विल्लारसेउ वृत्त

एक टोरस और एक समतल के प्रतिच्छेदन के रूप में विल्लारसेउ वृत्त

एक विशेष समतल के साथ एक टोरस काटने से हलकों की एक जोड़ी का पता चलता है, जिसे विलारसेउ मंडलियों के रूप में जाना जाता है। काटने वाला समतल टोरस के केंद्र से पारित होता है और टोरस को दो प्रतिव्यासांत बिंदुओं पर छूता है; वृत्त इन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

ज्यामिति में, विल्लारसेउ वृत्त (/viːlɑːrˈsoʊ/) एक विशेष कोण पर केंद्र के माध्यम से एक टोरस्र्स को तिर्यक् रूप से काटकर उत्पादित मंडलियों की एक जोड़ी है।

टोरस पर एक स्वेच्छाचारी बिंदु दिया गया है, इसके माध्यम से चार वृत्त खींचे जा सकते हैं। एक टोरस के विषुवतीय तल के समानांतर एक तल में है और दूसरा उस तल के लंबवत है (ये पृथ्वी पर अक्षांश और देशांतर की रेखाओं के अनुरूप हैं)। अन्य दोनों विलारसेउ वृत्त हैं। वे एक समतल के साथ टोरस के प्रतिच्छेदन के रूप में प्राप्त होते हैं जो टोरस के केंद्र से पारित होता है और इसे दो प्रतिव्यासांत बिंदुओं पर स्पर्शरेखा से छूता है। यदि कोई इन सभी तलों पर विचार करे, तो वह धड़ पर वृत्तों के दो वर्ग प्राप्त करता है। इन वर्गों में से प्रत्येक में अलग-अलग वृत्त होते हैं जो टोरस के प्रत्येक बिंदु को ठीक एक बार आच्छादित करते हैं और इस प्रकार टोरस का 1-आयामी संख्यन बनाते हैं।

विलारसेउ मंडलियों का नाम फ्रांसीसी खगोलशास्त्री और गणितज्ञ यवोन विलारसेउ (1813-1883) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1848 में उनके बारे में लिखा था।

मैनहेम (1903) ने दिखाया कि विलारसेउ वृत्त एक ही कोण पर टोरस के सभी समानांतर परिपत्र अनुप्रस्थ काट से मिलते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उन्होंने कहा कि एक कर्नल शोएल्चर ने 1891 में कांग्रेस में प्रस्तुत किया था।

उदाहरण

xyz दिक् में एक क्षैतिज टोरस पर विचार करें, जो मूल पर केंद्रित है और प्रमुख त्रिज्या 5 और सामान्य त्रिज्या 3 है। इसका अर्थ है कि टोरस त्रिज्या तीन के कुछ लंबवत मंडलियों का स्थान है जिसका केंद्र क्षैतिज xy में त्रिज्या पांच के चक्र पर है। इस टोरस पर बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2}).\,\!$

z = 0 समतल से काटने पर दो संकेंद्रित वृत्त x² + y² = 2² और x² + y² = 8² बाहरी और आंतरिक भूमध्य रेखा बनते हैं। x = 0 समतल से काटने पर दो साथ-साथ वृत्त (y − 5)² + z² = 3² और (y + 5)² + z² = 3² बनते हैं।

समतल 3x = 4z के साथ कतलीयन करके दो उदाहरण विलारसेउ वृत्त बनाए जा सकते हैं। एक (0, +3, 0) पर और दूसरा (0, −3, 0) पर केंद्रित है; दोनों की त्रिज्या पाँच है। उन्हें प्राचलिक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

$(x,y,z)=(4\cos \vartheta ,+3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta )\,\!$

और

$(x,y,z)=(4\cos \vartheta ,-3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta ).\,\!$

