यदि एक पूर्वनिर्धारित सेट $(P,\leq )$ एक महानतम अवयव होता है $g$ फिर $g$ का अधिकतम अवयव होगा $(P,\leq )$ और इसके अतिरिक्त, सबसे बड़े अवयव के परिणामस्वरूप $g$ से तुलनीय होना प्रत्येक का अवयव $P,$ यदि $(P,\leq )$ भी आंशिक रूप से आदेशित है तो यह निष्कर्ष निकालना संभव है $g$ है केवल का अधिकतम अवयव $(P,\leq ).$ चूंकि, यदि पहले से सेट किया गया है तो विशिष्टता निष्कर्ष की गारंटी नहीं है $(P,\leq )$ है not आंशिक रूप से आदेश भी दिया है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $R$ एक गैर-खाली सेट है और एक प्रीआदिष्ट परिभाषित करता है $\,\leq \,$ पर $R$ यह घोषित करके $i\leq j$ हमेशा सभी के लिए रखता है $i,j\in R.$ निर्देशित सेट पूर्व-आदेशित सेट $(R,\leq )$ आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है यदि और केवल यदि $R$ ठीक एक अवयव है। अवयवों के सभी जोड़े $R$ तुलनीय हैं और प्रत्येक का अवयव $R$ का महत्तम अवयव है (और इस प्रकार एक अधिकतम अवयव भी)। $(R,\leq ).$ तो विशेष रूप से यदि $R$ तब कम से कम दो अवयव होते हैं $(R,\leq )$ एकाधिक है विशिष्ट महानतम अवयव है।

गुण

माना $(P,\leq )$ आंशिक रूप से आदेशित सेट बनें और दें $S\subseteq P.$ * एक सेट $S$ अधिक से अधिक हो सकता है एक महत्तम अवयव है।^{[note 2]} इस प्रकार यदि किसी समुच्चय में महत्तम अवयव है तो वह आवश्यक रूप से अद्वितीय है।

यदि यह अस्तित्व में है, तो इसका महत्तम अवयव $S$ $S$ की ऊपरी सीमा है $S$ $S$ उसमें भी निहित है $S.$ $S.$ * यदि $g$ $g$ का महत्तम अवयव है $S$ $S$ फिर $g$ $g$ का भी एक चरम अवयव है $S$ $S$ ^{[note 3]} और इसके अतिरिक्त, कोई अन्य अधिकतम अवयव $S$ $S$ के बराबर होगा $g.$ $g.$ ^{[note 4]}
- इस प्रकार यदि एक सेट $S$ कई अधिकतम अवयव हैं तो इसमें महत्तम अवयव नहीं हो सकता है।
यदि $P$ आरोही श्रृंखला की स्थिति, एक सबसेट को संतुष्ट करता है $S$ का $P$ महत्तम अवयव है यदि, और केवल यदि, इसमें एक अधिकतम अवयव है।^{[note 5]}
जब का प्रतिबंध $\,\leq \,$ प्रति $S$ कुल आदेश है ( $S=\{1,2,4\}$ सबसे ऊपरी तस्वीर में एक उदाहरण है), तो अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव मेल खाता है।^{[note 6]} ** चूंकि, जब भी हो, यह कोई जरूरी शर्त नहीं है $S$ महत्तम अवयव है, जैसा कि ऊपर कहा गया है, धारणाएं भी मेल खाती हैं।
यदि अधिकतम अवयव और महत्तम अवयव की धारणा प्रत्येक दो-अवयव उपसमुच्चय पर मेल खाती है $S$ का $P,$ फिर $\,\leq \,$ पर कुल आदेश है $P.$ ^{[note 7]}

पर्याप्त स्थितियाँ

एक परिमित श्रृंखला (आदेश सिद्धांत) में हमेशा महत्तम और सबसे कम अवयव होता है।

ऊपर और नीचे

पूरे आंशिक रूप से आदेशित सेट का सबसे छोटा और महत्तम अवयव एक विशेष भूमिका निभाता है और इसे क्रमशः नीचे (⊥) और शीर्ष (⊤), या शून्य (0) और इकाई (1) भी कहा जाता है। यदि दोनों सम्मलित हैं, तो पोसेट को परिबद्ध पोसेट कहा जाता है। 0 और 1 के अंकन का उपयोग अधिमानतः तब किया जाता है जब पोसेट एक पूरक जाली है, और जब कोई भ्रम की संभावना नहीं होती है, अर्थात जब कोई संख्याओं के आंशिक क्रम के बारे में बात नहीं कर रहा है जिसमें पहले से ही अवयव 0 और 1 नीचे और ऊपर से भिन्न होते हैं। कम से कम और सबसे बड़े अवयवों का अस्तित्व आंशिक क्रम की एक विशेष पूर्णता (आदेश सिद्धांत) है।

