गिनती का माप

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, गिनती माप किसी भी [[सबसेट (गणित)]] पर माप (गणित) लगाने का एक सहज तरीका है - एक उपसमुच्चय का आकार उपसमुच्चय में तत्वों की संख्या के रूप में लिया जाता है यदि उपसमुच्चय में सीमित रूप से कई हैं तत्व, और अनंत प्रतीक|अनंत $\infty$यदि उपसमुच्चय अनंत समुच्चय है। गिनती के माप को किसी भी मापने योग्य स्थान (अर्थात, किसी भी सेट) पर परिभाषित किया जा सकता है $X$ सिग्मा-बीजगणित के साथ) लेकिन इसका उपयोग अधिकतर गणनीय सेटों पर किया जाता है।

औपचारिक संकेतन में, हम किसी भी सेट को बदल सकते हैं $X$ का सत्ता स्थापित लेकर मापने योग्य स्थान में $X$ सिग्मा-बीजगणित के रूप में $\Sigma ;$ अर्थात्, के सभी उपसमुच्चय $X$ मापने योग्य सेट हैं. फिर गिनती का माप $\mu$ इस मापने योग्य स्थान पर $(X,\Sigma )$ सकारात्मक माप है $\Sigma \to [0,+\infty ]$ द्वारा परिभाषित

$$\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}$$

सभी के लिए $A\in \Sigma ,$ कहाँ $\vert A\vert$ सेट की प्रमुखता को दर्शाता है $A.$ गिनती जारी है $(X,\Sigma )$ σ-परिमित है यदि और केवल यदि स्थान $X$ गणनीय है.

चर्चा

गिनती का माप अधिक सामान्य निर्माण का एक विशेष मामला है। उपरोक्त संकेतन के साथ, कोई भी फ़ंक्शन $f:X\to [0,\infty )$ एक माप को परिभाषित करता है $\mu$ पर $(X,\Sigma )$ के जरिए

$$\mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,$$

जहाँ वास्तविक संख्याओं के संभवतः बेशुमार योग को सभी परिमित उपसमुच्चयों के योगों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात,

$$\sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.$$

ले रहा $f(x)=1$ सभी के लिए $x\in X$ गिनती का माप देता है.

यह भी देखें

• Pip (counting)
• Set function