कतलीयन समतल को इसके केंद्र से पारित होते हुए दो बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के रूप में चुना जाता है। यह (¹⁶⁄₅, 0, ¹²⁄₅) और (⁻¹⁶⁄₅, 0, ⁻¹²⁄₅) पर स्पर्शरेखा है। टुकड़ा करने का कोण विशिष्ट रूप से चुने हुए टोरस के आयामों द्वारा निर्धारित किया जाता है। Z-अक्ष के चारों ओर किसी भी एक ऐसे समतल को घुमाने से उस टोरस के लिए सभी विल्लारसेउ मंडलियां मिलती हैं।

अस्तित्व और समीकरण

टोरस: विल्लारसेउ वृत्त
नीचे की तस्वीर के लिए अनुभाग समतल पर प्रक्षेपण आयतीय है। इसलिए मंडलियों का असली आकार दिखाई देता है।

टोरस विल्लारसेउ हलकों की दो पेंसिलों के साथ

एक दिए गए बिंदु (लाल) के माध्यम से विलारसेउ वृत्त (मैजेंटा, हरा)। किसी भी बिंदु के लिए बिंदु वाले टोरस पर 4 वृत्त उपस्थित होते हैं।

वृत्त के अस्तित्व का एक साक्ष्य इस तथ्य से बनाया जा सकता है कि कतलीयन समतल दो बिंदुओं पर टोरस के स्पर्शरेखा है। टोरस की एक विशेषता यह है कि यह परिक्रमण पृष्ठ है। व्यापकता की हानि के बिना, एक समन्वय प्रणाली चुनें ताकि क्रांति की धुरी z अक्ष हो। (R, 0, 0) पर केंद्रित xz समतल में त्रिज्या r के एक वृत्त से प्रारंभ करें।

$0=(x-R)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!$

व्यापक रूप से x के स्थान पर (x² + और²)^1/2, और वर्गमूल को समाशोधन करने से एक चतुर्थक समीकरण बनता है।

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!$

xz समतल में स्वेप्ट सतह के अनुप्रस्थ काट में अब एक दूसरा वृत्त सम्मिलित है।

$0=(x+R)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!$

वृत्तों की इस जोड़ी में दो सामान्य आंतरिक स्पर्शरेखा रेखाएँ हैं, जिनमें मूल पर ढलान कर्ण R और विपरीत भुजा r वाले समकोण त्रिभुज से पाया जाता है (जिसका स्पर्शरेखा के बिंदु पर समकोण होता है)। इस प्रकार z/x ±r / (R² − r²)^1/2 के बराबर है, और धन चिह्न चुनने से टोरस के लिए स्पर्शरेखा वाले समतल का समीकरण तैयार होता है।

$0=xr-z{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\,\!$

समरूपता से, z अक्ष के चारों ओर इस समतल के घूर्णन केंद्र के माध्यम से सभी स्पर्शरेखा समतलों को देते हैं। (टोरस के ऊपर और नीचे क्षैतिज तल भी हैं, जिनमें से प्रत्येक एक "युग्म वृत्त" देता है, लेकिन विलारसेउ वृत्त नहीं।)

$0=xr\cos \varphi +yr\sin \varphi -z{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\,\!$

हम विश्लेषणात्मक रूप से टोरस के साथ समतल के प्रतिच्छेदन की गणना कर सकते हैं, और इस प्रकार दिखाते हैं कि परिणाम मंडलियों की एक सममित जोड़ी है, जिनमें से एक त्रिज्या R का एक चक्र है जो पर केंद्रित है

$(-r\sin \varphi ,r\cos \varphi ,0).\,\!$

इन पंक्तियों के साथ एक उपचार एच.एस.एम. कॉक्सटर (1969) में पाया जा सकता है।

हिर्श (2002) द्वारा प्रक्षेपी समायोजन में बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करते हुए एक अधिक सार - और अधिक लचीला - दृष्टिकोण का वर्णन किया गया था। टोरस के लिए सजातीय क्वार्टिक समीकरण में,

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}w^{2}-r^{2}w^{2})^{2}-4R^{2}w^{2}(x^{2}+y^{2}),\,\!$

w को शून्य पर सेट करने से "अंतहीनता पर समतल" के साथ प्रतिच्छेदन मिलता है, और समीकरण को कम कर देता है