आगे की परिचयात्मक जानकारी आदिष्ट थ्योरी पर लेख में पाई जाती है।

उदाहरण

उदाहरण 2 का हसे आरेख

* पूर्णांकों के उपसमुच्चय का समुच्चय में $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का कोई ऊपरी परिबंध नहीं होता है ।

माना $\,\leq \,$ पर $\{a,b,c,d\}$ द्वारा दिया जाएगा $a\leq c,$ $a\leq d,$ $b\leq c,$ $b\leq d.$ सेट $\{a,b\}$ ऊपरी सीमाएँ हैं $c$ तथा $d,$ लेकिन कम से कम ऊपरी सीमा नहीं, और कोई महत्तम अवयव नहीं (cf. चित्र) है।
परिमेय संख्याओं में, 2 से कम वर्ग वाले संख्याओं के समुच्चय की ऊपरी सीमा होती है लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं होता है और कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है।
$\mathbb {R} ,$ में 1 से कम संख्या के सेट में सबसे कम ऊपरी सीमा होती है, जैसे 1, लेकिन कोई महत्तम अवयव नहीं है।
$\mathbb {R} ,$ में 1 से कम या उसके बराबर संख्याओं के सेट में महत्तम अवयव है, अर्थात। 1, जो इसकी सबसे कम ऊपरी सीमा भी है।
$\mathbb {R} ^{2}$ में उत्पाद क्रम के साथ, जोड़े का सेट $(x,y)$ साथ $0<x<1$ कोई ऊपरी सीमा नहीं है।
$\mathbb {R} ^{2}$ में शब्दकोषीय क्रम के साथ, इस सेट की ऊपरी सीमाएं हैं, उदा। $(1,0).$ इसकी कोई कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है।

यह भी देखें

आवश्यक सर्वोच्च और आवश्यक अनंत
प्रारंभिक और अंतिम वस्तुएं
अधिकतम और न्यूनतम अवयव
श्रेष्ठता को सीमित करें और निम्न को सीमित करें (न्यूनतम सीमा)
ऊपरी और निचली सीमाएं

↑ Of course, in this particular example, there exists only one element in $S$ that is comparable to $m,$ which is necessarily $m$ itself, so the second condition "and $\geq m,$ " was redundant.
↑ If $g_{1}$ and $g_{2}$ are both greatest, then $g_{1}\leq g_{2}$ and $g_{2}\leq g_{1},$ and hence $g_{1}=g_{2}$ by antisymmetry.
↑ If $g$ is the greatest element of $S$ and $s\in S,$ then $s\leq g.$ By antisymmetry, this renders ( $g\leq s$ and $g\neq s$ ) impossible.
↑ If $M$ is a maximal element, then $M\leq g$ since $g$ is greatest, hence $M=g$ since $M$ is maximal.
↑ Only if: see above. — If: Assume for contradiction that $S$ has just one maximal element, $m,$ but no greatest element. Since $m$ is not greatest, some $s_{1}\in S$ must exist that is incomparable to $m.$ Hence $s_{1}\in S$ cannot be maximal, that is, $s_{1}<s_{2}$ must hold for some $s_{2}\in S.$ The latter must be incomparable to $m,$ too, since $m<s_{2}$ contradicts $m$ 's maximality while $s_{2}\leq m$ contradicts the incomparability of $m$ and $s_{1}.$ Repeating this argument, an infinite ascending chain $s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots$ can be found (such that each $s_{i}$ is incomparable to $m$ and not maximal). This contradicts the ascending chain condition.
↑ Let $m\in S$ be a maximal element, for any $s\in S$ either $s\leq m$ or $m\leq s.$ In the second case, the definition of maximal element requires that $m=s,$ so it follows that $s\leq m.$ In other words, $m$ is a greatest element.
↑ If $a,b\in P$ were incomparable, then $S=\{a,b\}$ would have two maximal, but no greatest element, contradicting the coincidence.