संयोजित संबंध

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Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, किसी समुच्चय पर एक संबंध को जुड़ा हुआ या पूर्ण या कुल कहा जाता है यदि यह सभी से संबंधित (या तुलना) करता है distinct सेट के तत्वों के जोड़े एक दिशा या दूसरी दिशा में होते हैं जबकि इसे संबंधित होने पर दृढ़ता से जुड़ा हुआ कहा जाता है allतत्वों के जोड़े. जैसा कि #शब्दावली में वर्णित है, इन गुणों के लिए शब्दावली एक समान नहीं है। कुल की इस धारणा को सभी के लिए कुल संबंध के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए $x\in X$ वहां एक है $y\in X$ ताकि $x\mathrel {R} y$ (धारावाहिक संबंध देखें)।

कुल ऑर्डर की परिभाषा में कनेक्टिविटी प्रमुखता से दिखाई देती है: कुल (या रैखिक) ऑर्डर एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं; अर्थात् क्रम संबंध जुड़ा हुआ है। इसी प्रकार, एक [[सख्त आंशिक आदेश]] जो जुड़ा हुआ है वह एक सख्त कुल आदेश है। एक संबंध एक कुल आदेश है यदि और केवल यदि यह आंशिक आदेश और दृढ़ता से जुड़ा हुआ दोनों है। एक संबंध एक सख्त कुल आदेश है यदि, और केवल यदि, यह एक सख्त आंशिक आदेश है और अभी जुड़ा हुआ है। एक सख्त कुल ऑर्डर को कभी भी मजबूती से नहीं जोड़ा जा सकता (खाली डोमेन को छोड़कर)।

औपचारिक परिभाषा

एक रिश्ता $R$ एक सेट पर $X$ कहा जाता हैconnectedजब सभी के लिए $x,y\in X,$

$${\text{ if }}x\neq y{\text{ then }}x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x,$$

या, समकक्ष, जब सभी के लिए $x,y\in X,$

$$x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x\quad {\text{or}}\quad x=y.$$

संपत्ति से एक रिश्ता वो सबके लिए $x,y\in X,$

$$x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x$$

कहा जाता हैstrongly connected.

शब्दावली

जुड़े हुए संबंध की धारणा का मुख्य उपयोग आदेशों के संदर्भ में है, जहां इसका उपयोग कुल, या रैखिक, आदेशों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, संपत्ति का अक्सर विशेष रूप से नाम नहीं दिया जाता है। बल्कि, कुल आदेशों को आंशिक आदेशों के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं। इस प्रकार, total का उपयोग आम तौर पर उन संबंधों के लिए किया जाता है जो जुड़े हुए हैं या मजबूती से जुड़े हुए हैं। हालाँकि, कुल संबंध की इस धारणा को क्रमिक संबंध होने की संपत्ति से अलग किया जाना चाहिए, जिसे कुल भी कहा जाता है। इसी तरह, कभी-कभी जुड़े हुए रिश्ते भी कहलाते हैं complete, हालाँकि इससे भी भ्रम पैदा हो सकता है: सार्वभौमिक संबंध को पूर्ण भी कहा जाता है, और [[पूर्णता (आदेश सिद्धांत)]] के क्रम सिद्धांत में कई अन्य अर्थ हैं। जुड़े हुए रिश्ते भी कहलाते हैं connex या संतुष्ट करने के लिए कहा trichotomy (हालांकि ट्राइकोटॉमी (गणित) की अधिक सामान्य परिभाषा उसमें अधिक मजबूत है exactly oneतीन विकल्पों में से $x\mathrel {R} y,y\mathrel {R} x,x=y$ अवश्य होल्ड करें)।

जब विचार किए गए संबंध आदेश नहीं हैं, तो जुड़ा होना और मजबूती से जुड़ा होना महत्वपूर्ण रूप से अलग-अलग गुण हैं। वे स्रोत जो दोनों को परिभाषित करते हैं, फिर शब्दों के जोड़े का उपयोग करते हैं जैसे weakly connected और connected, complete और strongly complete, total और complete, semiconnex और connex, या connex और strictly connex, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्रमशः जुड़े हुए और दृढ़ता से जुड़े हुए विचारों के लिए वैकल्पिक नाम के रूप में।

विशेषताएँ

होने देना $R$ एक सजातीय संबंध हो. निम्नलिखित समतुल्य हैं:* $R$ मजबूती से जुड़ा हुआ है;

• $U\subseteq R\cup R^{\top }$;
• ${\overline {R}}\subseteq R^{\top }$;
• ${\overline {R}}$ असममित संबंध है,

कहाँ $U$ सार्वभौमिक संबंध है और $R^{\top }$ का विपरीत संबंध है $R.$ निम्नलिखित समतुल्य हैं:* $R$ जुड़ा है;

• ${\overline {I}}\subseteq R\cup R^{\top }$;
• ${\overline {R}}\subseteq R^{\top }\cup I$;
• ${\overline {R}}$ एंटीसिमेट्रिक संबंध है,

कहाँ ${\overline {I}}$ बाइनरी संबंध#विशेष सजातीय संबंधों का पूरक (सेट सिद्धांत) है $I$ और $R^{\top }$ का विपरीत संबंध है $R.$ प्रगति का परिचय देते हुए, रसेल ने कनेक्शन के सिद्धांत का आह्वान किया:

Whenever a series is originally given by a transitive asymmetrical relation, we can express connection by the condition that any two terms of our series are to have the generating relation.

— Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, page 239

गुण

• edge}जीई संबंध $E$ एक टूर्नामेंट (ग्राफ़ सिद्धांत) ग्राफ़ का $G$ के सेट पर हमेशा एक जुड़ा हुआ रिश्ता होता है $G$'s शीर्ष.
• यदि कोई मजबूती से जुड़ा हुआ संबंध सममित संबंध है, तो यह सार्वभौमिक संबंध है।
• कोई भी रिश्ता मजबूती से तभी जुड़ा होता है, जब वह जुड़ा हुआ और प्रतिवर्ती हो।
• सेट पर जुड़ा हुआ रिश्ता $X$ बशर्ते, प्रतिसंक्रमणीय नहीं हो सकता $X$ कम से कम 4 तत्व हैं। 3-तत्व सेट पर $\{a,b,c\},$ उदाहरण के लिए, संबंध $\{(a,b),(b,c),(c,a)\}$ दोनों गुण हैं.
• अगर $R$ पर एक जुड़ा हुआ रिश्ता है $X,$ फिर सभी, या एक को छोड़कर सभी, के तत्व $X$ छवि में हैं (गणित)#के द्विआधारी संबंधों का सामान्यीकरण $R.$ इसी तरह, सभी, या एक को छोड़कर सभी, के तत्व $X$ के क्षेत्र में हैं $R.$

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Proofs