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}.\,\!$

यह प्रतिच्छेदन एक दोहरा बिंदु है, वास्तव में एक दोहरा बिंदु दो बार गिना जाता है। इसके अतिरिक्त, यह हर स्पर्शरेखा समतल में सम्मिलित है। स्पर्शरेखा के दो बिंदु भी दोहरे बिंदु हैं। इस प्रकार प्रतिच्छेदन वक्र, जो सिद्धांत कहता है कि क्वार्टिक होना चाहिए, में चार दोहरे बिंदु होते हैं। लेकिन हम यह भी जानते हैं कि तीन से अधिक दोहरे बिंदुओं वाले क्वार्टिक को कारक होना चाहिए (यह अलघुकरणीय (गणित) नहीं हो सकता है), और समरूपता के अनुसार कारकों को दो सर्वांगसम शंकु खंड होना चाहिए। हिर्श इस तर्क को एक शांकव द्वारा उत्पन्न क्रांति की किसी भी सतह तक विस्तारित करता है, और दिखाता है कि प्रतिच्छेदन वक्र वास्तविक होने पर जनित्र के रूप में एक ही प्रकार के दो शंकुओं का उत्पादन करना चाहिए।

भरण स्थल

टोरस 3-वृत्त, S³ के हॉफ फिब्रेशन में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है, साधारण वृत्त के ऊपर, S², जिसमें वृत्त हैं, S¹, तंतुओं के रूप में है। जब 3-वृत्त को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में यूक्लिडियन 3-स्पेस कोत्रिविम प्रक्षेपण द्वारा मानचित्र किया जाता है, S² पर अक्षांश के एक चक्र की उलटी छवि तन्तु मानचित्र के नीचे एक टोरस है, और तंतु स्वयं विल्लारसेउ मंडल हैं। थॉमस बंचोफ़ ने कंप्यूटर आलेखिकी प्रतिबिंबावली के साथ ऐसे टोरस का पता लगाया है। मंडलियों के बारे में असामान्य तथ्यों में से एक यह है कि प्रत्येक अन्य सभी के माध्यम से संयोजन करता है, न केवल अपने स्वयं के टोरस में बल्कि पूरे स्थान को भरने वाले संग्रह में; बर्जर के पास चर्चा और चित्रण है।

यह भी देखें

• टोरिक खंड
• मूत्राशय मछली

संदर्भ

• Banchoff, Thomas F. (1990). Beyond the Third Dimension. Scientific American Library. ISBN 978-0-7167-5025-3.
• Berger, Marcel (1987). Geometry II. Springer. ISBN 978-3-540-17015-0.
• Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry (2/e ed.). Wiley. pp. 132–133. ISBN 978-0-471-50458-0.
• Hirsch, Anton (2002). "Extension of the 'Villarceau-Section' to Surfaces of Revolution with a Generating Conic". Journal for Geometry and Graphics. Lemgo, Germany: Heldermann Verlag. 6 (2): 121–132. ISSN 1433-8157.
• Mannheim, M. A. (1903). "Sur le théorème de Schoelcher". Nouvelles Annales de Mathématiques. Paris: Carilian-Gœury et Vor. Dalmont. 4th series, volume 3: 105–107.
• Stachel, Hellmuth (2002). "Remarks on A. Hirsch's Paper concerning Villarceau Sections". Journal for Geometry and Graphics. Lemgo, Germany: Heldermann Verlag. 6 (2): 133–139. ISSN 1433-8157.
• Yvon Villarceau, Antoine Joseph François (1848). "Théorème sur le tore". Nouvelles Annales de Mathématiques. Série 1. Paris: Gauthier-Villars. 7: 345–347. OCLC: 2449182.
• Dorst, Leo (2019). "Conformal Villarceau Rotors". Advances in Applied Clifford Algebras. 29 (44). doi:10.1007/s00006-019-0960-5. S2CID 253592159.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Villarceau Circles". MathWorld.
• Flat Torus in the Three-Sphere
• (in French) The circles of the torus (Les cercles du tore)